上海市华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性测试数学试卷（含答案解析）

2024-2025学年上海市浦东新区华东师大附属周浦中学高二（上）第一次段考数学试卷 一、填空题 1．（3分）直线上存在两点在平面上，则 　　 （填一符号）． 2．（3分）如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 ． 3．（3分）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 　　 条件． 4．（3分）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为　　 ． 5．（3分）在空间中，直线平行于直线，直线、为异面直线，若，则异面直线、所成角的大小为 　　 ． 6．（3分）如图，在直三棱柱中，．若，，则与平面所成的角的大小为 　　 ． 7．（3分）在四面体中，，与所成的角为，若，分别为棱，的中点，则线段的长等于 　　 ． 8．（3分）设矩形的边长，，平面，，则到矩形对角线的距离为　　 ． 9．（3分）在三棱锥中，作平面，垂足为．给出下列命题： ①若三条侧棱、、与底面所成的角相等，则是△的重心； ②若三个侧面、、与底面所成的二面角相等，则是△的内心； ③若三组对棱与，与，与中有两组互相垂直，则是△的垂心． 则其中真命题的序号是 　　 ． 10．（3分）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为 　　 ． 11．（3分）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时， 　　 ． 12．（3分）在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点．给出下列四个结论 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到，，，四点的距离相等． 其中，所有正确结论的序号为 　　 ． 二、单选题 13．（3分）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是　　 A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 14．（3分）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是　　 A．， B．， C．，， D．，， 15．（3分）已知正方体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 16．（3分）如图，在长方体中，对角线与棱，，所成的角分别为，，，与平面，平面，平面所成的角分别为，，，则下列四个命题 ①； ②； ③； ④． 其中正确命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．在正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：、、、四点共面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，．点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 21．在正方体中，棱长为2，已知点，分别是线段，上的动点（不含端点）． （1）求证：直线与直线垂直； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求的最小值．  2024-2025学年上海市浦东新区华东师大附属周浦中学高二（上）第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 一、填空题 1．（3分）直线上存在两点在平面上，则 　　 （填一符号）． 【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论． 【解答】解：直线上存在两点在平面上，则． 故答案为：． 2．（3分）如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 　12　 ． 【分析】把△还原为原三角形，再计算△的面积． 【解答】解：把△还原为△，如图所示： 所以， ， 所以△的面积为． 故答案为：12． 3．（3分）若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 　充分不必要　 条件． 【分析】利用空间直线的位置关系，充要条件的定义判定即可． 【解答】解：若两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线或平行直线， 这两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要． 4．（3分）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为　　 ． 【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可． 【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为， 所以它的底面半径为：1， 所以圆柱的表面积为． 故答案为：． 5．（3分）在空间中，直线平行于直线，直线、为异面直线，若，则异面直线、所成角的大小为 　　 ． 【分析】先得到直线与所成角即为异面直线、所成角，再利用异面直线所成角的范围为，，求解即可． 【解答】解：直线平行于直线，直线、为异面直线， 直线与所成角即为异面直线、所成角， ，异面直线所成角的范围为，， 异面直线、所成角的大小为， 故答案为：． 6．（3分）如图，在直三棱柱中，．若，，则与平面所成的角的大小为 　　 ． 【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解． 【解答】解：连接， 由于直三棱柱中，平面，平面， 故，又，，，平面， 故平面， 由于，所以平面， 故为与平面所成的角， 由于，所以， ， 由于为锐角，所以． 故答案为：． 7．（3分）在四面体中，，与所成的角为，若，分别为棱，的中点，则线段的长等于 　1或　 ． 【分析】取的中点，连接，，由三角形中位线定理可得，，，，从而得到或其补角即为与所成角，则或，分两种情况能求出线段的长． 【解答】解：取的中点，连接，，如图， ，分别是棱，的中点， ，，，， 或其补角即为与所成角， 由题意得，或， ，， 当时，△是等边三角形，， 当时，由余弦定理得： ， ． 故答案为：1或． 8．（3分）设矩形的边长，，平面，，则到矩形对角线的距离为　4　 ． 【分析】利用线面垂直的判定性质作出点到直线的垂线段，再借助直角三角形计算得解． 【解答】解：作出示意图如下： 在矩形中，，，得， 过作于，连接，由平面，平面，得， 而，，平面，则平面，又平面， 因此，在△中，，解得， 所以． 故答案为：4． 9．（3分）在三棱锥中，作平面，垂足为．给出下列命题： ①若三条侧棱、、与底面所成的角相等，则是△的重心； ②若三个侧面、、与底面所成的二面角相等，则是△的内心； ③若三组对棱与，与，与中有两组互相垂直，则是△的垂心． 则其中真命题的序号是 　②③　 ． 【分析】根据线面角的定义结合锐角三角函数可得，即可判断①，根据线线垂直可得二面角的几何角，即可结合锐角三角函数得，结合内心的性质即可求解②，根据线线垂直结合向量垂直的运算律即可判断③． 【解答】解：对于①，连接、、， 如下图所示： 由平面，可得为与平面所成角， 为与平面所成角，为与平面所成角， 且， 因为， 所以，根据三角形外心的定义，即为△的外心，故①错误； 对于②，过点在平面内作，垂足为，连接， 过点在平面内作，垂足为，连接， 过点在平面内作，垂足为，连接，如下图所示： 因为平面，平面， 所以，因为，，，平面， 所以平面，因为平面，故， 可得为侧面与底面所成角的平面角， 同理可知，为侧面与底面所成角的平面角， 为侧面与底面所成角的平面角，且， 因为，所以， 根据三角形内心的定义，即为△的内心，故②正确； 对于③，连接，，，如①中的图，若，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以，平面，平面，所以，同理可得， 即为，， 即有， 所以， 即有， 则，即为△的垂心，故③正确． 故答案为：②③． 10．（3分）如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为 　　 ． 【分析】在平面内过作与平行且相等的线段，过点作于，连接，，，先证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，则为直线与平面所成角，再解△即可． 【解答】解：在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接，，， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，， 所以，， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 故为直线与平面所成角， 由，，得二面角 的平面角即为，所以， 又， 所以△是等边三角形， 可得，， 因为， 所以平面， 又平面， 所以， 在△ 中，由勾股定理得， 在△中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 11．（3分）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时， 　　 ． 【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果． 【解答】解：如图，连结交于点，连结． ，为的中点，， 平面，平面平面，平面， ，． 故答案为：． 12．（3分）在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点．给出下列四个结论 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到，，，四点的距离相等． 其中，所有正确结论的序号为 　①③④　 ． 【分析】根据的变化情况并找出的轨迹，就可判定①③④是否正确，作出直线与平面所成的角，就可判定②是否正确． 【解答】解：如图， 当在棱上运动时，始终在平面中， 由，，， 可得平面，所以，故①正确； 此时点的轨迹为线段，如图所示， 可知，过正方形中心且平面，故③④正确； 如图，延长与的延长线交于，连接， 则即为直线与平面所成角， 当点在上运动时，不变而在变， 所以不是定值，故②错误． 故答案为：①③④． 二、单选题 13．（3分）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是　　 A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【分析】根据等角定理结合面面平行的判定定理分析判断即可． 【解答】解：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行， 若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合． 故选：． 14．（3分）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是　　 A．， B．， C．，， D．，， 【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果 【解答】解：对于，由，，可得或，故错误； 对于，由．，可得或，故错误； 对于，由，，，可得，故正确； 对于，由，，，可得，相交或，故错误． 故选：． 15．（3分）已知正方体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在△中用余弦定理即可解得． 【解答】解：连接，，如图： 因为为正方体可得， 所以（或其补角）是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在△中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是． 故选：． 16．（3分）如图，在长方体中，对角线与棱，，所成的角分别为，，，与平面，平面，平面所成的角分别为，，，则下列四个命题 ①； ②； ③； ④． 其中正确命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分别求出角，，的正弦值和余弦值，求出，，的正弦值，结合所给结论可得答案． 【解答】解：设，，，则， 连接，， 由长方体性质可知，，所以， 所以，，； 所以， ，所以②③正确，①错误； 连接，由长方体的性质可得为与平面所成角，即， ，， 同理可得，； 所以，所以④正确． 所以正确的个数是3个． 故选：． 三、解答题 17．在正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：、、、四点共面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，再由三角形中位线的性质得到，即可证明，从而得证； （2）由可得即为异面直线与所成的角，再由等边三角形可得答案． 【解答】解：（1）证明：连接， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以， 因为正方体， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以，，确定一平面． 即、、、四点共面； （2）由（1）得， 即或补角为异面直线与所成角， 在△中，， △为等边三角形， 所以， 所以异面直线与所成角为． 18．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，．点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【分析】（1）由已知利用，可得答案； （2）作，证明直线平面，即为直线与平面所成的角，在直角△中可求得答案． 【解答】解：（1）证明：在直三棱柱中， ，且平面，平面， 平面； （2）作垂足为， 平面，平面， 直线直线， 直线，且与相交于， 直线平面， 即为直线与平面所成的角， 在直角△中，，，所以． 由面积， 可得， 在直角△中，，，， 直线与平面所成的角为． 19．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 【分析】（1）证明：可得，即△是直角三角形， 又△△，可得，即可证明平面； （2）设点到平面的距离为．由，解得即可 【解答】（1）证明：，，，即△是直角三角形， 又为的中点，， ，△△△，， ，，，平面； （2）解：由（1）得平面，， 在△中，． ， ． 设点到平面的距离为．由， 解得， 点到平面的距离为． 20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论； （2）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面角定义可知，根据二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果． 【解答】解：（1）证明：为中点，，， ，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面， ，分别为，中点， ，又平面，平面， 平面，又，，平面， 平面平面； （2）平面平面，平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角，即， 设，则， 平面，平面， ，， ，，平面，平面，平面平面， 即为二面角的平面角， ，，， 即二面角的大小为． 21．在正方体中，棱长为2，已知点，分别是线段，上的动点（不含端点）． （1）求证：直线与直线垂直； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求的最小值． 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质即可得证； （2）证明二面角即为，再解三角形即可； （3）将△和△延展至同一平面，分析可知当时，取最小值，即可求解． 【解答】解：（1）证明：因为，则、、，四点共面， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面， 所以平面，因为平面， 所以， 即直线与直线垂直； （2）因为，，平面即为平面，平面即为平面， 所以二面角即为二面角， 取上下底面中心点分别为，，分别连接，，，，，， 平面即为平面，由题知底面， 因为平面，所以，易知， 又因为为中点，则，因为平面平面，平面，面， 则二面角即为， 因为平面，平面， 所以，而，， 所以； （3）因为平面，平面，则， 同理可得， 因为，同理可得，， 将△和△延展至同一个平面，如图： 在△中，，， 因为，， 所以，△△， 所以，，故， 所以，， 当时，取最小值，且最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/18 18:47:22；用户：18339027551；邮箱：18339027551；学号：50078385题号13141516答案DCDC