2024-2025学年江苏省南京十三中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京十三中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x2−y29=1的渐近线方程为( )
A. y=±xB. y=±2xC. y=±3xD. y=±4x
2.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+5a1，a5=4，则a1=( )
A. 14B. −14C. 12D. −12
3.已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(5,2)，B(−1,4)两点，则圆C的方程是( )
A. (x+2)2+y2=17B. (x−2)2+y2=13
C. (x−1)2+y2=20D. (x+1)2+y2=40
4.根据如样本数据得到的回归直线方程y=bx+a中的b=−1.4，根据此方程预测当x=10时，y的取值为( )
A. −6.0B. −6.1C. −6.2D. −6.4
5.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有( )个
A. 576B. 1296C. 1632D. 2020
6.若x2+(x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a7(x+2)7，则a0+a1+a2+⋯+a7=( )
A. 0B. −1C. 1D. 129
7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=π3，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为( )
A. 22B. 33C. 12D. 13
8.已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1，对于任意的n∈N∗，均有an+1=2an+1，bn=2lg2(1+an)−1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1+c2+⋯+c20=( )
A. 599B. 569C. 554D. 568
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量X～N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5，随机变量Y～B(3,p)，若E(Y)=E(X)，则( )
A. μ=2B. D(X)=2σ2C. p=23D. D(3Y)=2
10.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A. 若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5
B. 若a2+a13=4，则S14=28
C. 若S15S8
D. 若{an}和{an⋅an+1}都为递增数列，则an>0
11.已知直线l：x+1=0，点P(1,0)，圆心为M的动圆经过点P，且与直线l相切，则( )
A. 点M的轨迹为抛物线
B. 圆M面积的最小值为4π
C. 当圆M被y轴截得的弦长为2 5时，圆M的半径为3
D. 存在点M，使得MOMP=2 33，其中O为坐标原点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l：4x−3y+4a=0与直线l′：2x−ay+1=0平行，则l与l′之间的距离是______．
13.某中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，p(00)的离心率为12，且过点(1,32).
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C的左右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M，N，直线AM与直线x=4，交于点P，记PA，PF，BN的斜率分别为k1，k2，k3，问k1+k2k3，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.AC
10.BC
11.ACD
12.45
13.[0.2,0.26]
14.59
15.解：(1)由于a1−2−1=0，
故数列{an−2n−1}不是等比数列．
∵an+1=3an−4n，
∴an+1−2(n+1)−1=3an−4n−2(n+1)−1=3(an−2n−1)，
同理an−2n−1=3[an−1−2(n−1)−1]…a2−2×2−1=3(a1−2×1−1)=0，
迭代得an+1−2(n+1)−1=3n(a1−2×1−1)=0，即an+1=2n+3，
所以an=2n+1．
(2)bn=(2n−1)2nanan+1=(2n−1)2n(2n+1)(2n+3)=2n+12n+3−2n2n+1，
所以Sn=(2n+12n+3−2n2n+1)+(2n2n+1−2n−12n−1)⋯+(87−45)+(45−23)=2n+12n+3−23．
16.解：(1)根据表格信息，补全2×2列联表如下：
设零假设H0：是否爱好阅读与性别无关，
则K2=50×(10×12−15×13)223×27×25×25≈0.7250，n∈N∗，
∴an+an−1>0，
∴an−an−1−4=0，即an−an−1=4，
∴数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，
∴an=2+4⋅(n−1)=4n−2，n∈N∗．
(2)由(1)可得，
bn=2n−1n为奇数12an−1n为偶数=2n−1,n为奇数2n−3,n为偶数，
∴T2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+…+b2n−1+b2n
=20+1+22+5+24+9+…+22n−2+(4n−3)
=(20+22+24+…+22n−2)+[1+5+9+…+(4n−3)]
=1−22n1−22+n⋅(1+4n−3)2
=4n3+2n2−n−13．
19.解：(1)由离心率e=ca= 1−b2a2=12，可得3a2=4b2，
设椭圆的方程为x24t2+y23t2=1，将(1,32)代入椭圆的方程可得：14t2+34t2=1，
可得t2=1，
所以椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)由(1)可得A(−2,0)，B(2,0)，右焦点F(1,0)，
由题意设直线MN的方程为x=my+1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+13x2+4y2=12，整理可得：(4+3m2)y2+6my−9=0，
显然Δ>0，y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，
可得1y1+1y2=23m，可得1y2=23m，
直线AM的方程为y=y1x1+2(x+2)，令x=4，可得yP=6y1x1+2，即P(4,6y1x1+2)，
可得k1=y1x1+2，k2=6y1x1+24−1=2y1x1+2，k3=y2x2−2，
所以k1+k2=3y1x1+2，
所以k1+k2k3=3y1x1+2y2x2−2=3y1(x2−2)y2(x1+2)=3y1(my2−1)y2(my1+3)=3m−3y2m+3y1=3m−3⋅(23m−1y1)m+3y1=1，
可得k1+k2k3为定值1． x
3
4
5
6
7
8
9
y
4.0
2.5
0.5
−1
−2.0
−3.0
−4.5
借阅次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
2
5
3
5
5
1
2
2
25
女生人数
4
4
5
5
3
2
1
1
25
合计人数
6
9
8
10
8
3
3
3
50
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
女生
合计
P(K2≥k)
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
10
15
25
女生
13
12
25
合计
23
27
50
X
0
1
2
P
15
35
15