人教A版必修第二册 高一数学下学期期末考点复习巩固练习 专题11 与球有关的切接问题综合（2份，原卷版+解析版）

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知识点1 常见的外接球模型
1、墙角模型
适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
直接用公式，即，求出

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、麻花模型
适用范围：对棱相等相等的三棱锥
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，
，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出.
3、垂面模型
适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，
作小圆的直径,连接,则 必过球心.
第二步：为的外心，所以平面，
算出小圆的半径
(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理.
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
（1）；
（2）.公式：
4、切瓜模型
适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线，
两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为，
连接、、、为矩形
由勾股可得
公式：
5、斗笠模型
适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥
推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理公式：
6、矩形模型
适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径
推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径
取斜边的中点，连接，则
所以点即为球心，然后在中解出半径
公式：（为斜边长度）
7、折叠模型
适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.
推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角 .
如图，作左图的二面角剖面图如右图：
和分别为外心，
分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心
由勾股定理可得：.
公式：
知识点2 多面体的内切球
1、正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为a的正方体，其内切球半径为R=a2.
2、直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，
故仅有满足ℎ=2r的直三棱柱有内切球，其中ℎ为直三棱柱的高
3、棱锥的内切球
1、方法：一般采用等体积法
2、结论：
（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=3VS.
（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为612a.
3、推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，
则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，
设∆ABC，∆ABD，∆ACD，∆BCD的面积分别为S1，S2，S3，S4
则VA−BCD=VO−ABC+VO−ABD+VO−AACD+VO−BCD，
即V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R=13(S1+S2+S3+S4)R=13SR，
所以R=3VS
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
特别的：轴截面法
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。
以正四棱锥为例推导：设E、F分别为棱AB、CD的中点，
则∆PEF的内切圆即为该正四棱锥P−ABCD的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：R=r=2S∆PEFC∆PEF（等面积法可得）
知识点3 旋转体的内切球
1、圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径r满足ℎ=2r，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
2、圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为r，高为ℎ，
则S∆PAB=12×2r×ℎ=rℎ，C∆PAB=2r+2ℎ2+r2，
所以R=2S∆PABC∆PAB=rℎr+ℎ2+r2
考点1 墙角模型求外接球
【例1】已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____．
【答案】
【解析】如图，将三棱锥补全成如图的长方体，则根据对称性可得：
三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，
设球的半径为R，又，
∴，故
∴球O的表面积为．故答案为：
【变式1-1】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，，∴，即有，又平面，所以，，两两互相垂直，该鳖臑如图所示：
图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线，也是外接球的直径，设外接球半径为R，则，所以鳖臑的外接球表面积为.故选：B．
【变式1-2】“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，
所以外接球的半径为，
外接球的表面积.故选：C.
【变式1-3】正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】为中点，，，，，
又，平面，平面，
平面，，又，，平面，
平面，又三棱锥为正三棱锥，侧面为全等的等腰直角三角形，
三棱锥为如图所示的棱长为的正方体的一角，该正方体的外接球即为三棱锥的外接球，正方体外接球半径，所求外接球表面积.故答案为：.
【变式1-4】已知三棱锥的体积为6，且.则该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意得，设点A到平面的距离为h，则
，又，则两两垂直，取BC中点M，
连接PM并延长至D，使，连接，
则四棱锥中，底面，且为矩形，
故四棱锥可以补形为以为底面的长方体，
且为该长方体的体对角线，中点即为外接球球心O，
又，
则该三棱锥外接球的表面积为故答案为：
【变式1-5】在半径为R的球面上有A，B，C，D四点，且直线两两垂直，若的面积之和为6，则此球体积的最小值为____．
【答案】
【解析】因为线段两两垂直，所以三棱锥可以补全为一个长方体，线段分别为长方体的长、宽、高，则半径为R的球即为长方体的外接球.
令，所以有
又因为的面积之和为6，
所以，即.
由基本不等式有，所以，
当且仅当时等号成立，此时 ，.故答案为：.
考点2 麻花模型求外接球
【例2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：则，故，球的半径，
故体积为.故选：D
【变式2-1】在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________．
【答案】
【解析】在△ABC中，由余弦定理得，所以．
在三棱锥D—ABC中，．将三棱锥D—ABC放入长方体，
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，棱锥D—ABC外接球的半径为R，
则，所以，所以，
从而三棱锥D—ABC外接球的体积故答案为：
【变式2-2】如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，即三棱锥的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：
设，则，所以，于是三棱锥的外接球直径为，半径为，所以该三棱锥外接球的表面积为：.故选：C.
【变式2-3】在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线，设长方体的同一顶点三条棱长分别为,且长方体的面对角线长为，
则,长方体体对角线为长方体外接球直径，即为三棱锥外接球的直径，，它外接球半径等于，所以球的表面积为.故选:A.
【变式2-4】已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．
【答案】/
【解析】根据题意，只需四面体ABCD在圆锥的内切球内，下面求四面体ABCD的外接球半径．
如图所示，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，则，，，故，可得四面体ABCD的外接球半径为．当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD的外接球，则此时圆锥的内切球的半径为，底面圆的半径为，母线长为，所以侧面积为.
故答案为：.
考点3 垂面模型求外接球
【例3】在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【解析】由正弦定理得,△外接圆直径为，得r=3.设球心到平面的距离为，则.∴三棱锥的外接球半径为.故选：C
【变式3-1】已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，
是中点，连接，如图所示：，，
则，四边形为矩形，，，
故，.故选：C
【变式3-2】在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得出图形如右图：
O为球心，N为底面截面圆的圆心，ON⊥面ABC，∵在三棱锥P-ABC中，AP=2， ，PA⊥面ABC，且在中，∴根据正弦定理得出： ，解得，
∵PA⊥面ABC，∴PA//ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，
∴根据等腰三角形得出： ，解得
∴三棱锥的外接球的表面积为.故选：B.
【变式3-3】在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面的外接圆的半径为r，，
则在中，，可得，所以，设底面三角形的外心为，过作底面的垂线，由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点
即为三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为R，而，
则外接球的半径为，
即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值，
此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：,故选：B
【变式3-4】如图，在三棱推中，高（底面），．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求三棱锥外接球的表面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知，底面，
故,
故；
（2）由，可得，
设的外接圆半径为r，则，
设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，
则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，则四边形为矩形，
O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，
则,
故三棱锥外接球的表面积为.
考点4 切瓜模型求外接球
【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】A
【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径
O为中点，∴，，
∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，
设，由球O的体积为，可得，
则，∴三棱锥的体积为9，故选∶A．
【变式4-1】三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：取BD的中点O，因为则是直角三角形，因为，所以是直角三角形，所以和的外接圆的圆心都是，又因为平面平面BCD，所以O为外接球的球心，因为，，所以外接球的半径为，
所以外接球的体积为，故选：A
【变式4-2】在直三棱柱中，，，点P为的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（ ）
A．. B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，分别取的中点，连接，
则，因为平面，所以平面，平面，
因为，所以即为外接圆的圆心，所以四面体PABC的外接球的球心在上，设，四面体PABC的外接球的半径为，则，，则，解得，所以，所以四面体PABC的外接球的体积为.故选：A.
【变式4-3】四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，，取中点，连接；四边形为矩形，为四边形的外接圆圆心；在线段上取，为等边三角形，为外接圆圆心，过分别作平面和平面的垂线，则两垂线交点即为球的球心，
为等边三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面，；同理可得：，四边形为矩形；
，，，即球的半径，
球的表面积.故选：B.
【变式4-4】在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.
【答案】
【解析】取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，
是该三棱锥外接球的球心，连接,则分别在上，
平面，平面，，，因为平面平面，，
平面平面，平面所以平面，所以，
同理可得，所以四边形是平行四边形，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，平面，所以，
∵，∴，
∴四边形为正方形，∴，
在直角三角形中，球半径
∴外接球体积为，故答案为：
【变式4-5】在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．4π B．8π C． D．
【答案】C
【解析】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，如图①所示：
取的中点，连接，连接交于，由，则在等腰中有：，
又平面平面，且平面平面ABCD=，则平面，
又，所以在中，，
由底面为正方形，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点，连接，则，
外接圆的圆心为，且在上，过点，分别作平面与平面的垂线，
则两垂线必交于点，点即为四棱锥外接球的球心，且平面，
又平面，即平面，所以，所以四边形为矩形.
如图②连接，则，在中，，
所以，解得，所以，所以，
在图①中连接，由，所以在中，，即四棱锥外接球的半径为，所以四棱锥外接球的表面积为：，故选：C.
考点5 斗笠模型求外接球
【例5】正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，的内心为M，则平面ABC，由平面ABC，则，
由，
则.故选：C
【变式5-1】已知正四棱锥（底面四边形是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正四棱锥的高为，则，解得，正方形的对角线长为，设外接球的半径为，则，解得，所以外接球的体积为.故选：C
【变式5-2】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（ ）
A．16 B．8 C．32 D．24
【答案】C
【解析】因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，所以该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱锥，当半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，设正方形的边长为，设，连接，则面，所以正四棱锥的高为，设，正四棱锥的表面积为，
由，即为，
整理可得：，所以，可得，
所以正四棱锥体积为，
则，
设，可得，所以，
当且仅当即，时，等号成立，该四棱锥的表面积最小值是，故选：C.
【变式5-3】在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】因为，所以点在底面的射影为的外心，
所以球心在直线上，设三棱锥外接球的半径为，
因为，所以，，
由可得，，解得，
故此三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
考点6 矩形模型求外接球
【例6】已知三棱锥A-BCD中，，，则此几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，O为CD的中点，
根据题意，和都是直角三角形，且 是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径所以外接球的表面积为：.故选：D.
【变式6-1】把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，
易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，计算可得BC=CD=BD=，设球心到平面的距离为，
则.故选：A
【变式6-2】矩形中，，沿将三角形折起，得到的四面体的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】矩形中，，由勾股定理可得：矩形的对角线为5，由题意得：四面体的外接球的半径为矩形对角线的一半，即半径为，当四面体的体积最大时，半径也是，故此四面体外接球的表面积为.故选：A
【变式6-3】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将△ABC沿对角线AC折起，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（ ）
A．36π B．64π
C．100π D．与二面角B-AC-D的大小有关
【答案】C
【解析】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，所以.设,则.所以O为三棱锥B-ACD的外接球的球心，半径为.
所以三棱锥B-ACD的外接球的表面积为.故选：C
考点7 折叠模型求外接球
【例7】已知菱形的边长为3，，沿对角线折成一个四面体，使平面垂直平面，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法1：是的中点，由题意可知： 平面，
如图所示，设球心为，在平面中的射影为，是的中点，，则，,
所以，球的体积为．故选：A．
法2：的外接圆半径，，代入公式可得：球的体积为．故选：A．
【变式7-1】已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥外接球的半径为
【答案】
【解析】如图，设D为AB的中点，连接CD, ,由于，为正三角形，故 ，可得：，，
代入公式可得：，所以外接球半径
【变式7-2】两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，因为正三角形与的边长为4，
所以⊥，⊥，且，
故为二面角的平面角，，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，，，
因为⊥，⊥，，平面，
所以⊥平面，因为平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
取的中心，则点在上，且，故，
则球心在点正上方，连接，过点作⊥于点，
则，设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，故外接球半径，
故球O的表面积为.故选：B
【变式7-3】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为____________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，∵，
则，且∴二面角的平面角为，
故为等边三角形，即，
则，∵，则，
设的外接圆圆心分别为，半径为，则，即，故在的延长线上，同理的外接圆圆心分别为在的延长线上，
∵平面，∴平面，
且平面，平面，
故平面平面，平面平面，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，
则平面，面，故平面，
连接，则，
可得，则三棱锥的外接球的半径，
故三棱锥的外接球的表面积.故答案为：.
【变式7-4】已知在三棱锥中，中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，因为，，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为AB⊥BC，，所以，，因为，所以，过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得，在△OSD中，，由余弦定理可得，即，解得，
所以其外接球的表面积为.故选：A.
考点8 多面体的内切球
【例8】三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可得，解得，，由勾股定理可得，，设中点为，连接，则，且，
所以，即.
设该三棱锥内切球的球心为，半径为，
由，
即，
即，
解得.故选：D.
【变式8-1】在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，
所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，
设等边三角形的内切圆半径为，则，解得，
所以内切球的半径为，其表面积为.故选：D
【变式8-2】已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为_____________.
【答案】；
【解析】由题知,因为,所以,即为直角三角形, 因为平面所以,因为,所以,所以为等边三角形,故三棱锥的表面积
;设三棱锥的内切球的半径为,
因为平面,所以,因为,
即，解得：.综上三棱锥的表面积为:,内切球的半径为.故答案为:;
【变式8-3】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积为______．
【答案】；
【解析】设球的半径为r，则，得r＝2，所以正三棱柱的高为2r＝4．又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，设底面边长为a，则，解得，
所以底面正三角形的边长为，所以正三棱柱的侧面积，
体积．
【变式8-4】（多选）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的是（ ）
A．圆台的高为4 B．圆台的母线长为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
【答案】BD
【解析】设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，则共线，且，
连接，则分别平分，
故，故，解得，
故圆台的高为,母线长为，圆台的表面积为，球的表面积，故选：BD
考点9 旋转体的内切球
【例9】已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵圆锥的母线与底面所成的角为60°，∴设底面圆的半径为a，母线长为，则，∴，∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积，解得，设该圆锥内切球的半径r，易知圆锥轴截面为等边三角形，故．故选：D．
【变式9-1】已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，母线，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示，O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，设球O的半径为R，底面圆E的半径为r
因为圆锥侧面积为，所以，解得.
由勾股定理，所以.又因为与相似，
，解得，所以球的体积.故选：D
【变式9-2】如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________．
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为．故答案为：
【变式9-3】在中，，，现以为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，旋转体的轴截面是边长为3的菱形，设为内切球的球心，
因为，所以，所以，，设内切球的半径为，所以，所以，故内切球的体积，故选：A
考点10 球与球的相切
【例10】（多选）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由图知，故A正确，B错误；易知包装盒的高为，故，
又，所以，故C错误，D正确.故选：AD.
【变式10-1】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.
易得，，，
由，可得，
又，
，
故，，，
又由和相似，
可得，即，解得，即小球的最大半径为.
所以小球的表面积最大值为.故选：A
【变式10-2】在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球体积的最小值为________．
【答案】；
【解析】由题意，正方体盒内四个小球最大时，四个小球相切，且与正方体侧面相切，
此时小球半径，则小球体积最大值为，显然大球此时最小，
大球球心O与四个小球球心，，，构成一个正四棱锥，
，侧棱，设正方形的中心，则，
高，将向两端延长交上底面于H，交下底面于K，则：，
故，即，解得．
∴大球体积的最小值为．
故答案为：；．
【变式10-3】半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三个小球的球心、、构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为．
设半球的球心为，小球与半球底面切于点．如图，经过点、、作半球的截面，
半圆的半径，于点．
则．在中，由．故选：D
【变式10-4】如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切.若，则该模型中最小小球的半径为___________.
【答案】/
【解析】如图所示：设O为大球的球心，大正四面体的底面中心为E，
CD的中点为F，棱长为a，高为h，连接OA，OB，OC，OD，
则，大球所对应的正四面体的高为，因为，所以，所以，因为大正四面体的棱长为12，
所以 ，，，，
，，故答案为：
1．已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，．若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，∵球的体积为，∴，解得.
∵，，所以，
又，所以，所以，
∴外接圆的半径，解得.设球心到底面的距离为，则，∴这个直三棱柱的体积.故选：B.
2．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN．∵棱台侧棱相等，
∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，
如图当球心在线段MN延长线上时，
易得，MC＝2，
，，MN＝1，
由得，，
即，
故OC＝，∴外接球表面积为．
如图当球心在线段MN上时，由得，，
即舍去，故选：A
3．有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6．若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为，由等面积法可得，解得，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为，因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为.故选：B.
4．上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，上、下底面边长分别为，，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设三棱台为，其中是下底面，是上底面，点，分别为，的中心，则，，同理，
所以，同理.
所以.所以点就是几何体的外接球的球心.所以球半径，所以体积为．故选：A
5．已知四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得点D到达点P，则三棱锥P-ABC体积最大时，其外接球半径为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设交于点E，，要使三棱锥P-ABC体积最大，则平面ABC，其体积为：，
则当，即时，三棱锥P-ABC体积最大.注意到此时，，且均为等边三角形，设外心为，外心为，
过分别作平面BAC，平面PAC垂线，点为，则O为三棱锥P-ABC外接球球心.又为重心，则，结合四边形是矩形，则.又外接圆半径为，
则三棱锥P-ABC外接球半径为.故选：B
6．正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】设正方体的边长为，正方体的体积为,,正方体的外接球的半径为,所以.故选:B.
7．已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为和，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，球的内接三棱锥即三棱锥的外接球，即长宽高分别为和的长方体的外接球，又长方体的体对角线长为外接球的直径，所以球的半径，球的体积为.故选：D.
8．已知点都在球的球面上，， 是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，若是的中点，则是的中心，连接，如下图示：由题设知：，，又，则面，而面，即面面，过作面，则必在直线上，易知：为与平面所成角的平面角，
又与平面所成角的正弦值为，，可得．过作交于，易知：，而，即，又，故为的中点，，
∴，即是球心，故球的半径为1，∴球的表面积为．故选：B.
9．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，,所以球的体积.故选：D
10．已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】三棱锥中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为，∵的最大值是，∴，解得，即PQ的最小值为，的最小值是1，即A到BC的距离为1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°，又∠BAC＝60°，所以重合，则∠ACB＝90°，
则△ABC的外接圆圆心M为AB的中点，又PA⊥平面ABC，
从而外接球的球心O为PB的中点，
外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积．故选：B．
11．若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为，由题意可知：，解得：，
所以正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径，则外接球的体积为，故选：.
12．已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】面与面夹角正弦值为1，面面，又面面面，平面，则空间四边形可以内接于圆柱中，如下图所示：点在上底面圆周上，三个顶点在下底面圆周上，则圆柱的外接球即空间四边形的外接球，取的中点为，连接，则球心为，半径为，且，
为正的外接圆半径，由正弦定理得，即，所以；
如下图，设空间四边形的内切球球心为，连接，设内切球半径为，
则，
又中，，所以，
所以，
所以外接球与内切球的表面积之比为.故选：C.
13．在中，，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的表面积为___________.
【答案】
【解析】过点作，垂足为点，将以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体是以为底面圆半径，、为母线的两个圆锥拼接而成的组合体，
设该组合体的内切球球心为点，则点在线段上，点到、的距离相等，设内切球的半径为，则，即，所以，，
因此，该几何体的内切球的表面积为.故答案为：.
14．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为_________.
【答案】
【解析】设球心到面ABCD的距离为，半径为，由矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上可知球心在底面ABCD的投影为矩形的中心，易得，，故.故答案为：
15．多面体的各顶点在半径为2的球面上，是矩形，，则多面体体积的最大值为__________.
【答案】/
【解析】设外接球的球心为，矩形的外接圆的圆心为，即直线的交点，
则，最大，则到平面的距离最长，
此时在一条直线上，即平面，则，
∴多面体体积的最大值.
故答案为：.
16．已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为_________.
【答案】
【解析】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，则圆台的高，测圆台的母线长为，
据此可得圆台的侧面积为.故答案为：.
17．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】将三棱锥还原到长方体中，如图所示
则长方体的外接球的半径为，故所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为：
18．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.
【答案】
【解析】取中点为,过作交于，则,即为中点.
因为平面,所以平面.因为,所以,所以，,
所以，是三棱锥外接球球心,为球的半径.
由,
又,
当且仅当,等号成立,此时,
所以球半径,故,
该“鞠”的体积最小值为故答案为：
19．三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．
【答案】
【解析】作出三棱锥P－ABC，如图所示：为的中点，分别为和的外心，
过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱锥外接球的球心，设外接球半径，由题意知：和均为边长为2的正三角形，
所以，，所以即为二面角P－AB－C的平面角，因为二面角P－AB－C为120°，也即，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则，所以，则，
在中，因为，，所以，又因为，所以在中，，即，所以，
故答案为：.
20．已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意知△ABD和△BCD为等边三角形，取BD中点为E，连接AE，CE，
如图所示，则AE⊥BD．由平面平面CBD，平面平面CBD=BD.
平面ABD，故AE⊥平面CBD，
有 球心O在平面BCD的投影为△BCD的外心，
球心O在平面ABD的投影为△ABD的外心，有，，
则在中， ，
所以外接球半径
空间四边形外接球的表面积
故答案为：．