四川省成都市成华区某校2025-2026学年高一上学期阶段性考试（一）数学试题含解析

这是一份四川省成都市成华区某校2025-2026学年高一上学期阶段性考试（一）数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了 已知函数 ，则， 若 ，则下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1. 已知集合 ，则集合 的真子集个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合子集个数的计算公式即可得.
【详解】集合 有 3 个元素，故集合 的真子集个数为 .
故选：A.
2. 已知命题 ，则 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题 为全称量词命题，
则 是： .
故选：B
3. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
第 1页/共 15页
【解析】
【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可.
【详解】对于 A， ，A 错误；
对于 B， 的定义域为 R， 的定义域为 ，B 错误；
对于 C， 和 定义域和对应关系都相同，C 正确；
对于 D，由 ，解得 ，故 的定义域为 ，
由 ，解得 或 ， 的定义域为 ，定义域不一致，D 错误.
故选：C
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ，再求 得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
5. 已知 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质一一判断即可.
【详解】对于 A：因为 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ， ，则 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C：当 时，因为 ，所以 ，
当 时 ，
第 2页/共 15页
当 时， ，因为 ，所以 ，
所以 ，
综上可得 ，故 C 正确；
对于 D：当 时，因 ，所以 ，所以 ，
当 时 ，
当 时， ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
综上可得 ，故 D 错误；
故选：D
6. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数和具体函数定义域 求法，列不等式求解可得.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，解得 ，
根据解析式有意义可知 ，即 ，
综上， .
所以函数 的定义域为 .
故选：A．
7. 要建造一个容积为 9 立方米，深为 1 米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为 100 元，水池
第 3页/共 15页
的壁每平方米的造价为 90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ）
A. 2100 元 B. 1980 元 C. 1870 元 D. 1760 元
【答案】B
【解析】
【分析】设水池底部长宽分别为 米，根据已知有 、总造价 ，应用基本不等
式求最小值，注意取值条件.
【详解】设水池底部长宽分别为 米，则 ，
所以水池总造价为 ，
当且仅当 时等号成立，故总造价最小值为 元.
故选：B
8. ， ，若 ，则以下结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再由交集的结果，可知方程 有两个实数根
， ， 且 ，结合韦达定理计算可得.
【详解】由 得 ，解得 ，所以 ，
因为 ， ，
所以方程 有两个实数根 ， ， 且 ，
所以 ，故 D 正确；
又 ，所以 ，故 A 正确，B 错误；
，故 C 正确.
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
第 4页/共 15页
9. 若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】采用作差法可知 AB 正确；通过反例可说明 CD 错误.
【详解】对于 A， ，
， ， ， ，故 A 正确；
对于 B， ，
， ， ， ，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，故 C 错误；
对于 D，若 ，则 ， ，故 D 错误.
故选：AB.
10. 关于 x 的不等式 的解集可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先因式分解，得出方程 可能存在的根，再对 a 进行分类讨论，最后得到不等
式 的可能解集.
【详解】因为 ，所以 ，
当 a＞0 时， ，不等式解集为 ；
当 a＝0 时， ，不等式解集为 ；
当 a＜0 时， ，若 ，解集为 ；
第 5页/共 15页
若 ，解集为 R；
若 ，解集为 ．
故选：BCD
11. 已知 ，关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的
是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 4 D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】依题意可得 和 为关于 的方程 的两根且 ，利用韦达定
理得到 ，即可得到 ，从而判断 A；再利用基本不等式判断 B、C、D.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 和 为关于 的方程 的两根且 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故 A 正确；
又 ，所以 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等
号，
所以 的最大值为 ，故 B 正确；
，
第 6页/共 15页
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ，故 C 正确；
因为 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ，故 D 错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.
12. 有 A、B、C 三个城市，至少去过其中一个城市的有 18 人，去过 A、B、C 三个城市的分别有 9 人，8 人，
11 人，同时去过 A、B 的有 5 人，同时去过 B、C 的有 3 人，同时去过 A、C 的有 4 人，则同时去过 A、B、
C 三个城市的有________人．
【答案】2
【解析】
【分析】若同时去过 有 人，根据已知及容斥原理列方程求解即可.
【详解】若同时去过 的有 人，则 ，可得 .
故答案为：2
13. 已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 的解集为 得到 ， 且 ，进而根据二次函数
的性质即可求解.
【详解】由题意得 的两个根为 ， ，且 ，
第 7页/共 15页
， ，则 ， ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
则不等式 的解集为 .
故答案为： .
14. 当 时，关于 x 的不等式 有解，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知不等式有解得出 有解，再应用基本不等式得出参数范围即可.
【详解】当 时，关于 x 的不等式 有解，
所以 有解，所以 ，
，
当且仅当 时取最小值 6，
则 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）若集合 ，且 ，求实数 a 的值；
（2）若集合 ，且 ，求实数 a 的值.
【答案】（1）1； （2） .
第 8页/共 15页
【解析】
【分析】（1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可；
（2）按 和 进行分类讨论并由集合间的包含关系，即可得出实数的取值范围.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 或 ，解得 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
①当 时， 成立；
②当 时， ，所以 或 2，解得 或 1，
综上，实数 的值为 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求实数 m 的取值范围;
（2）若 ， ，p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论 ， 两种情况，结合交集运算的结果得出实数 的取值范围；
（2）由 p 是 q 成立的充分不必要条件，得出 是 的真子集，再由包含关系得出实数 的取值范围．
【小问 1 详解】
由 ，得
①若 ，即 时， ，符合题意；
②若 ，即 时，需 或 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
【小问 2 详解】
第 9页/共 15页
∵p 是 q 的充分不必要条件，
∴ ，
∴ 是 的真子集．
则 不同时取等号，解得 ．
实数 的取值范围为 ．
17. 2024 年 8 月 12 日，为期 16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.
这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人
们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会 的吉祥物产自中国
.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入 300 万元费用.假设购进该款产品全部售出
.若以 80 元的单价出售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过 30 万
件，则经销商按照每件 30 元成本收费；若购进 30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销
售，此时利润 （万元）与销量 （万件）的关系为 .
（1）当购进产品数量为 10 万件时，利润是多少？
（2）写出利润 万元关于购进产品数量 （万件）的函数解析式？（利润 销售收入-成本）
（3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】（1）200（万元）；
（2）
（3）当 （万件）时，利润最大，此时利润是 910（万元）
【解析】
分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
（2）对 进行分类讨论写出 的解析式；
（3）对 分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
【小问 1 详解】
第 10页/共 15页
（万元）.
所以当购进产品数量为 10 万件时，利润是 200 万元.
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时，不妨设降价 元，购进产品全部售出，
则 ，得到 ，
所以 ，
当 时， ，
所以
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时， ，
当 （万件），利润最大，此时利润是 450（万元），
当 时， ，
当 （万件），利润最大，此时利润是 500（万元），
当 时，
，
当且仅当 ，即 ，
当 （万件），利润最大，此时利润是 910（万元），
因为 ，所以当 （万件）时，利润最大，此时利润是 910（万元）.
18. 已知 是二次函数，满足 且满足条件 .
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围；
第 11页/共 15页
（3）解关于 x 的不等式： .
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意设 ，由 得 ，再由 列式解得
，即可得 ；
（2）依题意 对于 恒成立，对二次项系数为零与否分类讨论，分别求出参数的取
值范围最后取并集即可；
（3）将 代入按 与 和 的大小关系分类讨论求解含参不等式 即可.
【小问 1 详解】
设 ，由 得， ，
故 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ， ，
所以 .
【小问 2 详解】
对一切实数 x 恒成立，即 恒成立
①当 时， 恒成立；
②当 时， ，解得 ，
综上 的取值范围为 .
第 12页/共 15页
【小问 3 详解】
，即 ，即 ，
①当 时，此时 ，解集为 ；
②当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
③当 时，此时 ，解集为 或 ；
④当 时，不等式化为 ，解集为 ；
⑤当 时，此时 ，解集为 或 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ..
19. 设集合 ，其中 ，正整数 ．若对任意 ，
与 至少有一个属于 ，则称 具有性质 ．
（1）分别判断集合 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）当 时，若 具有性质 ，且 ，求集合 ；
（3）记 ，若 具有性质 ，求 的值.
【答案】（1）集合 具有性质 ，集合 不具有性质 ，理由见解析．
（2）
第 13页/共 15页
（3）
【解析】
【分析】（1）利用给定定义证明即可.
（2）利用给定条件结合集合的互异性求解即可.
（3）由 及 可得 ，
， ， ， ，利用累加法得 ，进而求解.
【小问 1 详解】
在集合 中，
因为 ， ， ， ， ， ，所以集合 具有性质 ．
而集合 中，因为 ， ，所以集合 不具有性质 ．
【小问 2 详解】
因为 ，且 具有性质 ，
所以 ， ，则 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
由集合的互异性知， ，而 ，
所以 ．故 ．
【小问 3 详解】
因为 具有性质 ，所以 ，
则 ，则 ．
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
所以 ， ， ， ， ．
所以 ，
即 ，
第 14页/共 15页
所以 ，则 ．
第 15页/共 15页