四川省成都市树德中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题及答案

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1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.
【详解】，则，
故选：B.
2. 已知集合，，则=
A.
B.
C. 或
D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知，为函数的值域，即，而为函数的值域，即，∴，故选D．
考点：集合的交集．
3. 已知函数，则“”是“是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由当时，f′x≥0，可得是增函数，即可得到答案.
【详解】由，得，
则当时，f′x≥0，增函数，
当时，可得是增函数；
当是增函数时，，
故“”是“是增函数”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若幂函数在区间0,+∞上是减函数，则
D. 命题“”的否定为“”；
【答案】BC
【解析】
【分析】通过举反例可以判断A不正确；由，故可判断“”是“”的充分不必要条件；根据幂函数的定义及单调性可得到不等式，求解即得；利用全称命题的否定来判断即可.
【详解】对于A：取，显然，但；故A不正确；
对于B：或，
故“”是“”的充分不必要条件；故B正确；
对于C：∵幂函数在区间0,+∞上是减函数，
∴，解得，故C正确；
对于D：命题“”的否定为“”， 故D不正确.
故选：BC.
5. 已知命题，命题恒成立．若和都为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题以及全称量词命题的真假，得出不等式限定条件即可解得实数的取值范围.
【详解】易知恒成立，若为真命题，可知，截得；
若为真命题,即恒成立，可得，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：B
6. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，以及初等函数的单调性，得到是上的奇函数，且为单调递增函数，结合，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为，
又由，可得是上的奇函数
当时，函数，
因为在为单调递减函数，可得在为单调递增函数，
又因为是上的奇函数，所以函数是上为单调递增函数，
因为，所以.
故选：A.
7. 用表示非空集合中元素的个数，定义.已知，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意知，从而可得或，即方程有1个根或3个根，而由得或，分类讨论；当时，求解集合，判断；当时，对应的根为和，则，再按方程的解的情况分两类讨论，进一步检验即可.
【详解】由题意知，，
∵，，
∴或，
即方程有1个根或3个根，
若，则或，
若，则或，
当时，，，符合题意；
当时，对应根为和，
若，则有以下两种情况，
当有两个相等的实数根时，
，解得，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当有两个不相等的实数根时，
则是的一个根，即，无解；
综上所述，；
故，
故选：B.
8. 已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，易知单调递增且关于对称，再将不等式转化为结合单调性求参数范围.
【详解】由题设，，图象如下：
所以，
又是R上的增函数，所以对恒成立，
所以，则，即．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 知函数满足，则关于函数正确的说法是（ ）
A. 的定义域为B. 值域为，且
C. 在(0,+∞)单调递减D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求出解析式，根据函数解析式逐一判断即可.
【详解】由于，故（且），
所以的定义域为且，故A不正确；
作出其图象，由图象知：由于，故值域为，且；
在(0,+∞)单调递减；的解集为.
故选：BCD
10. 已知，均为正数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据，均为正数，且，得到，A.利用基本不等式判断；B.由，利用指数函数的单调性判断；C.利用“1”的代换转化结合基本不等式判断；D. 利用基本不等式判断.
【详解】因为，均为正数，且，
所以，
A.因为，即，，当时，，故错误；
B.因为 ，所以，故正确；
C. 因为，当且仅当时，取等号，故正确；
D. 因为，当且仅当，即时，取等号，故错误；
故选：BC
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 值域为
C. 当时，恒有成立
D. 若，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先判断fx的奇偶性，再在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断AB；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D.
【详解】对于AB，因为，则由解析式知的定义域为，
又，所以为奇函数，
当时，由对勾函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，且值域为，
而在上递增，所以在上单调递减，在上单调递增，且，
由奇函数的对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且，
所以值域为，故A正确，B错误；
对于C，当时， 恒成立，
所以恒有成立，故C正确；
对于D，由，
因为，且，
所以，故，当且仅当时等号成立，
而时，，故等号不成立，所以，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：对于D 选项，根据解析式推导出，进而得到关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】化不等式的右边为0 ，通分并转化为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式，则，
解得或，所以原不等式的解集为.
故答案为：
13. 若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】不等式恒成立，即为不大于xy的最小值，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
【详解】∵正实数x，y满足，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
由恒成立，可得，
解得
故答案为：
14. 已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性结合变换可求为周期函数且周期为，据此可求的值.
【详解】因为是奇函数，故，
所以即，故.
而是偶函数，故，
因为，故，
故，所以，
所以，故，
故周期函数且周期为4，而，故，
故，故，而，
故，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设集合．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据全称量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据存在量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
若，则，
当时，，满足，
当时，，要使，
则需，解得，
综上所述，的取值范围是.
【小问2详解】
若，，
先求时的取值范围：
当当时，，满足.
当当时，，要使，
则需或，解得.
综上所述，时，或，
所以当时，.
16. 已知集合为使函数的定义域为R的的取值范围，集合（为常数，）．若是的必要条件，试求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域为可求，再根据条件关系得到包含关系，从而求得参数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，故，故，
因为是的必要条件，故为的子集，
而，故，故.
17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元.
【解析】
【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；
（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论．
【详解】（1）因为，
所以；
（2）时，，
时，，
时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以时，，
综上，（万台）时，年利润最大，最大利润为1360万元．
18. 已知函数的定义域为，对任意正实数都有，且当时，．
（1）求的值，
（2）判断函数的单调性并加以证明：
（3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上是增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令可求出f1的值，再利用题中已知条件可求得的值.
（2）设，利用作差法以及题中已知条件化简得出，结合已知条件可得出的符号，由此可证得结论成立；
（3）利用题中已知条件可将所求不等式化简为，结合函数的定义域可得出对任意的恒成立，设，，求出函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
令，则，所以，
所以.
【小问2详解】
函数在上是增函数，
证明：设，则，
因为，所以，故，
所以，所以函数在上是增函数；
【小问3详解】
因为，所以，
又因为，则可化为.
由（2）知函数在上是增函数，
所以对任意的恒成立，所以且对任意的恒成立.
所以且k>1x2+3xmax,x∈1,3，记，，
二次函数在区间上为增函数，所以，所以.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
19. 设函数．
（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
（2）时，求不等式的解集；
（3）当时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解.
（2）分解因式，根据二次不等式的解法求解.
（3）根据两集合交集不为空集，可得，作差后利用换元法根据基本不等式即可求解.
【小问1详解】
当时，，
当时，由，解得，满足题意；
当时，由有一解，得，解得或，
所以实数的取值集合.
【小问2详解】
由，得，
整理得，即，而，则，
当时，，解得或；
当时，，解得；
当时，，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问3详解】
集合，对于任意正数t，，由，
得当时，函数，则，即，
因此，令，则，
于是，当且仅当，即，，时取等号，
所以的最大值为.