北师大版（2024）八年级下册1 平行四边形的性质与判定精练

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知识点01 等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【即学即练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，BD是边上的高，延长至点，使，则的长为 ．
【即学即练2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ．
【即学即练3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知，分别是等边三角形中，边上的点，且，连接，，交于点．请判断与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
知识点02 等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即学即练1】（广东省汕头市八校联考2024-2025学年八年级上学期11月数学试卷）如图，，，，．
(1)求的度数；
(2)判断的形状，并说明理由．
【即学即练2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求长．
【即学即练3】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，．
(1)求证：；
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
知识点03 含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【即学即练1】（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，交于点，，则 ．
【即学即练2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ．
【即学即练3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则 ．
题型01 利用等边三角形的性质求角
例题：（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知等边，直线，则的度数为 ．

2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ．
3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ．
题型02 利用等边三角形的性质求边
例题：（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，是等边三角形，平分，若，则的长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ．
2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，点 是边的中点，过点 作于点，延长 交 的反向延长线于点．若，则 BD的长为 ．
题型03 利用等边三角形的性质求动点问题
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、AB上动点，当的值最小时，，则AB的长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，C为AB边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在AB的上方作等边三角形，过点C作CD的垂线，E为垂线上任意一点，连接DE，F为DE的中点，连接，则的最小值是 ．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ．
题型04 利用等边三角形的性质证明
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)若的边长为1，求的周长．
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
题型05 含30°角的直角三角形
例题：（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，，于，则 ．
2．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ．
题型06 等边三角形的判定
例题：（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，．
(1)求证；
(2)若，连接，求证是等边三角形．
2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，求四边形的周长．
题型07 等边三角形的性质和判定多结论题
例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，AD、相交于点O，交于点M，AD交CE于点N，连接，则下列结论不一定成立的（ ）
A．B．
C．是等边三角形D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（）
A．①③④B．①③C．②④D．①②③④
2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
题型08 等边三角形的性质和判定综合题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，AD与相交于点，、相交于点，AD，CE相交于点．求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，为的中点，求的长．
2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边中，点D，E分别是上的动点，且，AD交CE于点F．
(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______；的度数为______；
(2)如图2，过C作于P，；
①求CF之长；
②若，求AB之长；
(3)如图3，于P，连接，若，求证：．
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边的一边长为2，则它的周长是（ ）
A．2B．5C．6D．8
2．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为( )
A．B．C．D．
4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．32B．64C．128D．256
5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交AB、于点E、F，则的周长为 ．
7．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为延长线上一点．若，，则的长为 ．
8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长 ．
9．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形的边长为，，点为边上一点，且．若点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若与全等，则点的运动速度是 ．
10．（2024·河南濮阳·一模）等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接．
(1)判断的形状，并说明理由
(2)若，求的长．
13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，求的长．
14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，α为多少度？
15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明．
已知：如图1，在中，．求证：，
方法一：如图2，延长到点D，使得，连接．
方法二：如图3，在线段上取一点D，使 得，连接CD．
16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是中线，延长至E，使，若．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形；
(3)在中，点P是边上的定点，点M、N分别是边、上的动点．当的周长取最小值时，直接写出此时的度数．
17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．
(1)若设，则______，______；（用含的式子表示）
(2)时，求的长；
(3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足．
(1)如图1，当点在边上时，连接相交于点．
①求证：．
②求的度数．
(2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由．
课程标准
学习目标
①等边三角形的性质
②等边三角形的判定
③30°角的直角三角形
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；
2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.