江苏省南京市第十三中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题及答案

这是一份江苏省南京市第十三中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人： 审卷人： 2024年10月28日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.
【详解】由，
得，
所以.
故选：B.
2. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围.
【详解】如图：

问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围.
因为，，
且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大；
当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大.
所以斜率的取值范围是：或.
故选：C
3. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ）
A. B. C. 或D. 0或
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，计算即可．
【详解】直线在轴、轴上的截距相等，
令，得，令，得，所以，解得，
故直线，即，化简为，
则直线与直线间的距离为
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题．
4. 已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算即可求得在方向上的投影向量.
【详解】因为，，，，
所以，
所以在方向上的投影向量为．
故选：C.
5. 在中，角所对的边分别是，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理可得，再利用基本不等式求的最小值以及成立的条件，再根据余弦定理即可得结果.
【详解】因为，即，
可得，即，
由正弦定理可得，
又因，当且仅当时，等号成立，
若取得最小值，则，
此时最大角为角A，，
所以的最大内角的余弦值是.
故选：C.
6. 如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）

A. 0.25mB. 0.5mC. 1mD. 2m
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，求出抛物线方程即可求解.
【详解】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，
所以，解得，则该抛物线顶点到焦点的距离为.
故选：D
7. 已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意将原问题等价转换为圆心在直线上且半径为的动圆与圆有交点，分直线与圆的位置关系讨论，利用圆心到直线的距离即可得解.
【详解】若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，
则条件等价于圆心（设为D）在直线上且半径为的动圆与圆有交点，
圆的圆心为
到直线的距离，
当圆与直线相离时，即时，
则圆上的动点到直线的最小距离为，
此时只需满足即可，所以；
当时，圆与直线有交点，此时圆和直线上一定分别存在点，使得，符合题意.
综上，.
故选：C.
8. 如图，双曲线左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可.
【详解】设，
，，
.在△与△中：，
即：，
，
当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，
当与轴重合时，取最小，此时，
经上述分析得：，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思的应用.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分．
9. 设抛物线y2=2pxp>0的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A. B. 点的坐标为0,2
C. D. 直线的方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】焦点为，准线为，由中点坐标公式可得，，由抛物线定义可列方程解得，即可依次求得、，即可求解.
【详解】由题意得，焦点为，准线为，
设的坐标为，由为的中点得，，即
由点到抛物线准线的距离为，得，解得，故A正确；
则抛物线为，，则，故，
所以的坐标为0,2或，故B错误；
的面积为，故C正确；
由、M0,2或知，直线的方程为
，即，故D错误.
故选：AC
10. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C存在点P，使得
C. 直线与曲线C没有交点
D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则
【答案】CD
【解析】
【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确；
【详解】当时，曲线，即；
当时，曲线，即；不存在；
时，曲线，即；
时，曲线，即；
画出图形如下：

对于A，由图可得A错误，故A错误；
对于B，方程是以为上下焦点的双曲线，
当时，曲线C存在点P，使得，故B错误；
对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确；
对于D，设，设点在直线上，点在直线，
则由点到直线的距离公式可得
，，
所以，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得，故D正确；
故选：CD.
11. 已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则M的轨迹长度为
B. 若，则到直线的距离的最小值为
C. 若，则，且直线平面
D. 若，则与平面所成角正弦的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】分析点轨迹，求出轨迹长度，可判断A的真假；根据直线与圆上的点的距离范围可判断B的真假；根据面面平行，可证线面平行，判断C的真假；根据线面角的概念求线面角正弦的最小值.
【详解】如图：
对A：因为，所以，即点的轨迹是在平面内，
以为圆心，以为半径的圆的，故M的轨迹长度为：，故A正确；
对B：由A知：点的轨迹是在平面内，以为圆心，以为半径的圆的一部分，
且点到直线的距离为，所以到直线的距离的最小值为，故B错误；
对C：根据正方体的性质，可知平面，又因为平面，，
所以平面，所以 平面；
又根据正方体的性质，平面平面，所以平面.故C正确；
对D：设到平面的距离为，则，
又，，
所以.
设与平面所成角为，则
又,所以，故D错误.
故选：BD
【点睛】方法点睛：立体几何线面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到线面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
13. 已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据圆的一般方程写出标准方程，进而得到圆心坐标和半径，利用中垂线的性质和椭圆的定义得到该点的轨迹形状，再进一步求出轨迹方程.
【详解】连接、、，则；
将化为，
即，，
所以，
故的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，
所以，故的轨迹方程为.
故答案为：.
14. 如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.
【详解】切于,切于E，，球半径为2，所以，
，，
中，，
，故,,
根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与
相切的切点为椭圆的一个焦点，且，
,c=4，
椭圆的离心率为.
故答案为：23
【点睛】本题要求有一定的空间图形辨别能力，能从整体上认识图形，并且对圆锥曲线的来源有一定的认识，借助平面图形来求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校为了解本校身体素质情况，分别从男生中随机抽取人的体育测试成绩得到样本甲，从女生中随机抽取人的体育测试成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图.

已知乙样本中数据在的有个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校女生本次体育测试成绩的平均值和男生本次体育测试成绩的上四分位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在的学生中抽取人，并从这人中任取人，求这两人分数都在中的概率.
【答案】（1），
（2）平均值为，四分位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有人，由此能求出，由乙样本数据直方图能求出；
（2）利用乙样本数据频率分布直方图，即可求出该校女生本次体育测试成绩的平均值，利用甲样本数据频率分布直方图可求出男生本次体育测试成绩的上四分位数；
（3）由频率分布直方图可知从分数在中人数分别为：人，人，人，利用列举法，求出基本事件的个数及分数都在中的个数，再利用古典概率公式，即可求解．
【小问1详解】
由题有，解得，
又由，得到.
【小问2详解】
由乙样本数据直方图知，该校女生本次体育测试成绩的平均值为，
设男生本次体育测试成绩的上四分位数为，
由甲样本数据直方图知，，解得.
小问3详解】
甲样本数据直方图知的样本比为：，
所以抽取的人中，分数在中人数分别为：人，人，人，
将从分数在中抽取的名学生记为，
将从分数在中抽取的名学生记为，
将从分数在中抽取的名学生记为，
则从这人中随机抽取2人的基本事件有：，，共计个，
又两人分数都在中的有，共计个，
所以这两人分数都在中的概率为.
16. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点．
（1）线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）在上存在一点，且F为的中点，使得平面PAD
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，可说明四边形是平行四边形，即可解决问题；
（2）取AD的中点H，先证得平面ABCD．再通过等体积即可求解.
【小问1详解】
在上存在一点，且为的中点，使得平面．
理由如下：取的中点，的中点，连接．
为的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
．
平面，平面，
平面．
【小问2详解】
如图，取的中点，连接．
为等腰直角三角形，，
．
平面平面，
平面平面，平面，
平面．
又为的中点，
点到平面的距离等于的一半，
又，
，，
点到平面的距离等于．
在菱形中，，
．
，
，
，
四面体的体积为．
17. 在中，，.

（1）求的值；
（2）若，求的面积;
（3）设为内一点，，，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理得到，再由，利用两角差的余弦公式展开，再由同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得；
（3）在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.
【小问1详解】
在中由正弦定理，又，
所以，
又，所以，
所以，
即，
即，
所以；
【小问2详解】
因为，在中由余弦定理，
即，解得（负值已舍去），则，
所以；
【小问3详解】
在中，设，令，
则，，
在中，可得，，
由正弦定理，
得，
所以，可得，即．
18. 已知圆．
（1）过点作圆C的切线l，求l的方程；
（2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求．
（3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值．
【答案】（1）或；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果.
（2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长.
（3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积.
【小问1详解】
圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离为，解得，
此时的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
直线方程为，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
.
【小问3详解】
圆的圆心，半径，
点到直线：的距离，
点到直线距离最大值为，
所以面积的最大值为.
19. 椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，定点；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可；
（2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值.
【小问1详解】
椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，，
∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线：（），
由，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点
②由①知，，
且，即，
又
令，则，
∴
（当且仅当时取“＝”）
∴.
【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值.