四川省成都市成华区某校2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析

这是一份四川省成都市成华区某校2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析，共13页。试卷主要包含了 函数 的定义域为， 函数 的图象大致为， 下列命题中是真命题的有， 下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1. 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的基本运算求解即可.
【详解】全集 ，集合 ，
则集合 ，且 ，
所以集合 .
故选：B.
2. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案.
【详解】命题“ ， ”的否定为, ， ,
故选：D
3. 下列函数中，既是偶函数又在 上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】直接由解析式判断函数奇偶性、单调性.
【详解】对于 A， 不是偶函数，故 A 错误；
对于 B， 不是偶函数，故 B 错误；
对于 C，当 时， ，即 在 上不为减函数，故 C 错误；
对于 D，经检验 是偶函数又在 上为减函数，故 D 正确.
故选：D.
4. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可.
【详解】由于 ，需满足 ，
解得： 且 ， .
故选：A.
5. 设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性，可判断三个式子的大小.
【详解】解：函数 为减函数，故 ，
函数 为增函数，故 ，
所以 ，
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即
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于基础题.
6. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数 定义域为 ，且 ，故函数为奇函数，故排
除 BD，
由 ， ，故 C 错误，
故选：A.
7. 若函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，由题可得 在 上单调递减， 在 上
单调递减， ，据此可得答案.
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【详解】令 ，函数 是 上的减函数，
则 在 上单调递减 ， 在 上单调递减 ，
.
则 .
故选：A
8. 已知定义在 上的函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数单调性，结合单调性性质即可求解.
【详解】因为 在 上单调递减，因为 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，
则 ,解得： ，则关于 的不等式 的解集是 :
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中是真命题的有（ ）
A.
B. “ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 设函数 ，则
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D. 函数 的图像必过定点
【答案】CD
【解析】
【分析】对于 A，由空集定义可判断选项正误；对于 B，由必要不充分条件定义可判断选项正误；对于 C，
由分段函数解析式可判断选项正误；对于 D，由 可判断选项正误.
【详解】对于 A，空集为不含有任何元素的集合，则 不属于空集，故 A 错误；
对于 B， 或 ，则“ ”是“ ”的充分不必
要条件，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D，令 ，则 ，故 的图像必过定点
，故 D 正确.
故选：CD
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则
B. 与函数 是同一个函数
C. 若不等式 解集为 ，则不等式 的解集是
D. 已知函数 ，则 解析式是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式性质推理判断 A；利用同一函数定义判断 B；求出不等式的解集判断 C；求出函数解析
式判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，A 错误；
对于 B，函数 定义域为 ，函数 定义域为 R，它们不是同一函数，B 错误；
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对于 C，由不等式 解集为 ，得 是方程 的两根，且
，
则 ，即 ，不等式 化为 ，
即 ，解得 ，C 正确；
对于 D，函数 ，则 ，D 错误.
故选：ABD
11. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 则（ ）
A. 的最大值为 4
B. 在区间 单调递增
C. 的解集为
D. 当 时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用偶函数的性质，结合二次函数性质逐项分析判断.
【详解】对于 A，当 时， ，当且仅当 时取等号，
由函数 是 上的偶函数，得当 或 时， 取得最大值 4，A 正确；
对于 B，函数 在 上单调递增，则 在 上单调递减，B 错误；
对于 C，当 时，由 ，得 ，
由偶函数性质得 时， 的解为 ，因此 的解集为 ，C 正确；
对于 D，当 时， ， ，D 错误.
故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上.
12. 已知函数 为幂函数，则 _____.
【答案】4
【解析】
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【分析】首先根据幂函数的定义求得 ，再代入 .
【详解】由题意 ，解得 ，所以 .
故答案为：4.
13. 已知正数 满足 ，则 的最小值为_____.
【答案】9
【解析】
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】 ,
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为： .
14. 定义在 上的函数 满足：对任意的 ， ，都有 ，且当 时，
，若 ，且 ， ， 恒成立，实数 的取值范
围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数 的奇偶性及单调性并求出在 上的最小值，再结合恒成立建
立不等式，利用一次型函数性质列式求解.
详解】对任意 ，都有 ，
当 时， ，
对任意 ，取 ，得 ，函数 是奇函数，
设 且 ，则 ，而当 时， ，
因此 ，即 ，所以函数 在 上是减函数，
当 时， ，
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由 ， 恒成立，
得 ， 恒成立，
由一次型函数性质得 ，解得 或 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算： ；
（2）计算： .
【答案】（1） ；（2）6.
【解析】
【分析】（1）根据根式运算法则计算即可；
（2）根据对数运算法则和性质计算即可.
【详解】（1）原式 .
（2）原式 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， .
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）先解分式不等式，将 代入集合 ，再根据交集的定义计算即可；
（2）根据题意得集合 和 的包含关系，列不等式，求解即可.
小问 1 详解】
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由 ，得 ，解得 或 ，则 或 ，
当 时， ，
所以 ， ，
则 .
【小问 2 详解】
由 ，得 ，
若 ，则 ，解得 ，此时符合题意；
若 ，则 或 ，解得 或 ；
综上所述，故 的取值范围为 或 .
17. 已知点 在函数 上.
（1）求 解析式并判断 奇偶性，加以证明；
（2）用定义法证明 在 上的单调性；
（3）求 在 上的值域.
【答案】（1） ，奇函数，证明见解析；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）把给定的点坐标代入求得解析式，利用函数奇偶性定义判定并证明.
（2）利用函数单调性定义推理证明.
（3）由（1）（2）的结论，利用单调性求出指定区间上的值域.
【小问 1 详解】
由点 函数 上，得 ，解得 ，
所以函数 解析式为 ，
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是定义在 上的奇函数，
因为 ，
所以 是奇函数.
【小问 2 详解】
设任意 ，
，
由 ，得 ，
则 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
由（2）知 在 上单调递增，
由（1）知 是 上 奇函数，
所以，函数 在 上单调递增，
则当 时， ，
所以 在 上的值域为 .
18. 2025 年 10 月 29 日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如
今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源
汽 车 生 产 设 备 ， 通 过 市 场 分 析 ， 每 生 产 （ 千 辆 ） 获 利 （ 万 元 ）， 关 系 如 下 ：
，该公司预计 2025 年全年其他成本总投入为 万元.由市场调研知，该
种车销路畅通，供不应求.记 2025 年的全年利润为 （单位：万元）.
（1）求函数 的解析式；
（2）当 2025 年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
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【答案】（1） ；
（2） 千辆时，取得最大值 30 万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息直接求出 的解析式.
（2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得
【小问 1 详解】
由函数 ，得 .
【小问 2 详解】
当 时， ，在 处取最大值， （万元）；
当 时，
（万元），当且仅当 （千辆）时取等号，
而 ，所以在 千辆时取得最大值 30 万元.
19. 已知指数函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，当 且 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
（3）若 ，求函数 在 上的最大值 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）令 ，解二次不等式结合指数函数单调性可得答案；
（2）由指数函数单调性可得 ，令 ，由二次函数知识可得答案；
（3）由题可得 ， ，令 ，分类讨论 ， ， 三种情况可得答案
.
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
令 ，得到 ， ，因此 ，得到 ，故解集为 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 是单调增函数，故由 得 ，
因为 ，且 ，所以 恒成立，所以， ，
设 ，令 ，则 ， ，
令 ， ，
则函数 在 上单调递减，所以， ，故 ；
【小问 3 详解】
因为 ，则 ， ，
令 ，因 ，故 ，令 ，其中 ，
当 时， 在 上递增，则 ；
当 时，令 ，其中 ，
若 ，函数 在 上单调递增，则 ；
若 ，则 ，则函数 在 上单调递增， ；
若 ，则 ，则 .
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综上所述， .
第 13页/共 13页