2023-2024学年江苏省南京十三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京十三中高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N∗|0≤x≤3}，B={0,1,2}，则A∩B=( )
A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}
2.已知a=(13)12,b=lg1213,c=lg312则( )
A. c>b>aB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c
3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则( )
A. φ=π3B. φ=π6C. φ=−π3D. φ=−π6
4.已知tanα=−2，则3sin(π−α)−2cs(π+α)cs(π2+α)的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.已知函数f(x)=|3x−2|−m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A. [0,2]B. (0,2)C. [0,2)D. (0,2]
6.已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q=( )
A. 32B. −32C. 3D. −3
7.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=x⋅3x9x−1B. f(x)=x⋅3x9x+1
C. f(x)=ln(|x|+1)x2+1D. f(x)=−x(x2+1)ln(|x|+2)
8.已知0<α<π2，0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ时，tan2α=43，则tan(α+β)的值为( )
A. 56B. 53C. 23D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列an的前n项和为Sn，已知Sn=−n2+7n，则( )
A. an是递增数列B. a10=−12
C. 当n>4时，an<0D. 当n=3或4时，Sn取得最大值
10.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的周期为T=π
B. 函数f(x)的图象关于x=−π12对称
C. 函数f(x)在区间[−π3,π2]上的最大值为2
D. 直线y=1与y=f(x)(−π12⩽x⩽11π12)的图像所有交点的横坐标之和为π3
11.已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则( )
A. xy的取值范围是[1,9]B. x+y的取值范围是[2,3)
C. x+4y的最小值是3D. x+2y的最小值是4 2−3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：2cs10°−sin20°cs20∘=______．
13.已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)，若f(x)在x=1处取得极值，不等式f(x)≥bx−2对∀x∈(0,+∞)恒成立，则实数b的取值范围为______．
14.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)，若f′(x)x+2的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)(338)−13+0.30−( 2)2；
(2)计算：lg5+lg22+lg2⋅lg5+lg25⋅lg254.
16.(本小题15分)
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=cs(π2−x)⋅cs(π3−x)− 34．
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=3+aex1+ex是定义域上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)若关于θ的不等式f(k)+f( 3sinθcsθ+cs2θ)>0在θ∈[−π6,π3]上有解，求实数k的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−1x+alnx(a∈R)．
(1)当a=0时，证明：f(x)>1；
(2)若f(x)在区间(1,+∞)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.A
5.B
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.ACD
11.BD
12. 3
13.(−∞,1−1e2]
14.(0,e2)
15.解：1)(338)−13+0．30−( 2)2=[(23)3]13+1−2=23−1=−13．
(2)lg5+lg22+lg2⋅lg5+lg25⋅lg254=lg5+lg2⋅(lg2+lg5)+lg25⋅lg5222
=lg5+lg2+lg25⋅lg52=1+1=2．
16.解：(1)设公差为d(d≠0)，
∵a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，
∴a32=a1⋅a9，即(1+2d)2=1×(1+8d)，解得d=1，
故数列{an}的通项为an=1+(n−1)×1=n．
(2)bn=1anan+1=1n−1n+1，
故Tn=b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn=1−12+12−13+13−14+⋅⋅⋅+1n−1n+1=1−11+n=n1+n．
17.解：(1)f(x)=cs(π2−x)⋅cs(π3−x)− 34
=sinx(12csx+ 32sinx)− 34
=14sin2x+ 32⋅1−cs2x2− 34
=14sin2x− 34cs2x
=12sin(2x−π3)，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Ζ)，
故f(x)的单调增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，(k∈Ζ)；
(2)当0≤x≤π2时，可得−π3≤2x−π3≤2π3，
所以− 32≤sin(2x−π3)≤1，可得− 34≤12sin(2x−π3)≤12，
故f(x)的值域为[− 34,12]．
18.解：(1)因为f(x)=3+aex1+ex是定义域R上的奇函数，
所以f(0)=3+a2=0，即a=−3，
所以f(x)=3−3ex1+ex，经检验f(x)此时为奇函数，符合题意；
(2)由(1)得f(x)=3−3ex1+ex=−3(1−21+ex)，
因为1+ex>1，
所以−1<1−21+ex<1，
所以−3(3)因为 3sinθcsθ+cs2θ= 32sin2θ+12cs2θ+12=sin(2θ+π6)+12，
当−π6≤θ≤π3时，−π6≤2θ+π6≤5π6，
所以−12≤sin(2θ+π6)≤1，
所以0≤sin(2θ+π6)+12≤32，
因为f(x)=−3(1−21+ex)在R上单调递减，
若关于θ的不等式f(k)+f( 3sinθcsθ+cs2θ)>0在θ∈[−π6,π3]上有解，
则f( 3sinθcsθ+cs2θ)>−f(k)=f(−k)在θ∈[−π6,π3]上有解，
所以32>−k，即k>−32，
故k的范围为{k|k>−32}.
19.解：(1)证明：因为函数的定义域为(0,+∞)，当a=0时，f(x)=ex−1x．
要证f(x)>1，只需证：当x>0时，ex>x+1，
令p(x)=ex−x−1，则p(x)=ex−1>0，
则p(x)在x∈(0,+∞)单调递增，
所以p(x)>p(0)=0，即ex>x+1．
(2)f′(x)=(x−1)ex+1x2+ax=1x⋅[(x−1)ex+1x+a]，
令g(x)=(x−1)ex+1x+a(x>1)，
则g′(x)=ex(x2−x+1)−1x2>(x2−x+1)−1x2=x−1x>0．
所以g(x)在(1,+∞)单调递增，g(x)>g(1)=1+a，
①a≥−1时，g(x)>g(1)=1+a≥0，f′(x)>0．
则f(x)在(1,+∞)为增函数，f(x)在(1,+∞)上无极值点，矛盾．
②当a<−1时，g(1)=1+a<0.由(1)知，ex>x+1>x，
g(x)=(x−1)ex+1x+a>(x−1)exx+a>(x−1)xx+a=x−1+a，
则g(1−a)>0，则x0∈(1,1−a)使g(x0)=0．
当x∈(1,x0)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)在(1,x0)上单调递减；
当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)在(x0,+∞)上单调递增．
因此，f(x)在区间(1,+∞)上恰有一个极值点，
所以a的取值范围为(−∞,−1)．