浙江省杭州市西湖区名校2025-2026学年九年级上学期10月数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市西湖区名校2025-2026学年九年级上学期10月数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，四象限，故A可排除；，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题）
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A.
B. （，，是常数）
C.
D.
【答案】C
【解析】A．是一次函数，故该选项不符合题意；
B．，当时二次函数，故该选项不符合题意；
C．是二次函数，故该选项符合题意；
D．是一次函数，故该选项不符合题意．
故选：C．
2. 小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，
∴从中任意取出一件正好是蓝色的概率为，
故选：A．
3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是，
故选：C．
4. 小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（ ）
A. 4B. 3
C. 2D. 1
【答案】B
【解析】由表格信息可得：当时的函数值为0，
∴当时，则，即，
∴是的一个解，
故选：B
5. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题知：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
离对称轴越远则函数值越小，
题中三个点离直线距离由远及近为，
故选：B．
6. 已知二次函数，当时，则y的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵，，
∴当时，取得最小值，最小值为，
∵当时，；当时，，
当时，．
故选：A．
7. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．由二次函数的图象可知，此时直线必经过二、四象限，故A可排除；
B．由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，则，此时直线应经过二、三、四象限，故B满足题意；
C．由二次函数的图象可知，此时直线必经过一、三象限，故C可排除；
D．由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、二、三象限，选项D可排除．
故选：B．
8. 一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（ ）
A. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面
B. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面
C. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面
D. 物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面
【答案】B
【解析】，
，
当时，有最大值20，
当时，
解得或，
物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面，
故选：B．
9. 已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】、∵二次函数的图象经过点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，原选项错误，不符合题意；
、∵，
∴，
∴当时，可能成立，原选项正确，符合题意；
、∵，
∴，即，
若若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
故选：．
10. 已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（ ）
A. 或10B. 10或2
C. 2D.
【答案】C
【解析】二次函数的图象经过点，
代入，得，即，
二次函数对称轴直线，
然后分情况讨论：
①对称轴为直线，即，
此时在上，y随x的增大而增大，
当时，y有最小值0，不符合题意，舍去；
②对称轴为直线满足时，即，
此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值，
二次函数顶点纵坐标公式为，将代入，
可得，
解得或，
，
；
③对称轴为直线，即，
此时在上y随x的增大而减小，
当时，y有最小值，
令，解得，不符合题意，舍去；
故答案为，故选：C．
二、填空题（共6小题）
11. 抛物线的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】对于抛物线，
其对应的二次函数为一般式，其中，，，
根据二次函数对称轴公式，将，代入得：．
故答案为：．
12. 年月，国家卫健委联合部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是___________．
【答案】
【解析】有氧运动有：快走，慢跑，游泳，共个项目；总的项目有：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲，共个项目；
选中的项目是有氧运动的概率是，
故答案为：．
13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
∴不等式的解集是：，
故答案为：
14. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】二次函数中，，
抛物线开口向上，
在对称轴的左侧随的增大而减小，
抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
故答案为：．
15. 抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于________．
【答案】33
【解析】∵抛物线与直线只有一个交点，
∴抛物线顶点的纵坐标是1，
∴，
∵抛物线过点，，
∴点A、B关于直线对称，
∴，则，
∴，
将代入中，
得，
故答案为：33．
16. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤(m≠1的实数），其中正确的结论有_______________.
【答案】②③⑤
【解析】①∵抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x=﹣1时，y=a－b＋c＜0，
∴b－a－ c＞0，
故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，
∴4a＋c＞﹣2b，
故③正确；
④∵，
∴b=﹣2a，
∵a－b＋c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a+c＜0，
故④不正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．
三、解答题（共8小题）
17. 已知函数．
（1）请在下边网格内，画出该函数的大致图象；
（2）请根据该函数图象写出时的取值范围．
解：（1）列表：
描点；
连线，如图所示，
（2）由函数图象得：当时，的取值范围是．
18. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；
（2）随机摸出一个球后，放回，搅匀再随机摸出一个球，请利用树状图或列表法求两次都摸到相同颜色的小球的概率．
解：（1）设袋子中白球的个数为，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：袋子中有1个白球；
（2）根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
两次都摸到相同颜色的小球的概率为．
19. 一个二次函数的图象经过(﹣1，﹣1)，(0，0)，(1，9)三点
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)若另外三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)也在该二次函数图象上，求n的值.
解：(1)设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，
∵二次函数的图象经过点(0，0)，(﹣1，﹣1)，(1，9)三点，
∴，解得，
所以二次函数的解析式是：y＝4x2+5x；
(2)∵二次函数为y＝4x2+5x，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)在该二次函数图象上，
∴＝﹣，
∴x1+x2＝﹣，
∴n＝4×(﹣)2+5×(﹣)＝0．
20. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
解：（1）由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是；
（2）∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
∵，
，
∴二次函数为，
，
．
21. 已知二次函数（为常数，）的图象为抛物线．
（1）求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设点、，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
（1）证明：当，则
∴，
∴不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：对于二次函数，
对称轴为直线，
①当时，在时，随着的增大而增大，
∴当时，函数取得最大值，即，
∴要使得当时，，则，∴，∴；
当时，在时，随着的增大而减小，
∴当时，函数取得最大值，即，
∴要使得当时，，则，
∴，∴，
∴当时，，的取值范围为或；
（3）解：与联立得，
问题化为方程在只有一个实数根，
令，即该函数在上与轴只有一个交点，
当时，；时，，
①当时，如图：

∵抛物线经过，
∴只能是抛物线对称轴右侧的图象与轴交点在个范围内，
∴当时，
∴；
②当时，时，，如图：
∴只能顶点在轴上符合题意，
∴，
∴，
综上：的取值范围是或．
22. 某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求甲种儿童套装每件的进价；
（2）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）网店每天甲种套装的销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得，
解得，
所以甲种儿童套装每件的进价是30元；
（2）设函数关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为；
（3）设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得
，
且，
解得．
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是，
当时，函数值w随着x的增大而增大，
即当时，元．
所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元．
23. 已知关于的二次函数，经过点，.
（1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；
（2）若时，，求的值；
（3）若，当，且时，求证：．
（1）解：∵此函数图象过点，
∴，
解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：由得，该函数的图象的对称轴为直线，
∵若时，，
∴点A、B关于直线对称，
∴，解得，
将代入函数表达式中，得，
解得；
（3）证明；由题意，
，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，则，
∴，∴．
24. 在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
解：（1）点的“纵横差”为，
（2）因为，所以，，
因为，所以时，的最大值是，
所以，函数的“纵横极差”为．
（3）因为函数的“纵横极差”为4，
所以，当时，的最大值为4．
①若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得．
②若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得（舍去）．
综上所述，或.
1
2
3
4
0
5
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…