新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学学科 时间：90分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 在四面体PABC中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的计算法则计算即可.
【详解】由题可知
故选：A
2. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】应用空间向量线性关系、模的坐标运算求向量的模长.
【详解】由题设，
所以.
故选：B
3. 空间中，若向量共面，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量共面定理有，，结合向量的坐标表示列方程求参数值，即可得.
【详解】由向量共面知，，则，
所以，可得.
故选：C
4. 在长方体中，，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示求解
【详解】因为，
所以，所以，
故选：B
5. 设，，向量，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可.
【详解】设、，向量，且，
，解得，
又因为，所以，解得，
所以，
故选：．
6. 如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的一个法向量，由，得，取，得，
又，
点到平面的距离为，
故选：D．
7. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案.
【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，
则，
，，
设得：，
所以，
，
由，
所以，当时，等号成立，
则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为.
故选：C
8. 已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（ ）．
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解.
【详解】
过点，分别向作垂线，垂足分别为，，
则可得，，，，．
由于，
所以
，
所以．
故选:A．
【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于基础题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可.
【详解】对于A：设，则，由无解，
故不存在，使得，所以，，不共面，故A正确；
对于B：，所以，，共面，故B错误；
对于C：，所以，，共面，故C错误；
对于D：设，则，由无解，
故不存在，使得，所以，，不共面，故D正确.
故选：AD.
10. 已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设点B的坐标为,根据空间两点间距离公式列式求解.
【详解】设点B的坐标为,
由空间两点间距离公式可得，解得或10,
所以B点的坐标为或.
故选：AC.
11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线所成的角为90°
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 平面
D. 点到平面的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离.
【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，
∵，∴，∴A选项正确；
∵，，设平面的一个法向量为，
则，令，解得，即，
设直线与平面所成角为，
则，
∴，∴B选项正确；
∵，∴平面，∴C选项正确；
点到平面的距离，∴D选项错误.
故选：ABC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．
【答案】.
【解析】
【详解】.
13. 在空间四边形中，，，，，则______．
【答案】22
【解析】
分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案.
【详解】因，则，
，
则，
整理得，因此．
.
故答案为：22
14. 若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出．
【详解】∵向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），
∴2+λ+2＝λ，，．
又，夹角的余弦值为，
∴，可知λ＞0．
解得λ＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知空间向量.
（1）求；
（2）若向量与垂直，求实数的值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值.
【小问1详解】
因为空间向量，
所以，
所以；
【小问2详解】
由题得，
由向量与垂直，则，
则，解得：.
16. 如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．

【答案】，
【解析】
【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可.
【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示，
因此是平面的一个法向量；
设是平面的法向量．
由已知得，，
因而
取，得，则是平面的一个法向量．
17. 如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
【答案】.
【解析】
【分析】由题设，写出点C、A、B、D、V的坐标，进而得到、坐标，利用向量数量积的坐标表示求的余弦值，即可确定异面直线AC与VD所成角的余弦值．
【详解】∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
在Rt△VCD中，，故．
∴，．
∴.
∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
18. 如图，在平行六面体中，是的中点，求证：//面．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】选定为基底，用表示向量，即可用向量法证明线面垂直.
【详解】设，则
，
若存在实数，使得成立，
则
因不共面，故，即，
则故为共面向量，
且不在所确定的平面内，故//面.
19. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．
（1）用为基底表示向量，并求的长；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长；
（2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到.
【小问1详解】
记，，，
则，，
∴，，
，
∴，即的长为；
【小问2详解】
，故，
故，
由（1）知，，
故
，
∴．