上海市华师范大学附属周浦中学2026届高三上学期期中质量检测数学试卷（含答案）

这是一份上海市华师范大学附属周浦中学2026届高三上学期期中质量检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a2>b2B. 2−ab12D. 1ab>0)的左焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，|AF|=2|BF|，∠AFB=2π3，则椭圆C的离心率为 ．
15.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”(如图中阴影部分)，圆的半径为1米，AC，BD是圆的直径，E，F在弦AB上，H，G在弦CD上，圆心O是矩形EFGH的中心.若EF=23米，∠AOB=2θ，π4≤θ≤5π12，则“杠铃形图案”面积的最小值为 平方米．
16.平面内互不重合的点A1、A2、A3、B1、B2、B3，若A1Bi+A2Bi+A3Bi=i，i=1,2,3，则B1B2+B2B3的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E是BB1的中点．
(1)求证：D1E⊥AC；
(2)求平面AD1E与底面ABCD所成锐二面角的大小．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，csAa=csC2b−c．
(1)求角A；
(2)若▵ABC为锐角三角形，求▵ABC的周长的取值范围．
19.(本小题12分)
为培养学生的阅读习惯，周浦中学开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量(单位：本)，统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a(a>1)表示.(茎表示十位，叶表示个位)
(1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值并求乙组阅读量的第65百分位数；
(2)将甲、乙两组中阅读量超过11本的学生称为“阅读达人”.设a=2，从阅读达人中随机抽取2人，求至少有一人为甲组学生的概率．
(3)记甲组阅读量的方差为s02.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为s22，试比较．s02.，s12，s22的大小.(结论不要求证明)
20.(本小题12分)
设椭圆Γ:x2a2+y2=1(a>1)，Γ的离心率是短轴长的 24倍，直线l交Γ于A、B两点，C是Γ上异于A、B的一点，O是坐标原点．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l过Γ的右焦点F，且CO=OB，CF⋅AB=0，求S▵CBF的值；
(3)设直线l的方程为y=kx+m(k,m∈R)，且OA+OB=CO，求|AB|的取值范围．
21.(本小题12分)
设函数f(x)=ax3−(a+1)x2+x,g(x)=kx+m，其中a≥0,k,m∈R，若任意x∈[0,1]均有f(x)≤g(x)，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的控制函数”，且对于所有满足条件的函数y=g(x)在x处取得的最小值记为f(x)．
(1)若a=2,g(x)=x，试问y=g(x)是否为y=f(x)的控制函数”；
(2)若a=0，使得直线y=h(x)是曲线y=f(x)在x=14处的切线，证明：函数y=h(x)为函数y=f(x)的控制函数，并求“f14”的值；
(3)若曲线y=f(x)在x=x0x0∈(0,1)处的切线过点(1,0)，且c∈x0,1，证明：当且仅当c=x0或c=1时，f(c)=f(c)．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.{1,2,4,6}
6.(−∞,−2)∪(0,+∞)
7.5
8.−10
9.11 55/115 5．
10.9
11.−n2+23n
12.1− 2/− 2+1
13.1014
14. 33
15.π2−1+2 23
16.23,83
17.解：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，建立如图所示空间直角坐标系：
则A(0,0,0),C(4,4,0),D1(0,4,4),E(4,0,2),D1E=(4,−4,−2),AC=(4,4,0)，
D1E⋅AC=4×4−4×4−2×0=0，则D1E⊥AC，所以D1E⊥AC．
(2)由AA1⊥底面ABCD，得底面ABCD的法向量为AA1=(0,0,4)，而AE=(4,0,2)，
设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z)，n⋅D1E=4x−4y−2z=0n⋅AE=4x+2z=0,
取x=1，得n=(1,2,−2)，
因此|cs〈AA1,n〉|=|AA1⋅n||AA1||n|=84×3=23，
所以平面AD1E与底面ABCD所成锐二面角的大小为arccs23．

18.解：(1)已知csAa=csC2b−c，
由正弦定理得csAsinA=csC2sinB−sinC，
∴sinAcsC=2sinBcsA−sinCcsA，
∴sinAcsC+sinCcsA=sin(A+C)=2sinBcsA，
又A+B+C=π，sin(A+C)=sinπ−B=sinB，
∴sinB=2sinBcsA，
∵sinB>0，∴csA=12，
∵A∈0,π，∴A=π3．
(2)在▵ABC中由正弦定理得asinπ3=bsinB=csinC，又a=2，
所以b=4 33sinB，c=4 33sinC=4 33sin2π3−B，
所以b+c=4 33sinB+4 33sin2π3−B，
=4 3332sinB+ 32csB，
=4sinB+π6，
因为▵ABC为锐角三角形，
所以0