上海市华东师范大学附属周浦中学2023~2024学年高一下册期末考试数学检测试卷（含解析）

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1.角属于第______象限角．
【答案】四
【解析】
【分析】根据终边相同的角的定义即可得．
【详解】与终边相同．
而为第四象限角，所以为第四象限角.
故答案为：四．
2.在中，如果三条边，那么角______．（用反三角形式表示角）
【答案】．
【解析】
【分析】先设，然后结合余弦定理可求，进而可求．
【详解】解：在中，，
设，
根据余弦定理得，，
故．
故答案为：．
3.若z是复数，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据共轭复数的概念求得答案．
【详解】解：∵，
故答案为：
4.计算：______．
【答案】1000
【解析】
【分析】利用复数的运算性质化简即可求解．
【详解】原式
．
故答案为：1000．
5.在复数范围内因式分解：______．
【答案】．
【解析】
【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解．
【详解】令，
，由求根公式可知，，
故．
故答案为：．
6.小数化为分数是______．
【答案】
【解析】
【分析】设，两式相减可得答案．
【详解】设，
，
，
，
解得．
故答案为：．
7.设等差数列中，，前项和为，则______．
【答案】30
【解析】
【分析】由已知结合等差数列性质及求和公式即可求解．
【详解】等差数列中，根据等差数列的性质可知：，
即，则．
故答案为：30．
8.在等比数列中，其前n项和为，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列求和公式列方程组解得首项与公比，再代入等比数列通项公式得结果.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，显然不符合题意；
当时，，解得，
所以．
故答案为：.
9.已知数列的前项和，则它的通项公式______．
【答案】．
【解析】
【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式．
详解】由，可得时，；
当时，．
此时，当
综上，可得．
故答案为：．
10.已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为________.
【答案】或
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，利用韦达定理可求得的值；在第二种情况下，求出、的值，结合复数的模长公式可求得实数.综合可得出实数的值.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）当时，即当时，由韦达定理可得，，
；
（2）当时，即当时，
由可得，解得，，
，解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
11.若是偶函数,则有序实数对()可以
是________.
【答案】
【解析】
详解】ab≠0，
是偶函数，只要a+b=0即
可，可以取a=1，b=－1.
12.已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】对分，讨论求出，代入运算可得解.
【详解】令，则，
当时，
，
，
由，得，化简整理得，，解得或；
当时，
，
由，得，化简整理得，解得，
这与矛盾，不合题意；
综上，符合题意的正整数或.
故答案为：2或3.
二、选择题（共4小题，每小题4分，共16分）
13.设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A.如果，a是正实数，那么
B.如果，那
C.如果，a是正实数，那么
D.如果，那么
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断.
【详解】设，
对A：∵，则，
∴，A正确；
对B：∵，即，则，
不能得到，更不能得到，
例如，则，但，B错误；
对C：∵，则，
但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；
对D：∵，则，
可得，不能得到，
例如，则，但显然，D错误.
故选：A.
14.要得到函数的图像，只要把函数图像
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
把化成后可得平移的方向及长度．
【详解】因为，
故把函数图像向右平移个单位后可得的图像．
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的图像平移变换，注意平移变换（左右平移）是自变量发生变化，如函数的图像，它可以由向左平移个单位，而不是，本题为易错题．
15.等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解.
【详解】
所以是以为首项，为公差的等差数列，
若当且仅当时，的前项和取得最大值，
所以
即，，
故选：C.
16.设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ）
A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】由题规律找出的表达式 ，利用不等式的性质判断即可，对 进行分类讨论写出，从而求出 ，利用 即可.
【详解】由题意得：当时，
其中，
，
所以不存在正整数，使得，故①为假命题；
当时
，
所以
当时；
故数列是严格减数列，
所以②为真命题.
故选：D.
三、解答题（满分48分，）
17.当实数为何值时，复数为：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）对应点在第二象限？
【答案】（1）或；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）结合实数的概念，即可求解；
（2）结合纯虚数的概念，即可求解；
（3）结合复数的几何意义，即可求解．
【小问1详解】
复数为实数，则，
所以或.
【小问2详解】
复数为纯虚数，则，
所以.
【小问3详解】
复数对应点在第二象限，则，解得，
所以实数的取值范围是.
18.已知，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
利用和两角差的正切公式可求的值.
【详解】∵，
.
【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角．
19.已知函数．
（1）求的最小正周期，对称中心；
（2）求的单调区间，最值以及取得最值时的值．
【答案】（1），；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解；
（2）利用余弦函数的性质即可求解．
【小问1详解】
因为，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的对称中心为；
【小问2详解】
令，解得，
令，解得，
所以的严格增区间为，严格减区间，
当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值，
20.已知数列满足．设．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；
（2）设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）
【解析】
【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【小问1详解】
证明：由，
可得，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，
则，即；
【小问2详解】
数列，
则，
可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立，
可得，即有，即的取值范围是.
21.对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，.
（1）若（是正整数），求，，，的值；
（2）若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由；
（3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是.
【答案】（1），，，
（2）存在，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由“接近数列”得定义可直接求出，，，的值；
（2）分为奇数和偶数讨论，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解；
（3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去绝对值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合绝对值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证.
【小问1详解】
因为，所以，又因为为数列的“接近数列”， ，所以，只能是，，，；
【小问2详解】
当为奇数时，，由函数的单调性可知，
即，得，进一步有，
当为偶数时，，由函数的单调性可知，
即，得，进一步有，
综上所述：，
由前项和公式化简得，，
当为偶数时，令无解；
当为奇数时，令，
所以，，即.
因此，存在（是正整数），使得，且；
【小问3详解】
充要条件：.
①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且，
则，，
从而，即.
因为，，
所以，即.
因此为等差数列，且公差也为；
②若为等差数列，设公差为，
，
又，
即，亦即对任意正整数都成立，
所以，，又，得.
因此，所求充要条件为.
【点睛】本题整体难度较大，处理第二小问时设计分类讨论思想，融合了数列，函数、不等式，对计算有较高要求；第三小问对充要条件证明特别是绝对值三角不等式的应用，思维难度高，拼凑法不易想到.
对于绝对值三角不等式，我们应掌握：；
对于数列中含此类数列，我们要注意分奇偶对数列讨论.