立体几何专题：简单几何体的外接球-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（原卷及解析版）

这是一份立体几何专题：简单几何体的外接球-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（原卷及解析版），文件包含立体几何专题简单几何体的外接球-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义人教A版2019必修第二册原卷版docx、立体几何专题简单几何体的外接球-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义人教A版2019必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
一、外接球和内切球概念及球的相关公式
1、空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
2、空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
3、球的表面积：S＝4πR2
4、球的体积：V＝eq \f(4,3)πR3
二、常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)
2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，外接球半径为R，则2R=3a

长方体的外接球 正方体的外接球
3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径R=64a.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a，外接球半径R=22a
三、能补形为长方体的类型
类型1：墙角模型
找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
类型2：对棱相等
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，
，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出，
四、多边形外接圆半径
1、正（长）方形：半径等于对角线的一半
2、等边三角形：半径等于三分之二高
3、直角三角形：半径等于斜边的一半
4、一般的三角形：正弦定理
题型一 长方体和正方体的外接球
【例1】已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
【变式1-2】已知长方体ABC-A1B1C1的共顶点的三条棱长度之比为1:2:2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为 .
【变式1-3】长方体的三个相邻面的面积分贝为2:3:6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为（ ）
A.72π B.56π C.14π D.64π
【变式1-4】在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
B． C． D．
题型二 补形法解决墙角模型
【例2】一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是( )
A．20eq \r(2)π B．25eq \r(2)π C．50π D．200π
【变式2-1】鳖臑（biē nà）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（ ）
A． B． C．49π D．
【变式2-2】已知都是球表面上的点，平面，，，，，则球的表面积等于______
【变式2-3】表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_____．
【变式2-4】三棱锥中， ，则三棱锥的外接球的半径是 .
题型三 直棱柱的外接球
【例3】已知正三棱柱的体积为3eq \r(3) cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为____________ cm2.
【变式3-1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
πa2 B．eq \f(7,3)πa2 C．eq \f(11,3)πa2 D．5πa2
【变式3-2】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为
【变式3-4】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A.10 B.20π C.24π D.32π
题型四 正棱锥的外接球
【例4】已知正四棱锥O-ABCD的体积为2，底面边长为2，则该正四棱锥的外接球的半径为 .
【变式4-1】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A．eq \f(81π,4) B．16π C．9π D．eq \f(27π,4)
【变式4-2】已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底边成AB=3，则此棱锥的体积为 .
【变式4-4】半径为2的球的内接三棱锥P-ABC，PA=PB=PC=23，AB=AC=BC，则三棱锥的高为（ ）
A.32 B.332 C.22 D.3
题型五 圆柱的外接球
【例5】(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
π B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
【变式5-1】已知圆柱的高为2，底面半径为eq \r(3)，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )
A．4π B.eq \f(16,3)π C.eq \f(32,3)π D．16π
【变式5-2】已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，则圆柱的表面积与球O的表面积之比为（ ）
A.3:4 B.1:2 C.32:8 D.不能确定
【变式5-3】已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（ ）
A.3π B.4π C.6π D.9π
题型六 圆锥的外接球
【例6】已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为______.
【变式6-1】如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球（其中球心在圆锥内），则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 ．
【变式6-3】已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为，则球的表面积为
立体几何专题：球的“外切”和“内切”问题
一、正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为a的正方体，其内切球半径为R=a2.
二、直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，
故仅有满足ℎ=2r的直三棱柱有内切球，其中ℎ为直三棱柱的高
三、棱锥的内切球
1、方法：一般采用等体积法
2、结论：（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=3VS.（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为612a.
3、推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，
则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，
设∆ABC，∆ABD，∆ACD，∆BCD的面积分别为S1，S2，S3，S4
则VA−BCD=VO−ABC+VO−ABD+VO−AACD+VO−BCD，
即V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R=13(S1+S2+S3+S4)R=13SR，所以R=3VS
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
特别的：轴截面法
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设E、F分别为棱AB、CD的中点，
则∆PEF的内切圆即为该正四棱锥P−ABCD的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：R=r=2S∆PEFC∆PEF（等面积法可得）
四、圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径r满足ℎ=2r，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
五、圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为r，高为ℎ，
则S∆PAB=12×2r×ℎ=rℎ，C∆PAB=2r+2ℎ2+r2，
所以R=2S∆PABC∆PAB=rℎr+ℎ2+r2
题型一 正方体的内切球
【例1】已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 .
【变式1-2】已知正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ）
A18:1 B.3:1 C.33:1 D. 3:2
题型二 棱柱的内切球
【例2】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为eq \f(32π,3)，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96eq \r(3) B．16eq \r(3) C．24eq \r(3) D．48eq \r(3)
【变式2-1】(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9π,2) C．6π D.eq \f(32π,3)
【变式2-2】正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-3】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ）
A.4π B.9π2 C.6π D.32π3
【变式2-4】已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=6，BC=8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为（ ）
A.2:5 B.4:25 C.2:29 D.4:29
题型三 棱锥的内切球
【例3】四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A．6 B．5 C.eq \f(9,2) D.eq \f(9,4)
【变式3-1】我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P­ABC内有一个体积为V的球，若PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，则V的最大值是( )
A.eq \f(5\r(2)＋3,6)π B.eq \f(5π,3) C.eq \f(5\r(2)－7,6)π D.eq \f(32π,3)
【变式3-2】如图，在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）
B． C． D．
【变式3-3】已知正三棱锥的高为 1，底面边长为 23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 ．
【变式3-4】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P−ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=3，BC=AB=4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R= ；内切球的体积V= ．
题型四 圆柱的内切球
【例4】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为
A． B． C． D．
【变式4-1】圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（玻璃球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ）
A.203cm B.15cm C.103cm D.20cm
【变式4-2】如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（ ）
A.323π B.43π C.4π D.16π
【变式4-3】如图，圆柱内有一个内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为（ ）
A.π B.2π C.4π D. 8π
题型五 圆锥的内切球
【例5】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
【变式5-1】已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【变式5-2】一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为( )
B． C． D．
【变式5-3】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】求底面半径为10，母线长为26的圆锥的内切球的表面积及体积．
题型六 球与球的相切问题
【例6】底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切。现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_____.
【变式6-1】在半径为的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切，另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是
A． B． C． D．
【变式6-3】有四个半径为1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切．在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切．则球的半径为 ．
【变式6-4】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离