四川省自贡市荣县中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 已知直线 的方向向量分别为 ，若 ，则 等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据 列方程，化简求得 的值.
【详解】由于 ，所以 .
故选：B
2. 在开学质检考试后，某小组长对本组 6 名同学的数学各题得分进行统计，其中 6 名同学在最后一道解答
题的得分按从低到高的顺序排列为：6，7，8， ，12，15，已知该组数据的中位数等于这组数据的极差，
则 （ ）
A 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】求出这组数据的中位数和极差，列式运算得解.
【详解】由题，该组数据的中位数为 ，极差为 ，
所以 ，得 .
故选：B
3. 甲、乙两个不透明的袋中各有 5 个仅颜色不同的球，其中甲袋中有 3 个红球，2 个白球，乙袋中有 2 个
红球，3 个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】现从两袋中各随机取一球，基本事件总数 ，两球不同颜色包含的基本事件个数
，由此能求出两球不同颜色的概率．
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【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有 5 个仅颜色不同的球，
其中甲袋中有 3 个红球、2 个白球，乙袋中有 2 个红球、3 个白球，
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数 ，
两球不同颜色包含的基本事件个数 ，
则两球不同颜色的概率为 ．
故选 ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
4. 如图，在三棱锥 中， 两两垂直， 为 的中点，则
的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将 转化为 ，再按照数量积的定义及运算律计算 即可.
【详解】由题意得 ，故
.
故选：D.
5. 若一组数据 的平均数为 5，方差为 2，则 ， 的平均
数和方差分别为（ ）
A. 7，-1 B. 7，1 C. 7，2 D. 7，8
【答案】D
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【解析】
【分析】根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果.
【详解】令
,
，
（也可 ）
故选：D
【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题.
6. 已知空间中三点 ， ， ，则下列结论中正确的有（ ）
A. 平面 ABC 的一个法向量是 B. 的一个单位向量的坐标是
C. D. 与 是共线向量
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进
行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】因为 ， ， ，故可得 ，
因为 ，故 ， 不平行，则 D 错误；
对 A：不妨记向量 为 ，则 ，
又 ， 不平行，故向量 是平面 的法向量，则 A 正确；
对 B：因为向量 的模长为 ，其不是单位向量，故 B 错误；
对 C：因为 ，故可得 ，故 C 错误；
故选：A.
7. 如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 上靠近点 的三等分点，
过点 的平面分别交棱 ， ， 于点 ， ， ，若 ， ， ，
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则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量基本定理，用 表示 ，由 D，E，F，M 四点共面，可得存在实数 ，
使 ，再转化为 ，由空间向量分解的唯一性，
分析即得解.
【详解】由题意可知，
因为 D，E，F，M 四点共面，所以存在实数 ，使 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D
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8. 如图，正方体 中，M，N 分别是线段 上的动点（不含端点），则下列各项中
会随着 M，N 的运动而变化的是（ ）
A. 异面直线 与直线 所成的角的大小 B. 平面 与平面 所成的角的大小
C. 直线 到平面 距离的大小 D. 异面直线 ， 之间的距离的大小
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量把异面直线 与直线 所成的角，平面 与平面
所成的角，直线 到平面 距离，异面直线 ， 之间的距离均求出来，看是否随着 M
，N 的运动而变化
【详解】以点 D 为原点，DA，DC， 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形边长
为 1，则 ， ， ， ， ， ， ，因为 M，N
分别是线段 上的动点（不含端点），故设 ， ，所以 ，
会随着 M，N 的运动而变化，故 A 选项正确；
设平面 的法向量为 ，则 ，解得：
设平面 的法向量为 ，则 ，解得：
所以 ，故平面 与平面 所成的角的大小为 ，不随着 M，N 的运动而变
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化；
设平面 的法向量为 ，则 ，解得： ，
则 ，即 与平面 平行，故直线 到平面 距离不变，不随着 M，N 的运动而变
化.
设异面直线 ， 的公共法向量为 ，则 ，解得： ，设异面直
线 ， 之间的距离为 ，夹角为 ，则 ，所以异面直线 ， 之
间的距离的不随着 M，N 的运动而变化.
故选：A
二、多选题
9. 在空间直角坐标系 中，以下结论正确的是（ ）
A. 点 关于原点 O 的对称点的坐标为
B. 点 关于 x 轴的对称点的坐标为
C. 点 关于 平面对称的点的坐标是
D. 两点 间的距离为 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系的对称关系判断 A，B，C；利用两点间距离公式计算判断 D.
【详解】点 关于原点 O 的对称点的坐标为 ，A 正确；
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点 关于 x 轴的对称点的坐标为 ，B 错误；
点 关于 平面对称的点的坐标是 ，C 正确；
两点 间的距离为 ，D 正确.
故选：ACD
10. 某中学学生会对本校高二年级 1000 名学生睡觉时间情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将
数据分组整理后，列表如下：
一星期内 23：00 后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7
23：00 后睡觉人数占调查人数的百
4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 分比
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A. 表中 m 的数值为 14
B. 估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉的天数不超过 3 天的约有 160 人
C. 估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉的天数的众数为 5
D. 估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉的天数的第 80 百分位数为 6
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项 A：利用频率加起来为 1，求解即可，选项 B：利用抽样估计该校高二年级学生中一星期内 23：
00 后睡觉的天数不超过 3 天的人数即可.选项 C：根据表格的可以看出 5 天的所占比例最高为 24%，进行判
断即可，选项 D：利用百分位数的求法求解即可.
【详解】选项 A： ，故选项 A 正确.
选项 B：一星期内 23：00 后睡觉的天数不超过 3 天的比例有： ，故学校人数为： 故
选项 B 错误,
选项 C：根据表格的可以看出 5 天的所占比例最高，为 24%，故估计该校高二年级学生中一星期内 23：00
后睡觉的天数的众数为 5，
选项 D：
一星期内 23：00 后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7
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23：00 后睡觉人数占调查人数的百
4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 分比
23：00 后睡觉人数占调查人数的人
2 2 4 12 10 12 18 5 数
则又表格可知，第 40 个人和第 41 个人均在 6 天那里，故估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉
的天数的第 80 百分位数为 6.
故选：ACD.
11. 如图，在长方体 中， ，点 E 为 的中点，点 F 为侧面
（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点 F，使得 B. 满足 的点 F 的轨迹长度为
C. 的最小值为 D. 若 平面 ，则线段 长度的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设 F 点坐标，利用空间向量法判断直线的位置关系可判
断 A；根据 ，推出 F 点的坐标满足的关系 ，可求得 F 的轨迹长度，判断 C；利用点
的对称点，结合空间两点的距离公式可判断 C；求出平面 的法向量，根据空间位置关系的向量证法求
出 ，结合空间两点间距离公式以及二次函数性质，可判断 D.
【详解】以 A 为原点，分别以 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 ，
对于选项 A，若 ，则 ，
又 ，所以 ，
即 ，此方程无解，所以不存在点 F，使得 ，故 A 错误；
对于选项 B，由 ，得 ，
化简可得 ，即 F 点轨迹为矩形 内的线段，
又 ，所以当 时，得 ，
当 时，得 ，即满足 的点 F 的轨迹长度为 ，故 B
正确；
对于选项 C，设点 C 关于平面 的对称点为 G，则 G 的坐标为 ，
则 ， 共线时取等号，故 C 错误；
对于选项 D， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
因为 平面 ，所以 ，即 ，
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又点 ，所以 ，
当 时， 取得最小值 ，故 D 正确．
故选：BD．
【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线线和线面位置关系，
对于 D 选项还需结合二次函数性质从而得到其最值.
三、填空题
12. 已知甲、乙两球落人盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有
一个落入盒子的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出甲、乙两球都没有落入盒子的概率，利用对立事件的概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】由题意可知，甲、乙两球都没有落入盒子的概率为 ，
由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： .
13. 已知直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，可得 ∥ ，从而可得 ，代入坐标列方程可求出 ，从而可求出
【详解】因为直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量 ， ，
所以 ∥ ，
所以存在唯一实数 ，使 ，
所以 ，所以 ，
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解得 ，
所以 ，
故答案为：
14. 在空间直角坐标系 中，有点 ， ， ，平面 过点 A、B、C，点 P 是
平面 外一点，其坐标为 ，点 Q 是点 P 在平面 上的投影.过点 P 作一条直线 l，使得 l 与平面 所
成的角为 60°，且直线 l 交平面 于点 R.已知 ，则 d 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出平面 的一个法向量，利用向量法求出点到面的距离 ，再由 列式求解.
【详解】由题可得 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
，
又 ，且 ，
，即 .
故答案为： .
四、解答题
15. 如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 中 ， 底 面 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ，
，设 .
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（1）用 表示 ，并求 ；
（2）求 ．
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到 ，再由向量数量积的运算公
式和模的计算公式，求得 的值；
（2）根据题意，求得 ，利用数量积的计算公式，求得 ，进而求得
的值.
【小问 1 详解】
解：因为 ，且 ，
所以 ，
又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形且 ，
所以
.
【小问 2 详解】
解：因为底面 是边长为 1 的正方形，且 ， ，
又由 ，
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所以 ，
所以 .
16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的
评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（3）从评分在 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 的概率.
【答案】（1）0.006；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为 ，可求 ；
（2）在频率分布直方图中先求出 50 名受访职工评分不低于 80 的频率为 ，由频率与概率关系可得该部
门评分不低于 80 的概率的估计值为 ；
（3）受访职工评分在[50，60)的有 3 人，记为 ，受访职工评分在[40，50)的有 2 人，记为 ，
列出从这 5 人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】（1）因为 ，
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所以
（2）由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为 ，
所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为 ；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为 .
从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是
又因为所抽取 2 人的评分都在[40，50)的结果有 1 种，即 ，
故所求的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，
注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出
所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 平面 ，
， ，F 是 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
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（2） .
【解析】
【分析】（1）由 平面 ，可得 ，再由 ，可证明 ，由线面垂直的
判定定理，可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由二面角的向量公式求解即可.
【小问 1 详解】
证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ ， ，
则 ，
则 ，
又 ， 平面
∴ 平面 ；
【小问 2 详解】
∵ 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建
立如下图所示的空间直角坐标系，
∵ ， ， ，则 ，
∵ 为 的中点，则 ，
则 、 、 、 、 ，
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， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，则 ，可得 ，
由 ，得 ，取 ，则 ，可得 ，
因为 ，结合图像二面角为锐角，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 2025 年 8 月 21 日，DeepSeek 在官方公众号发文称，正式发布 DeepSeek－V3.1 模型，此次升级也标志
着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特
针对 A，B 两部门开展专项技能培训．
（1）已知该公司 A，B 两部门分别有 3 位领导，此次培训需要从这 6 位领导中随机选取 2 位分别负责第一
天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由 A，B 两部门的领导分别负责一天
的概率；
（2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮的培训结
果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解.
（2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀”（ ），由此可得关系
，结合概率公式即可求解.
【小问 1 详解】
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记 部门的 3 名领导为 ， 部门的 3 名领导为 ，
从这 6 位领导中随机选取 2 位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：
，
共 30 种，
这两天的工作由 A，B 两部门的领导分别负责一天，不同结果有：
共 18 种，
所以这两天的工作由 A，B 两部门的领导分别负责一天的概率为 .
【小问 2 详解】
记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀”（ ），
则 ， ，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为 .
19. 已知四棱锥 底面是边长为 1 的正方形，其中 ，二面角 的大小为
，平面 平面 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的大小；
（3）如图，若 ，平面 平面 为 上一动点.平面 与平面 夹角的大小
为 ，求 的最小值.
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【答案】（1）证明见解析；
（2） 或 ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直的性质定理得 平面 ，再根据线面垂直的判定定
理和性质定理即可证明；
（2）方法一：作出二面角 的平面角，再利用余弦定理求出 或 ，再分别讨
论即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点 ，再分别讨论即可；
（3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出 ，再利用空间向量法写出面面角余弦的表达式，最后
利用换元法和基本不等式即可求出最值；
方法二：首先同法一求出 ，再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理和不等式性
质即可求出最值.
【小问 1 详解】
连接 交于点 ，连接 ，在平面 内过 作 ，垂足为 ，
因为 ，所以垂足 不与点 重合，如图：
又因 平面 平面 ，平面 平面 平面 ，则 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ．
在正方形 中， ． 平面 平面 ，
则 平面 ，又因为 平面 ，所以 ．
【小问 2 详解】
方法一：在平面 内，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
由（1）得， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
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因为 平面 ，所以 ．
所以易知 是二面角 的平面角， ，
在边长为 1 的正方形 中， ，
所以 ，
在 Rt 中， ，
在 中， ，
，解得 或 ，
（i）当 ，又因为 ，在 中，满足 ，则 ．
又因为 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，则 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
过 作 ，垂足为 ．又因为易证 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
在 Rt 中， ，所以 到平面 的距离为 ．
设 与平面 所成角为 ，则 ，
又因为 ，则 ．
第 19页/共 24页
（ii）当 ，在 中， 得： ，
如图，在 中， ，
Rt 中， ，
因为 ，
设 到平面 的距离为 ，所以 ，
得： ，解得 ，所以 到平面 的距离为 ，
设 与平面 所成角为 ，又因为 ，所以 ．
综上， 与平面 所成角为 或 ．
方法二：以 为 轴，以 为 轴，过点 的平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图．
则 ，
设 ，则 ．因为 ，
所以 ①．
第 20页/共 24页
因为 ，所以 ②．
因为 平面 ，所以平面 法向量 ，
设平面 法向量 ， ，
则 ，不妨取 ，则 ．所以 ．
因为二面角 为 ，所以 ③．
由①②③解得 ，或 ，即 或 ．
（i）当 时，
设平面 法向量 则 即
不妨取 ，则 ．所以 ．
，
设 与平面 所成角为 ，
．又因为 ，所以 ．
（ii）当 时， ．
设平面 法向量 ，
则 ，即 ，
不妨取 ，则 ．所以 ．
第 21页/共 24页
，
设 与平面 所成角为 ．又因为 ，所以 ．
综上， 与平面 所成角为 或 ．
【小问 3 详解】
法一：因为 面 ，所以 面 ．
所以 ．以 为正交基建立空间直角坐标系．
因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 ，
设 ， ，
设平面 法向量 ， ，
则 ，不妨取 ，则 ．所以 ．
因为 平面 ，所以平面 法向量 ．
因为二面角 为 ，所以 ，
即 ，解得 ，即 ．
设 ，设平面 法向量 ，
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，则 ，不妨取 ，则 ．所以 ．
，设平面 法向量 ，
，则 不妨取 ，则 ，所以 .
则 ，
设
，
．当且仅当 时， ，即 最小值为 ．
法二：求出 的过程同法一，
将 补成正方体 ，平面 平面 ，所以 即为 ．
又因为 ，过 作 ，垂足为 ，因为 平面 ，
所以 为二面角 的平面角 ．
在 中， ④， ⑤，
由④⑤得： ，
则 ，得 ．
则 ，解得 ，
当且仅当 时， ，此时 ，即 最小值为 ．
第 23页/共 24页
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