（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展一：空间几何体的外接球与内切球问题（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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角度1：内切球等体积法
角度2:内切球独立截面法
题型二：空间几何体的外接球问题
角度1：外接球公式法
角度2：外接球补型法
角度3：外接球单面定球心法
角度4：外接球双面定球心法
题型一：空间几何体的内切球问题
角度1：内切球等体积法
知识点归纳
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
典型例题
例题1．在正四棱锥中，，则该四棱锥内切球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】过点作平面，则为正方形的中心，连接，如图，
因为，所以，所以，
则四棱锥的体积，
四棱锥的表面积.
设四棱锥内切球的半径为，内切球的球心为，
由，可得，即，
解得，故四棱锥内切球的表面积是.故选：C
例题2．正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
【答案】
【详解】设底面的中心为，连接，则，设四棱锥的内切球的半径为，连接，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为，
∴，即，
解得，∴该四棱锥的内切球的表面积为.故答案为：.
例题3．在三棱锥中，垂直底面，，，若三棱锥的内切球半径为，则此三棱锥的侧面积为___________.
【答案】
【详解】设三棱锥内切球圆心为，以为顶点将三棱锥分为四个小三棱锥，则三棱锥的体积，垂直底面，
三棱锥的体积，则通过三棱锥体积不变可知，
.故答案为：.
角度2:内切球独立截面法
知识点归纳
如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径
1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中
2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和
3、利用相似性求出内切球半径.
典型例题
例题1．轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】轴截面如图所示，设内切球的半径为，则，由题意可得，，
在中，，所以，即，
所以内切球体积为，故选：D
例题2．已知圆锥的底面圆半径为，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若，则圆锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】作圆锥的轴截面，如图，截球得大圆为圆锥轴截面等腰的内切圆，圆心在高中，是腰上的切点，，设圆锥高为，由得，即，，
，，令，，
，由勾形函数性质知在上单调递减，在上单调递增，所以时，取得最小值4，又时，，时，，因此的最大值是，所以．故选：A．
题型一同类题型演练
1．已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，
因为,故 ,则 ，设该四棱锥的内切球的半径为r，
则 ，即 ，解得 ，
故内切球的体积为 ,故选：B
2．在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意，设四棱锥内切球的半径为r，因为，四棱锥的表面积，所以，所以四棱锥内切球的表面积为.故选：B.
3．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，
所以，所以，
因为∽，所以,所以，得，所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为，故选：A
4．如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为，连接.
底面，.，
，
，.
设四棱锥的内切球的半径为，球心为，由，
得，即，解得，故四棱锥内切球的体积为.故选：B.
5．已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为__________,__________.
【答案】
【详解】解:由题知,因为,所以,即为直角三角形,
因为平面所以,因为,所以,
所以为等边三角形,故三棱锥的表面积
;设三棱锥的内切球的半径为,
因为平面,所以,因为,即,解得: .综上三棱锥的表面积为:,内切球的半径为.故答案为:;
6．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为___________；则三棱锥的内切球的半径为___________.
【答案】
【详解】
由于平面，所以，故当时，此时最短，此时直线与平面所成角的最大，此时，由可得，由，所以，由所以，所以的外接圆直径为，由，可得外接圆直径，所以表面积为，设三棱锥的内切球的半径为，
有，解得，所以，故答案为：，.
题型二：空间几何体的外接球问题
角度1：外接球公式法
典型例题
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
例题1．一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】正方体的对角线是球的直径，所以，则，所以球的表面积
故选：D.
例题2．长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【详解】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，
所以长方体的外接球的直径，故长方体的外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：
例题3．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ）
A．B．4C．D．.
【答案】B
【详解】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B
角度2：外接球补型法
①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型）
题设：三条棱两两垂直

②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
典型例题
例题1．已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，
则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，∴该球的体积为.故选：B
例题2．在三棱锥A-BCD中，，，二面角是钝角.若三棱锥的体积为2，则的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，，所以，
又，，，
又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，所以，
所以，因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，则，解得，所以外接球的直径为，，球表面积为．故选：B．

图1 图2
例题3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：
外接球半径，所以外接球体积，
阳马—的体积为．．故选：B．
例题4．在四面体中，，，则这个四面体的体积为____________.
【答案】
【详解】由题意可知，四面体各面都是棱长分别为的全等三角形，
∴该四面体可看做对角线长分别为的长方体切去4个相等的三棱锥得到的．设长方体的长宽高分别是a，b，c，则,解得,则此四面体的体积.
角度3：外接球单面定球心法
知识点归纳
单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
典型例题
例题1．已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________.
【答案】##
【详解】在平面的射影为三角形的外心.又，所以由正弦定理得：三角形的外接圆的半径；设四面体外接球的半径为.解得：.所以外接球的表面积为.
故答案为：.
例题2．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【详解】
如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
例题3．已知球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，
则，，在中，，解得，
，，在中，，
，过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为，最小面积为，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．
所得截面圆面积的取值范围是，故答案为：．
角度4：外接球双面定球心法
知识点归纳
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
典型例题
例题1．如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B
例题2．三棱锥中，二面角为，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥外接球的半径为______．
【答案】
【详解】作出三棱锥P－ABC，如图所示：为的中点，分别为和的外心，过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱锥外接球的球心，设外接球半径，由题意知：和均为边长为2的正三角形，所以，，所以即为二面角P－AB－C的平面角，因为二面角P－AB－C为120°，也即，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则，
所以，则，
在中，因为，，所以，
又因为，所以在中，，即，所以，
故答案为：.
例题3．已知菱形的各边长为，如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，若则三棱锥的体积为___________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为___________.
【答案】 ##
【详解】取中点，连接，则，平面，
∴平面，，又，，
∴，则三棱锥的高，
三棱锥体积为；作于，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，，又，
则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为.故答案为：；.
题型二同类题型演练
1．已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．
【答案】1
【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得，
由，可得，即，解得．故答案为：1．
2．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】解：设正方体外接球的半径为，则由题意可得，即，
所以外接球的表面积为，故答案为：
3．在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为_______________．
【答案】
【详解】将四棱锥P-ABCD补成正方体如图：

则此四棱锥的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为，
所以四棱锥的外接球的直径为，因此四棱锥的外接球的半径为故答案为：
4．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【详解】因为，，则，，同理可证，，所以，、、两两垂直，将三棱锥补成正方体，如下图所示：
正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
5．在中，，将绕旋转至的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】在中，由余弦定理得，所以，
在三棱锥中，，将三棱锥放入长方体，设长方体的长宽高分别为，设三棱锥的外接球的半径为，则，可得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.
6．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】解：把三棱锥放置在一个长方体中，如图：
则长方体的外接球即三棱锥的外接球，其外接球的半径为．三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：.
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面BCD，且，，，则此鳖臑外接球的体积为______．
【答案】
【详解】把鳖臑补成直四棱柱如图，其中，，鳖臑的外接球即为此直四棱柱的外接球，设外接球半径为则
，根据球的体积有外接球的体积为
故答案为：
8．已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因平面，平面，则，而，
则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，

则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，
所以三棱锥外接球的表面积.故选：C
9．在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．60πB．45πC．30πD．20π
【答案】A
【详解】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，
取的中点为，连接，则.设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且,
且平面，平面.平面平面，平面平面，
平面，，平面，，同理
四边形为平行四边形，平面，平面
，即四边形为矩形. ，
外接球半径 外接球的表面积为 故选：A.
10．已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【详解】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，
在等边中，的中点为，所以，又平面平面，是交线，所以平面，且，设，外接球半径为，则在正方形中，，，
在中，，而在截面中，，由可得：解得，所以，所以．故选：B．
11．已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．40πD．80π
【答案】D
【详解】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，
则三棱柱的外接球即为所求.设外接球的球心为，则的外心为，则，
又，则外接球的半径，表面积，故选：D
12．已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，
分别过，作两个平面的垂线交于点O，则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在直角中，可得，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：B.
13．在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：
因，则，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，
因平面平面，则，而，
即有四边形OO1EO2是正方形，则，
中，，则，
所求外接球的表面积.故选：B