2025-2026学年四川省成都市成华区某校高二上学期阶段性考试（一）数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省成都市成华区某校高二上学期阶段性考试（一）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为( )
A. 52B. 48C. 36D. 24
2.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩(单位：分)分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是( )
A. 88分B. 84分C. 85分D. 90分
3.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40％，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为( )
A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
4.若l,n是两条不相同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若l⊥n，n⊥β，则l//βB. 若α⊥β，l⊥α，则l//β
C. 若α//β，l⊂α，则l//βD. 若l//α，α//β，则l//β
5.已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量m=a+2b，n=a-c构成空间另一个基底的向量是( )
A. 2a+2b-cB. a+4b+cC. b-cD. a-2b-2c
6.向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,-4,2)，且a⊥c，b→//c→，则2a+b=( )
A. 6B. 2 2C. 3 2D. 2 3
7.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为14，13，15，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. 1825B. 1315C. 6475D. 1175
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是空间内的动点，且PB+PD1=2 3，则AP⋅PB的最小值为( )．
A. 1- 3- 2B. 1+ 3- 2C. -4-2 6D. -4+2 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若a⋅b>0，则向量a，b的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O，有OP⃗=112OA⃗+14OB⃗+23OC⃗，则P，A，B，C四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12
C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件
11.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ，μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=1时，三棱锥P-A1B1B的体积为定值 33
B. 当三棱锥P-A1BC的体积为定值2 33时，μ=1
C. 当λ=12时，有且仅有两个点P，使得A1P⊥BP
D. 当A1B⊥平面AB1P时，λ=1,μ=12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量a=(2,2,2)，b=(2,-1,2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是
13.我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是
14.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=13，P(B)=34，P(A+B)=12，则P(AB+AB)=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知棱长为1的正四面体OABC，E，F分别是AB，OC的中点．

(1)用OA,OB,OC表示向量EF，并求EF的模长；
(2)求OE与BF所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.证明：
(1)当AB=BC时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF内．
17.(本小题15分)
某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m>n．
(1)求m与n的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
18.(本小题17分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，⋯，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．
19.(本小题17分)
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模a×b=a⋅bsina,b.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，AD×BP=8 5．
(1)求AB的长；
(2)若E为AD的中点，求二面角P-EB-A的余弦值；
(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求|λ|．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.C
6.C
7.B
8.C
9.BC
10.ACD
11.BC
12.(43,-23,43)
13.12/0.5
14.712
15.【详解】(1)EF=OF-OE=12OC-12OA-12OB，
EF2=14OC-OA-OB2=14OC2+OA2+OB2-2OC⋅OA-2OC⋅OB+2OA⋅OB=12，所以EF= 22
(2)设θ为异面直线OE与BF所成的角，OE⋅BF=12OA+OB⋅12OC-OB=1212OA⋅OC-OA⋅OB+12OB⋅OC-OB2=-12
又OE=BF= 32，所以异面直线OE与BF所成的角csθ=OE⋅BFOEBF=1234=23．
16.【详解】
(1)因为长方体ABCD-A1B1C1D1，所以BB1⊥平面ABCD∴AC⊥BB1，
因为长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC，所以四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD
因为BB1∩BD=B,BB1、BD⊂平面BB1D1D，因此AC⊥平面BB1D1D，
因为EF⊂平面BB1D1D，所以AC⊥EF；
(2)在CC1上取点M使得CM=2MC1，连DM,MF，
因为D1E=2ED,DD1//CC1,DD1=CC1，所以ED=MC1,ED//MC1,
所以四边形DMC1E为平行四边形，∴DM//EC1
因为MF//DA,MF=DA,所以M、F、A、D四点共面，所以四边形MFAD为平行四边形，∴DM//AF,∴EC1//AF，所以E、C1、A、F四点共面，
因此C1在平面AEF内
17.【详解】(1)依题13mn=1241-(1-m)1-13(1-n)=34m>n，解得m=12n=14
(2)由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为Xi，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件A，
则PX4=12×23×14=112；PX5=12×13×14=124；PX6=12×13×14=124．
故P(A)=112+124+124=16．
18.【详解】(1)由每组小矩形的面积之和为1，得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.030；
(2)由70+802=75，得样本成绩的众数为75，
成绩落在[40,70)内的频率为0.05+0.1+0.2=0.35，
成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，
故中位数在[70,80)内，由70+0.5-×10=75，得样本成绩的中位数为75，
由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74，
得样本成绩的平均数为74；
(3)由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的样本数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的样本数为100×0.2=20，
所以z=54×10+66×2030=62，
总方差为s2=110+2010×7+(54-62)2+20×4+(66-62)2=37．
19.【详解】(1)因为底面ABCD为矩形，
所以AD//BC，BC⊥DC，
因为PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
所以PD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD,DC⊂平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，
又PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC，
因为AD//BC，
所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，即AD,BP=∠PBC，
设AB=x(x>0)，则PC= x2+42= x2+16，PB= x2+42+42= x2+32，
在Rt▵PBC中sin∠PBC=PCPB= x2+16 x2+32，
又AD×BP=8 5，所以4 x2+32⋅ x2+16 x2+32=8 5，解得x=2或x=-2(舍去)，
所以AB=2；
(2)在平面ABCD内过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接PF，
因为PD⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，所以PD⊥BF，
又DF⊥BF，DF∩PD=D，DF,PD⊂平面PDF，
所以BF⊥平面PDF，又PF⊂平面PDF，所以BF⊥PF，
所以∠PFD为二面角P-EB-D的平面角，
因为E为AD的中点，
所以DF=2sinπ4= 2，PF= 42+ 22=3 2，
所以cs∠PFD=DFPF= 23 2=13，
设二面角P-EB-A的平面角为θ，则θ=π-∠PFD，
所以csθ=csπ-∠PFD=-cs∠PFD=-13，
即二面角P-EB-A的余弦值为-13；
(3)依题意AD×BP⊥AD，AD×BP⊥BP，又AD×BP=λEM，
所以EM⊥AD，EM⊥BP，又AD//BC，所以EM⊥BC，
又PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，所以EM⊥平面PBC，
在平面PDC内过点D作DN⊥PC，垂足为N，
由BC⊥平面PDC，DN⊂平面PDC，所以BC⊥DN，
又PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，所以DN⊥平面PBC，
在平面PBC内过点N作MN//BC交PB于点M，在DA上取点E，使得DE=MN，连接EM，
所以DE//MN且DE=MN，所以四边形DEMN为平行四边形，
所以EM=DN，又DN=2×4 22+42=4 55，即EM=4 55，
所以|λ|=AD×BPEM=8 54 55=10．