2026届高三数学一轮复习课件微专题12概率中递推关系的应用——马尔科夫链

这是一份2026届高三数学一轮复习课件微专题12概率中递推关系的应用——马尔科夫链，共27页。PPT课件主要包含了一阶递推关系，二阶递推关系，配套精练等内容，欢迎下载使用。
马尔科夫链(MarkvChain)：状态空间中，从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆性”，即下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．
　　　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1) 求第2次投篮的人是乙的概率．
　　　　记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．
　　　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(2) 求第i次投篮的人是甲的概率．
　　　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
变式1　(2024·无锡江阴期初)王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率．(1) 用pn－1表示pn(n≥2)；
变式1　(2024·无锡江阴期初)王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率．(2) 求pn(n≥2)．
　　　现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A(A∈N*，A＜B)，赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n(0≤n≤B，n∈N)元时，最终输光的概率为P(n)，请回答下列问题：
(1) 请直接写出P(0)与P(B)的数值；
　　　　当n＝0时，赌徒已经输光了，因此P(0)＝1．当n＝B时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此P(B)＝0．
变式2　一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(1) 求P1，P2，P3；
变式2　一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(2) 证明：数列{Pn＋1－Pn}(n＝1,2,3，…，98)为等比数列；
变式2　一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(3) 求玩该游戏获胜的概率．
1．(2024·湛江一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳 2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)．(1) 甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和数学期望；
2．(2024·广州冲刺训练(一)节选)甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．(1) 求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
3．(2024·蚌埠三检)寒假期间小明每天坚持在“跑步3 000米”和“跳绳2 000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为60%，跳绳的概率为40%；在下雪天，他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为50%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%．已知寒假第一天不下雪，跑步3 000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2 000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第n天不下雪的概率为pn．