5.4 用一次函数解决问题（第1课时 建立一次函数模型解决实际问题）（教学课件）-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

5.4 用一次函数解决问题 第1课时 建立一次函数模型解决实际问题 第五章 一次函数 学 习 目 标12利用实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式.通过用一次函数表述数量变化及其关系的过程，体会模型思想．问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？纸杯叠放的变化过程有怎样的特点？变化过程中有哪些变量、常量？一摞纸杯的高度随着纸杯个数的增加而均匀增加．常量：一个纸杯的高度，叠放一个纸杯增加的高度．变量：纸杯的个数，一摞纸杯的高度．问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？其中变量之间是函数关系吗？是一次函数吗？纸杯总高度和纸杯个数是一次函数关系．　　当一个纸杯的高度是9.5 cm，每叠放1个纸杯，纸杯的总高度增加0.5 cm．请你列出纸杯总高度(y)和纸杯个数(x)之间的函数表达式.函数表达式为y＝9.5＋0.5(x－1)，其中自变量x取正整数．问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？当x＝5时，y＝9.5＋0.5×(5－1)＝11.5cm；当x＝10时，y＝9.5＋0.5×(10－1)＝14cm；当x＝15时，y＝9.5＋0.5×(15－1)＝16.5cm；当x＝20时，y＝9.5＋0.5×(20－1)＝19cm；当x＝25时，y＝9.5＋0.5×(25－1)＝21.5cm． 建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题．典例分析例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出．(1)说明每天的利润y元是生产数量x件的函数，并写出函数表达式；(2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元？思考：你能从情境中获得哪些信息？这些信息中，有哪些数量的信息？这些数量之间有什么关系？你能运用什么方法描述这些数量之间的关系？利润＝销售额－（固定成本＋原料及加工成本）典例分析例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出．(1)说明每天的利润y元是生产数量x件的函数，并写出函数表达式；(2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元？解：(1)根据题意，利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化，当产品数量确定时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为　　　　　　　　　　　　y＝1200x－(900x＋12000)．即　　　　　　　　　　　y＝300x－12000．(2)当x＝50时，y＝300×50－12000＝3000(元)．答：这天的利润是3000元．探究交流　　在例1中，要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少件产品？ 解：300x－12000＞9000， 解得 x＞70． ∴要使该工厂某天的利润超过9000元，每天至少需要生产71件产品.讨论交流（1） 设定实际问题中的两个变量；（2） 建立一次函数表达式；（3） 确定自变量的 取值范围，保证变量具有实际意义；（4） 解答一次函数问题；（5） 写出答案．运用一次函数的知识解决实际问题的一般步骤是什么？新知巩固1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3．(1) 说明蓄水池的水量Qm³是注水时间th的函数，并写出函数表达式． 新知巩固1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3．(2) 注水前，蓄水池里有水吗？如果有，有多少立方米？解：(2)当t＝0时，Q＝100，所以注水前，蓄水池里有水，有100 m3．(3)当Q＝1000时，300t＋100＝1 000，解得t＝3，故当注水时间为3h时，蓄水池中水量可达到1000m3．(3) 当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000 m3？新知巩固2. 书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50 cm的柜子上. 考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m．(1) 说明最上面那本书上表面距地面的高度y cm是书的数量x本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围；(2) 每摞最多可以摆放多少本书？解：(1)根据题意，最上面那本书上表面距地面的高度y(cm)随书的数量x(本)的变化而变化，当书的本数确定时，最上面那本书上表面距地面的高度随之确定，y是x的函数．函数表达式为 y＝0.5＋0.024x．由题意，得0.5＋0.024x≤1.4，解得x≤37.5，所以0＜x≤37，x为整数．(2)每摞最多可以摆放37本书．中考链接1. （2024·淮安）一辆轿车从A地驶向B地，设出发xh后，这辆轿车离B地路程为ykm，已知y与x之间的函数表达式为y＝200－80x，则轿车从A地到达B地所用时间是 　2.5　h．2.52. （2024·上海）某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元．当投入80万元时，销售额为 　4500万元．4500能力提升1. 甲快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表：设物品的质量为x千克，甲快递公司的快递费为y元．若y＝14，则x的取值范围是 　3＜x≤4　.3＜x≤4　能力提升 (1) 请直接写出y1，y2与x之间的函数表达式； (2) 若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社比较合算；解：(2) A旅行社：当x＝5时，45x＋45＝270；B旅行社：当x＝5时，60x＝300．∵ 270＜300，∴ 应选择A旅行社比较合算．能力提升(3)请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社所需费用较低．解：(3) 当45x＋45＜60x，即x＞3时，选择A旅行社所需费用较低；当45x＋45＝60x，即x＝3时，选择A，B两家旅行社所需费用一样；当45x＋45＞60x，即0＜x＜3时，选择B旅行社所需费用较低．课堂小结建立一次函数模型解决实际问题实际问题抽象一次函数模型数学结果利用表达式求解实际结果解释、检验反馈或图像感谢聆听！