2025~2026学年浙江省杭州市名校中学九年级（上）10月月考 (1)数学试题（解析版）

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一、选择题
1. 已知抛物线，那么它的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由抛物线的顶点式可得：
该抛物线的顶点坐标为，
故选：B ．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 相等的圆心角所对的弧是等弧
C. 半圆是弧，弧是半圆
D. 面积相等的两个圆是等圆
【答案】D
【解析】A．选项中并没有保证两弧在同圆或等圆中，所以单纯长度相等无法确定是等弧，不符合题意．
B．选项中并没有保证两弧在同圆或等圆中，所以单纯圆心角相等无法确定是等弧，不符合题意．
C．并非所有的弧都是半圆，不符合题意．
D．两个圆面积相等，意味着半径相等，所以是等圆，符合题意．
故选：D．
3. 今年暑假，我省某地天气异常干旱，为缓解旱情，该地气象部门进行了人工增雨作业．人工增雨通过发射防雹增雨火箭弹的方式进行，已知该炮弹的飞行高度（米）和飞行时间（秒）的关系满足二次函数．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（ ）
A. 第秒B. 第秒
C. 第秒D. 第秒
【答案】B
【解析】∵炮弹在第秒与第秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴炮弹飞行高度最高的时间是第秒，
故选：．
4. 已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
∴抛物线开口方向向下，
∴离对称轴距离越远，函数值越小，
∵点，，在抛物线（为常数）上，
∴，
∴，
故选:D．
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将抛物线的图象向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：B．
6. 已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表：
则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵或时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
又由表可知，当时，随的增大而增大，
∴当时，其中一个解，
故选：．
7. 如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵弦，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴．
8. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，，
，
∴，
∴．
故选：A．
9. 已知点均在二次函数图像上，若则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】由题意，
∵二次函数为，
∴对称轴直线，
又∵在二次函数上，且，
∴．
∴为二次函数的顶点．
∴当时，点到顶点的距离比到顶点的距离小，则若时，则；若时，则，故选项A错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项B正确，符合题意
当时，点到顶点距离比到顶点的距离大，则若时，则；若时，则，故选项C错误，不符合题意；
若，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最大，即最大，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选B．
二、填空题
11. 二次函数的图象的对称轴是直线_____．
【答案】
【解析】二次函数图象的对称轴为直线．
故答案为：．
12. 如图，是的直径，，，则________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
故答案为：
13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________．
【答案】
【解析】，
∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了，
故答案为：．
14. 如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________．
【答案】
【解析】过O点作于H点，连接，如图，则
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或r（舍去），
即小圆半径是，
故答案为：．
15. 已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为_____．
【答案】
【解析】∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
16. 定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则________（用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则__________．
【答案】
【解析】∵抛物线的伴随直线是，
∴原抛物线解析式为，
∴，．
∵抛物线解析式为，
∴时的函数值与a值无关，此时，
∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线．
∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点，
∴，
∵点A、B与定点Q构成直角三角形，
∴，即为等腰直角三角形．
∵为抛物线顶点，对称轴为直线，
∴点Q到的距离为3，
∴，
∴点A、B到对称轴的距离为3，
∴抛物线与轴交点坐标为或，
选择代入，可得
解得．
故答案为：；．
三、解答题
17. 如图是上的一段弧，在平面直角坐标系中，、、．
（1）请你利用网格线，用无刻度的直尺在图中画出圆心M的位置；
（2）点M的坐标为________；的半径为________；
（3）点与的位置关系是点D在________．
解：（1）如图，点M即为所求，
（2）由图可知，点M的坐标为．
连接，
由勾股定理得，即的半径为，
故答案为：，．
（3）∵，，
∴，
∴点在内，
故答案为：内．
18. “十一”假期，全国各地的游客慕名来绍兴旅游，鲁迅故里检票口从早上7∶30开始检票，等待检票人数（人）与时间（分钟）的关系如图所示．（图象段是抛物线，段在轴上）
（1）请观察图象，7∶30时等待检票的游客有_________人；
（2）当时，求与的函数关系式；
（3）何时开始，游客可以随到随检？
解：（1）观察图象得，时等待检票的居民有人，
故答案为：．
（2）∵抛物线的顶点坐标为，
∴设y与x的函数关系式为，
把代入得，，
解得：，
∴y与x的函数关系式为．
（3）由（2）知，抛物线的解析式为；
当时，即，
解得：，（不合题意舍去），
∴7∶30开始65分钟后，即从8：35时，游客可以随到随检．
19. 如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且．
（1）求证：；
（2）若，，求．
解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
20. 赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
（1）求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
（2）据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为（为常数，且），
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
21. 某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
（1）在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式；
（2）如果公司每月制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为，
把代入得：，
，
y与x之间的函数关系式为；
（2）设总利润为w，由题意得，
；
公司每月的制造成本不超过万元，每件制造成本为元，
每月的生产量小于等于3万件，即．解得：，
，
图象开口向下，对称轴右侧w随x的增大而减小，
时，w最大，最大值为．
答：当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万．
22. 如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H．
（1）求证：；
（2）当E为弧中点时，求证：．
证明：（1）连接，
在中，，
，
在菱形中，平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）在菱形中，，
，
，
，
，
，
为弧中点，
，
，
，
．
23. 点是抛物线与直线的一个交点．
（1）求a，b的值及抛物线的对称轴．
（2）设点是抛物线上一点，点是直线上一点．
①若，求的最大值．
②若也是抛物线上的一点，且，，求的值．
解：（1）把代入，解得，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）①，
，
当时，有最大值，最大值为；
②，
、D两点的纵坐标相同，
，
，
、D关于直线对称，
直线即为抛物线的对称轴，
，
，
，
，
，解得，
．
24. 在平面直角坐标系中，，，是抛物线上的三个点．
（1）当时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，，当时，试比较，的大小，并说明理由；
（3）若对于，，都有，求b的取值范围．
解：（1）当时，将代入解析式得，
解得，
∴解析式为，
当时，，
解得，，
∴抛物线与x的交点坐标为和；
（2）将代入解析式得，
∵即，
∴，
∵抛物线对称轴为：直线，
∴离对称轴比更近，
∵抛物线开口向上，故离对称轴越近，函数值越小，
∴；
（3）∵对于，，都有
∴与异号
①若即，
∵当时，必然大于0，
∴ 当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴；
②若即，
∵当时，必然大于0，
∴当时，，
解得
当时，，解得，
∴，
综上所述，b的取值范围为或.
销售单价x（元/件）
…
2
3
4
…
每月销售量y（万件）
…
6
5
4
2
…