2025-2026学年江苏省扬州市邗江实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省扬州市邗江实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. 2x2+xy=3B. x2=1C. D. ax2+bx+c=0
2.若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在圆外B. 点A在圆上C. 点A在圆内D. 不能确定
3.方程x2-4x-1=0经过变形后，其结果正确的是（ ）
A. （x-2）2=5B. （x+2）2=1C. （x-2）2=3D. （x+2）2=6
4.下列说法中，不正确的是（ ）
A. 直径是最长的弦B. 同圆中，所有的半径都相等
C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 长度相等的弧是等弧
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点.若∠AOC=100°，则∠ABM的度数是（ ）
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 30°
6.如图，ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2π-4
B. 4π-4
C. 8π-8
D. 4π-8
8.若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a-b+c=0，称此方程为“贺岁”方程.已知方程a2x2-2024ax+1=0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A. -2024B. 2024C. -2025D. 2025
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.方程的根是 .
10.若x=2是方程x2+3x-2m=0的一个根，则m的值为______．
11.若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，则m的取值范围______．
12.边长为6的正三角形的外接圆的周长是 .
13.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x,则根据题意可列方程为 ．
14.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
15.如图，已知⊙O的半径为5，圆心角∠AOD与∠BOC互补，若弦CD=6，则弦AB的长为 .
16.一元二次方程a（x+h）2+k=0的两根分别为-3，1，则方程a（3x+h-3）2+k=0（a≠0）的两根分别为 .
17.设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,并且方程无实数根，则直线l与⊙O的位置关系是 .
18.已知在扇形OAB中，∠AOB=90°，OB=2，C为弧AB的中点，D为半径OB上一动点，点B关于直线CD的对称点为M，若点M落在扇形OAB内（不含边界），则OD长的取值范围是 .
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-4x-1=0；
（2）2（x-3）=3x（x-3）．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为（4，3）.
（1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______.
（2）⊙D的半径为______.
（3）点（-3，0）在⊙D______（填“上”、“内”或“外”）；∠ADC=______°.
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2=0.
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围.
22.(本小题8分)
已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA=4，AB=6，求边BC的长．
23.(本小题8分)
如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；
（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？
（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．
24.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的直径，CF是⊙O的弦，CF⊥AB，垂足为D，若∠BCE=20°，求∠ACF的度数．
25.(本小题8分)
某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．
设销售单价定为x元．据此规律，请回答：
（1）商店日销售量减少______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
26.(本小题8分)
已知：⊙O是△ABC的外接圆，且，∠ABC=60°，D为⊙O上一动点．
（1）如图1，若点D是的中点，求∠DBA的度数．
（2）过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：CD=DE+AE．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求∠ABD的最大值．
​​​​​​​
27.(本小题8分)
[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方.
解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x2-2x+1）+2=（x-1）2+2.
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a,b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”.理由：因为5=22+12，再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x,y是整数），所以M也是“完美数”.
[问题解决]
（1）请你再写一个小于10的“完美数”______；
（2）若二次三项式x2-6x+13（x是整数）是“完美数”，可配方成（x-m）2+n（m,n为常数），则mn的值为______；
[问题探究]
（3）已知S=x2+4y2+8x-12y+k（x,y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值.
[问题拓展]（4）已知实数x,y满足x-y2=1，求代数式x2+2y2+4x-1的最小值.
28.(本小题8分)
【回归教材】
（1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点.点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小明在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上.请对教材原题或小明提出的问题进行解答.（选择一个解答即可）

【直接应用】
（2）如图3，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求证：FG∥BC.
【拓展延伸】
（3）如图4，等边三角形ABC中，AB=6，P为AB边上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D、E.则DE的最小值为______.

（4）如图5，小明完成上面的问题后发现△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F.则AF为△ABC的边BC上的高.即三角形的三条高所在直线交于同一点.如图6，已知⊙O是△ABC的外接圆，BD、CE是△ABC的高，BD、CE相交于点P.若BC=m,AP=n,请直接写出⊙O的面积______.（结果请用m,n的代数式表示，并保留π）
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】5
11.【答案】m＜且m≠0
12.【答案】
13.【答案】200（1+x）2=242
14.【答案】x（x-12）=864
15.【答案】8
16.【答案】x1=0，x2=
17.【答案】相交
18.【答案】0＜OD＜
19.【答案】解：（1）x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
配方得：x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
开方得：x-2=，
解得：，；
（2）2（x-3）=3x（x-3），
2（x-3）-3x（x-3）=0，
（x-3）（2-3x）=0，
x-3=0或2-3x=0，
解得：x1=3，．
20.【答案】（2，-1）；
2；
外；90
21.【答案】解：（1）b2-4ac
=（k+3）2-4×1×（2k+2）
=k2-2k+1
=（k-1）2，
∵不论k为何值，（k-1）2≥0，
∴方程有两个实数根．
（2）x=，
x1==-2，
x2==-k-1，
∵方程的两个根都是负根，
∴-k-1＜0，
∴k＞-1．
22.【答案】解：（1）连接OB、OC，
∵OA=OB=OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA=∠OCA=∠BAO=∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB=AC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
设OH=b，BH=CH=a，
∵BH2+OH2=OB2，BH2+AH2=AB2，OA=4，AB=6，
∴，
解得，，
∴BC=2a=3．
23.【答案】解：（1）设AB的长为x米，
依题意的方程：x（34+2-3x）=96，
解得：x1=4，x2=8，
答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；
（2）假设长方形ABCD的面积是110平方米，
依题意得：x（34+2-3x）=110．即3x2-36x+110=0，
∵Δ=（-36）2-4×3×110=-24＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴假设不成立，
∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．
24.【答案】解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=∠E，
∴∠ACF=∠BCE=20°．
25.【答案】解：（1）20（x-10）；（x-8）；
（2）由题意可得：（x-8）[200-20（x-10）]=640，
解得：x1=12，x2=16（舍去）．
答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．
26.【答案】解：（1）如图1中，连接BD．
∵=，
∴∠BCA=∠BAC，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCA=60°，
∵D是的中点，
∴∠DCA=30°，
∵，
∴∠DBA=∠DCA=30°．
（2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BHC=∠BHD=90°．
又∵BE⊥AD于点E，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠BHC=∠BHD，
又∵，
∴∠BAE=∠BCH，
∵，
∴BA=BC，
在△BEA和△BHC中
∴△BEA≌△BHC（AAS），
∴EA=CH，BE=BH
又∠BED=∠BHD=90°，BD=BD，
在Rt△BED和Rt△BHD中
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴DE=DH，
∴DC=DH+HC=DE+AE．
②连接BO并延长交⊙O于点I，则点D在上．
如图：过B作BH⊥CD于点H，
则∠BHC=90°，∠BHD=90°，
又∵BE⊥AD于点E，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠BHC=∠BHD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAE=∠BCD，
又∵，
∴BA=BC，
在BEA和△BHC中
∴△BEA≌△BHC（AAS）
∴EA=HC，BE=BH
​​​​​​​又∠BED=∠BHD=90°，BD=BD，
在Rt△BED和Rt△BHD中
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL）
∴ED=HD，
∴CD=HD+HC=DE+AE，
∵BI是⊙O直径，
，
∴BI垂直平分AC，
∴，
∴2∠ABI=∠ABC=60°，
∴当点D运动到点I时∠ABI取得最大值，此时∠ABD=30°．
27.【答案】4（答案不唯一）；
12；
[问题探究]
k=25；
[问题拓展]
4
28.【答案】点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由见解析；点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由见解析过程；
证明见解析过程；
；
．