2026届高三数学一轮复习课件微专题7重构数列问题

这是一份2026届高三数学一轮复习课件微专题7重构数列问题，共27页。PPT课件主要包含了公共项问题，增项问题，减项问题，计数数列，配套精练，答案D，n－1等内容，欢迎下载使用。
　　　(1) (2024·漳州三检)将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝(　　)A．237B．238C．239D．240
　　　　数列{2n}中的项为2,4,8,16,32,64,128,256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项，即2,8,32,128，…可以写成3n－1的形式，观察归纳可得an＝22n－1，所以a20＝22×20－1＝239．
　　　(2) (2024·汕头二模)已知两个等差数列2,6,10，…，202及2,8,14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为(　　)A．1 678B．1 666C．1 472D．1 460
处理两个数列的公共项问题的两种方法(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
　　　(2024·滨州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25．(1) 求{an}的通项公式； 
　　　　因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1．
　　　(2024·滨州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25．(2) 保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1,2，…)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150．
　　　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．(1) 求r的值；
　　　已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．(2) 设bn＝2(1＋lg2an)，若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．
对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法可解决此类问题．
　　　(2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R．(1) 求数列{an}的通项公式；
　　　　因为Sn＝n2＋cn＋c，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋cn＋c－(n－1)2－c(n－1)－c＝2n－1＋c．因为{an}为等差数列，故a1＝S1＝1＋2c也符合上式，所以1＋c＝1＋2c，解得c＝0，所以an＝2n－1．
　　　(2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R．(2) 记bm为{an}在区间(0,2am](m∈N*)中的项的个数，求数列{bn}的通项公式．
2．已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2lg2(1＋an)－1．若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1＋c2＋…＋c20＝(　　)A．599B．569C．554D．568
3．(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(　 　)A．an＝5nB．an＝5n
4．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式为cn＝__________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是______．
5．已知公差大于0的等差数列{an}满足a2a4＝a11，a3＝5．(1) 求{an}的通项公式；
　　　　设{an}的公差为d(d＞0)．由题意得(5－d)(5＋d)＝5＋8d，化简得d2＋8d－20＝0，解得d＝2或d＝－10(舍去)，所以an＝a3＋(n－3)d＝5＋2n－6＝2n－1．
5．已知公差大于0的等差数列{an}满足a2a4＝a11，a3＝5．(2) 在an与an＋1之间插入2n个2，构成新数列{bn}，求数列{bn}的前110项和S110．
　　　　由(1)知在2n－1与2n＋1之间插入2n个2，an＋1前共有n＋21＋22＋…＋2n＝n＋2n＋1－2项．当n＝5时，有67项；当n＝6时，有132项，所以b110应该介于a6和a7之间，即数列{bn}的前110项中共有104个2和{an}中的前6项，所以S110＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋104×2＝244．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 保持数列{an}中的各项顺序不变，在每两项ak与ak＋1之间插入一项2(ak＋1－ak)(其中k＝1,2,3，…)，组成新的数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞2 026，求n的最小值．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3．(1) 求数列{an}的通项公式；
　　　　在2Sn＝3an－3中，令n＝1，得a1＝3．因为2Sn＝3an－3，所以当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3．(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100．
　　　　因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}的前5项：3,9,27,81,243都在数列{bn}的前105项中，这五项和为363，数列{bn}的前105项为3,6,9，…，它们的和为105×3＋105×52×3＝16 695．所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3,9,27,81,243的和，故T100＝16 695－363＝16 332．
(1) 求b的值和数列{an}的通项公式；