精品解析：广东省广州市第一一三中学2023-2024学年高二上学期阶段二（期中）数学试题练习+答案

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本试卷分第Ⅰ卷和第П卷两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上.
2.答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行和垂直的坐标运算求解.
【详解】所以，
，，，所以，
，所以.
故选：C.
2. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.
3. 如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
4. 已知，动点P满足，则P点轨迹是
A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 直线D. 一条射线
【答案】D
【解析】
【分析】利用，从而可以判断点轨迹是一条射线
【详解】由于，即，
所以点轨迹是一条射线，
故选：．
【点睛】本题考查双曲线的定义，应注意定义中的条件，否则会出错．
5. 焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，进而椭圆焦点所在轴求解即可得答案.
【详解】解：因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3
所以，即，
所以，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
6. 已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值
【详解】如图，由双曲线第一定义得①，
又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，，
则
故选：D
【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题
7. 点是正方体侧面内的一个动点，若与的面积之比等于2，则点的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件与的面积之比等于2，可得，然后建立平面直角坐标系求出点的轨迹方程，即可判断.
【详解】如图正方体中，
可知平面，平面，
则，
，即,
以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设正方体棱长为，设，则，
，
整理得，
点的轨迹是圆的一部分，
故选：A.
【点睛】本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断.
8. 如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连结，利用几何关系表示，,并结合椭圆的定义，得到离心率.
【详解】连结，则，并且，
，，，即
.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为120°
B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线恒过定点
D. 直线，，则或0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线方程求得斜率为，得到，可判定A正确；当直线过原点时，得到，满足题意，可判定B错误；化简得到，进而可判定C正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D不正确.
【详解】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为，
即，因为，所以，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意；
当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率，
所以点的直线方程为，即，所以B错误；
对于C中，直线，可化为，
由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确；
对于D中，由直线，
若，可得且，解得，所以D不正确.
故选：AC.
10. 已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为双曲线
B. 若且，则为焦点在轴的椭圆
C. 若，则不可能表示圆
D. 若，则为两条直线
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由，的取值，根据椭圆、双曲线、圆与直线方程的特征，判断曲线表示的形状即可．
【详解】若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确；
若且，可得，，所以为焦点在轴上的椭圆，所以正确；
若，，是单位圆，所以不正确；
若，则化为，表示两条直线，所以正确；
故选：．
11. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的方程为B.
C. D. 或
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，待定系数求得椭圆的方程为，进而结合直线与椭圆的位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题意，得解得故椭圆的方程为，A项正确；由于，故B项正确；
因为直线的斜率，又在轴上的截距为，所以的方程为．由
得．因为直线与椭圆交于，两个不同的点，所以，
解得，故C项正确，D项错误．
故选：ABC
12. 如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.
【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，令，
，
所以在区间上单调递减，
由于，，
所以，即直线与所成的角满足，
又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；
对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；
对于C选项，三棱锥的体积，是定值，故C选项正确；
对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误；

故选：BC
第П卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知直线与平行，则实数的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据直线一般式平行时满足的关系即可求解.
【详解】由得：，解得，
故答案为：1
14. 已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由点与圆的位置关系判断出点在圆内部，由圆的对称性求出的最小值，再由弦恰好为直径求出的最大值.
【详解】由题意可知，该圆的圆心为
因为，所以点在圆内部
由圆的对称性可知，当为弦的中点时，弦最短
且
当弦恰好为直径时，弦最长，即
则
故答案为：
15. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________
【答案】
【解析】
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.
【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，
，
∴到平面的距离.
故答案为：.
【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.
16. 双曲线的的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线方程，设、两点的坐标分别为，，，，线段的中点为，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解即可．
【详解】解：当时，，所以，又，得
所以双曲线的方程为．设、两点的坐标分别为，，，，线段的中点为，，
由，得（判别式△，
，，
点，，在圆上，，．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线相交问题及中点弦问题，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知的顶点.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.
【小问1详解】
线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
【小问2详解】
设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或.
18. 已知圆：和：.
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】（1）圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为.
（2）或
【解析】
【分析】(1)将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长；
(2)当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【小问1详解】
由题意可知：将两圆方程相减可得：，
也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
圆：可化为，
圆心坐标，半径，
由点到直线的距离公式可得：
到公共弦的距离，
由垂径定理可知：公共弦长，
【小问2详解】
由（1）知：圆： ，
圆心坐标，半径，
过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，所以此时切线方程为：，
综上：过点且与圆相切的直线方程为或.
19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
【小问1详解】
解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
【小问2详解】
解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
20. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
21. 已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【解析】
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
22. 已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）首先表示的坐标，即可得到，根据及，求出，即可求出，从而得解；
（2）设，联立直线与椭圆的方程，消元，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案.
【小问1详解】
依题意，，，
所以，，由，可得，
即，解得或（舍去），故，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设、，联立直线与椭圆的方程，
可得，由，得，
所以，
设原点到直线的距离为，
所以，
所以，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，即当时（满足），面积取得最大值，
此时直线方程.