八年级上学期数学压轴必考题型—— 最短路径问题练习（含答案）

这是一份八年级上学期数学压轴必考题型—— 最短路径问题练习（含答案），共60页。
1．（2021春•开江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110°B．112°C．114°D．116°
2．（2020秋•泗水县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3.5B．4C．5D．6
3．（2021春•蜀山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
4．（2020秋•封开县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
5．（2020秋•丛台区校级期末）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b）D．（AM平行BN）
6．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（ ）
A．3B．C．2D．
7．（2020秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．（2019秋•吴兴区期末）线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连接AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB＝6，则AD+BD的最小值为．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③④C．①③④D．②③④
二．填空题
9．（2020秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，∠D＝120°，且AB⊥AC，AD+CD＝6，则四边形ABCD周长的最小值是 ．
10．（2020秋•无棣县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 ．
11．（2021春•新乡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 ．
12．（2021春•济源期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为 ．
13．（2021春•思明区校级月考）若m为常数，且m＞0，点A的坐标为（0，10m），B点的坐标为（5m，﹣2m），C点为x轴上一点，AC+BC的最小值为 ，AC﹣BC最大值为 ．（用含m的代数式表示）
14．（2021春•海淀区校级月考）已知：如图，AD是等边△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上一点，E为AC中点，连接PC，PE，若AB＝6，则PC+PE的最小值是 ．
15．（2020秋•碑林区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2＝ ．
16．（2021春•番禺区期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，且OA＝6，点B的坐标为（2，4）点D为OA的中点，AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点E，点P为线段CE上的一动点，当△APD的周长最小时，点P的坐标为 ．
17．（2021•仪征市二模）如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 ．
18．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是 ．
19．（2020秋•河东区期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 ．
三．解答题
20．（2021春•同安区校级月考）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？



21．（2021春•青羊区校级月考）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移动．
（1）△ABC的面积为 ．
（2）当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小，画出图形井求出Q点坐标和△PQC周长．
（3）直线BP将△ABC的面积分成1：n两部分．
①分别求出当n＝1，n＝2时P点坐标．
②直接写出直线BP将△ABC的面积分成1：n（n＞2）两部分时P点坐标．

22．（2020秋•襄城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点．
（1）在直线CD上作一点P，使PA+PE最小；
（2）在（1）的条件下，若CD＝12，求线段DP的长．





23．（2020秋•恩施市期末）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；
（3）∠OAP＝ 度．





24．（2017春•安溪县期末）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．




25．（2020秋•雨城区校级期中）如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．




26．（2021春•砀山县期末）作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．








27．（2020秋•海淀区期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．
（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；
（2）求出（1）中PC+PD的最小值．







28．（2020秋•锡山区期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？




29．（2019•花溪区一模）如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE，点P，N分别是BE，BC上的动点．
（1）求点D到线段BE的最短距离；
（2）若当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
（3）点Q在BE上，若BQ＝1，求QN+NP+PD的长度最小值．
人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 最短路径问题
一．选择题
1．（2021春•开江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110°B．112°C．114°D．116°
【思路引导】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
【完整解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，
∴∠ADC＝180°﹣α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣64°
＝116°．
故选：D．
2．（2020秋•泗水县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3.5B．4C．5D．6
【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′，
【完整解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2cm，QD＝1.5cm，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5（cm），
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
3．（2021春•蜀山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
【思路引导】作点A关于BD的对称点M，过M作MF⊥AB于F，交BD于E，则AE+EF的最小值是MF的长．由MF∥CA可得，进而可得答案．
【完整解答】解：作点A关于BD的对称点M，
∵BD平分∠ABC，
∴M落在BC上．
∴BM＝BA＝4，
过M作MF⊥AB于F，交BD于E，
则AE+EF的最小值是MF的长．
∵∠MFB＝∠CAB＝90°，
∴MF∥CA，
∴，
即，MF＝2.4，
∴AE+EF＝MF＝2.4．
故选：B．
方法二：作点F关于BD的对称点M，
连接AM交BD于E，则则AE+EF的最小值是AM的长，
∵点E，F分别是BD、AB上的动点，
∴当AM⊥BC时，AM最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴AC＝5，
∵∠CAB＝∠AMB＝90°，
∠CBA＝∠ABM，
∴△CAB∽△AMB，
∴，
即，
∴AM＝2.4．
故选：B．
4．（2020秋•封开县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ＝PE+EQ′＝PQ′．
【完整解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝DC＝3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+EQ＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
5．（2020秋•丛台区校级期末）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b）D．（AM平行BN）
【思路引导】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【完整解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
6．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（ ）
A．3B．C．2D．
【思路引导】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【完整解答】解：∵A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），
∴AB＝＝＝5，CD＝＝＝5，
∴AB＝CD＝5，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，
点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
由平移的性质得：
BC∥AD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当BC⊥CD时，BC的值最小，
∵C（m,﹣m)
∴点C在直线y＝﹣x上运动，
∵BC⊥直线y＝﹣x，
∴直线BC平行直线y＝x,
∴直线BC的解析式为y＝x+b，
把B（5，1）代入y＝x+b得：
1＝5+b，
解得：b＝﹣4，
∴y＝x﹣4,
联立方程组得：,
解得:
∴C（2,﹣2），
∴m＝2，
故选：C．
7．（2020秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【思路引导】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【完整解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．
故选：D．
8．（2019秋•吴兴区期末）线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连接AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB＝6，则AD+BD的最小值为．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③④C．①③④D．②③④
【思路引导】当C为AB的中点时，如图，设AD，CM交于E，BD，CN交于F，连接EF，根据等边三角形的性质得到AM＝AC＝MC＝BC＝NB，推出△CMN是等边三角形，故③正确；根据全等三角形的性质得到AD＝BD，推出△ABD是等腰三角形，故②正确；当点C为AB的中点时，AD+BD的值最小，求得CD为MN的垂直平分线，得到MD＝AB，根据勾股定理得到AD+BD＝3，故④正确；若△ABD可能为直角三角形，则∠ADB＝90°，推出AC＝CD，与所求的结论不符，故①错误．
【完整解答】解：当C为AB的中点时，如图，设AD，CM交于E，BD，CN交于F，连接EF，
∵△ACM和△BCN是等边三角形，
∴AM＝AC＝MC＝BC＝NB，
∵点D是MN的中点，
∴MD＝ND，
∵∠MCN＝60°，
∴∠CMN＝∠CNM＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故③正确；
∵∠AMD＝∠BND＝120°，
∴△AMD≌△BND（SAS），
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，故②正确；
当点C为AB的中点时，AD+BD的值最小，
∵点D是MN的中点，
∴CD为MN的垂直平分线，
∴MD＝AB，
∵AB＝6，
∴MD＝，
∴CD＝＝，
∴AD＝＝，
∵AD＝BD，
∴AD+BD＝3，故④正确；
过M作MP⊥AB于P，过D作DE⊥AB于E，过N作NQ⊥AB于Q，
∴PM∥DE∥NQ，
∵MD＝DN，
∴PE＝EQ，
设AP＝PC＝a，BQ＝CQ＝b，
∴PM＝a，NQ＝b，
∴DE＝，PE＝QE＝，
∴AE＝a+＝，BE＝，
∴AD2＝+，BD2＝+，
AB2＝（2a+2b）2，
∴AD2+BD2≠AB2，
∴△ABD不是直角三角形，故①错误；
故选：D．
二．填空题
9．（2020秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，∠D＝120°，且AB⊥AC，AD+CD＝6，则四边形ABCD周长的最小值是 15+6 ．
【思路引导】过点A作CD垂线交CD延长线于E，设ED＝a，由∠ADC＝120°得AD＝2a，AE＝a，再由AD+CD＝6得CE＝6﹣a，由此可求得AC最小值为3，设AC＝x，由∠B＝30°，AB⊥AC得AB+BC＝（2+）AC，故AB+BC的最小值为6+9，从而四边形ABCD周长的最小值为6+6+9＝15+6．
【完整解答】解：过点A作CD垂线交CD延长线于E，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADE＝60°，
设ED＝a，则AD＝2a，
∴AE＝＝a，
∵AD+CD＝6，
∴CD＝6﹣2a，
∴CE＝DE+CD＝6﹣a，
∴AC＝＝＝，
∴当a＝时，AC有最小值3，
∵∠B＝30°，AB⊥AC，
∴设AC＝x，则BC＝2x，AB＝＝x，
∴AB+BC＝（2+）x＝（2+）AC，
∴AB+BC的最小值为6+9，
∴四边形ABCD周长的最小值为6+6+9＝15+6．
故答案为：15+6．
10．（2020秋•无棣县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 18 ．
【思路引导】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当动点P和E重合时△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【完整解答】解：∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当动点P和E重合时△ACP的周长最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝12，
∴△ACP的周长最小值＝AC+AB＝6+12＝18，
故答案为：18；
11．（2021春•新乡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 22.5 ．
【思路引导】如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，当D，P，B′共线时，PD+PB的值最小．证明CB′＝CD，根据∠DCB＝∠ACB＝45°，可得结论．
【完整解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，当D，P，B′共线时，PD+PB的值最小．
∵∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，
∴∠DCB＝×90°＝45°，
∵CB＝CB′，CD＝CB，
∴CD＝CB′，
∴∠CDB′＝∠B′，
∵∠DCB＝∠CDB′+∠B′，
∴∠CDP＝22.5°，
故答案为：22.5．
12．（2021春•济源期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为 4+2 ．
【思路引导】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠B＝90°，求得AC＝BC＝2，作C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于D，则此时，四边形ABCD′的周长最小，这个最小周长的值＝AB+BC+AC′，过根据勾股定理即可得到结论．
【完整解答】解：∵点A（2，2），点B的纵坐标为2，
∴AB∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠B＝90°，
∵C（4，4）
∴B（4，2），
∴AB＝BC＝2，
作C关于y轴的对称点C′，
连接AC′交y轴于D′，
则此时，四边形ABCD′的周长最小，这个最小周长的值＝AB+BC+AC′，
∵C′（﹣4，4），A（2，2）
∴AC′＝＝2，
∴最小周长的值＝Ab+BC+AC′＝4+2，
故答案为：4+2．
13．（2021春•思明区校级月考）若m为常数，且m＞0，点A的坐标为（0，10m），B点的坐标为（5m，﹣2m），C点为x轴上一点，AC+BC的最小值为 13m ，AC﹣BC最大值为 m ．（用含m的代数式表示）
【思路引导】根据两点之间线段最短求出AC+BC的最小值，利用轴对称求出AC﹣BC的最小值即可．
【完整解答】解：如图，连接AB交x轴于点C，此时AC+CB的值最大，
最大值＝AB＝＝13m．
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于C′，
此时AC′﹣BC′的值最大，
最大值为AB′＝＝m，
故答案为：13m，m．
14．（2021春•海淀区校级月考）已知：如图，AD是等边△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上一点，E为AC中点，连接PC，PE，若AB＝6，则PC+PE的最小值是 3 ．
【思路引导】先根据等边三角形的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分的性质可得PB＝PC，然后根据两点间线段最短可得PC+PE的最小值．
【完整解答】解：如图，连接PB、BE，
∵AD是等边三角形ABC中∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
由两点间线段距离最短可知，
当点B，P，E在一条直线上时，PB+PE取值最小，最小值为BE，
∵△ABC为等边三角形，且AB＝6，E为AC的中点，
∴BC＝AB＝6，CE＝AC＝AB＝3，
∴BE＝＝＝3，
即PC+PE的最小值为3，
故答案为：3．
15．（2020秋•碑林区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2＝ 160 ．
【思路引导】作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出A′B的长就是PA+PB的最小值；
延长AB交MN于点P′，此时P′A﹣P′B＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA﹣PB|，故当点P运动到P′点时|PA﹣PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA﹣PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
【完整解答】解：如图，
作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴A′C＝8，BE＝8+5＝13，A′E＝CD＝4，
∴A′B＝＝，
即PA+PB的最小值是a＝．
如图，
延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB＝＝5．
∴|PA﹣PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2﹣b2＝185﹣25＝160．
故答案为：160．
16．（2021春•番禺区期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，且OA＝6，点B的坐标为（2，4）点D为OA的中点，AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点E，点P为线段CE上的一动点，当△APD的周长最小时，点P的坐标为 （，） ．
【思路引导】如图，连接BC，PB，BD．首先证明∠ACB＝90°，利用勾股定理求出BD，根据PA+PD＝PB+PD≥BD，推出B，P，D共线时BP+PD的值最小，可得直线CE的解析式为y＝x﹣2，直线BD的解析式为y＝﹣4x+12，构建方程组确定点P坐标．
【完整解答】解：如图，连接BC，PB，BD．
∵OA＝6，B（2，4），
∴∠BAO＝45°，
∵CE垂直平分线段AB，
∴CB＝CA，PA＝PB，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠BCA＝90°，
∴OC＝2，AC＝BC＝4，
∵OD＝DA＝3，
∴CD＝OD﹣CD＝1，
∵△PAD的周长＝PD+PA+AD＝PB+PA+3，
又∵BP+PD≥BD，
∴B，P，D共线时BP+PD的值最小，
∵直线CE的解析式为y＝x﹣2，直线BD的解析式为y＝﹣4x+12，
由，解得，
∴满足条件的点P（，）．
故答案为：（，）．
17．（2021•仪征市二模）如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 2 ．
【思路引导】根据平面直角坐标系，可以假设E（m，），则D（m+1，2），则BD+BE＝+，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2），N（0，）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′的长．
【完整解答】解：建立如图坐标系，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝2，
AB＝BC＝2，
∴斜边AC上的高＝＝，
∵△ABC≌△FDE，
∴EF＝AC＝4，斜边EF上的高为，
∴可以假设E（m，），则D（m+1，2），
∴BD+BE＝+，
欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2），N（0，）的距离和的最小值，如图1中，
作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′＝＝2，
∴BD+BE的最小值为2，
故答案为：2．
18．（2021春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是 ．
【思路引导】作点P关于直线AB,AC的对称点Q,R,连接QM,RN,QR,通过△PMN的周长为:PM+MN+PN＝QM+MN+RN,判断出当点Q,M,N,R四点共线时,△MNP的周长最小,即为QR的长,再根据当AP⊥BC时，AP的值最小,此时QR的值最小，即△MNP的周长最小,求出QR的最小值即可。
【完整解答】解：作点P关于直线AB,AC的对称点Q,R,连接QM,RN,QR,如图:
则PM＝QM,PN＝RN,
.∴△PMN的周长为:PM+MN+PN＝QM+MN+RN,
∴当点Q,M,N,R四点共线时,△MNP的周长最小,即为QR的长,
连接AQ,AP,AR,
:点P关于直线AB,AC的对称点为点Q,R,
∴∠BAQ＝∠BAP,∠CAR＝∠CAP,AQ＝AP＝AR,
∴∠QAP＝2∠BAP,∠RAP＝2∠CAP,
∵∠BAC＝45°,
∴∠BAP+∠CAP＝45°,
∴2∠BAP+2∠CAP＝90°,
∴∠QAR＝∠QAP+∠RAP＝2∠BAP+2∠CAP＝90°,
在Rt△QAR中，∠QAR＝90°,AQ＝AR,
∵AQ²+AR²＝QR²,
∴2AQ²＝QR²,
∴QR＝AQ＝AP,
∴求QR的最小值时，只需求出AP的最小值,
∵点P在BC上运动,
∴当AP⊥BC时，AP的值最小,此时QR的值最小，即△MNP的周长最小,
在Rt△DAC中,∠ADC＝90°,∠DAC＝45°，
∴∠DCA＝90°一∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠DAC
∴AD＝CD＝12,
∵AB＝17,
∴BD＝AB﹣AD＝17﹣12＝5，
在Rt△DBC中,∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝13,
∴当AP⊥BC时,
S△ABC＝BC•AP＝AB•CD,
∴AP＝＝＝,
∴QR＝AP＝×＝,
∴△NMP的周长的最小值为．
故答案为：。
19．（2020秋•河东区期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 30° ．
【思路引导】连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．
【完整解答】解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题
20．（2021春•同安区校级月考）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？
【思路引导】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
（3）根据AE+BE＝可作出图形，当A、E、B共线时，利用勾股定理求出AB的值即可．
【完整解答】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，
∴AE+BE＝+，
（2）根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．

过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．
∴AF＝AC+CF＝6．
在Rt△ABF中，BA＝，
∴此时最少需要管道10km．
（3）根据以上推理，可作出下图，设ED＝x，BD＝3，CD＝15，AC＝5，当A、E、B共线时，求出AB的值即为原式的最小值．
在Rt△ABF中，AF＝8，BF＝CD＝15，
由勾股定理可得：AB＝，
∴的最小值为17．
21．（2021春•青羊区校级月考）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移动．
（1）△ABC的面积为 13 ．
（2）当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小，画出图形井求出Q点坐标和△PQC周长．
（3）直线BP将△ABC的面积分成1：n两部分．
①分别求出当n＝1，n＝2时P点坐标．
②直接写出直线BP将△ABC的面积分成1：n（n＞2）两部分时P点坐标．
【思路引导】（1）过点B作BE∥y轴，过A点作AE∥x轴交于点E，过C作CF∥y轴，过A作AF∥x轴交于点F，根据S△ABC＝S梯形EBCF﹣S△AEB﹣S△AFC即可求得；
（2）作P点关于轴的对称点P′，连接P′C交于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，Q就是△PQO周长最小的点，利用勾股定理求得直线AC的解析式，即可求得P的坐标，进而求得则P′（﹣1，），个待定系数法求得直线CP′，即可求得Q的坐标，然后根据△PQC周长＝P′C+CP求得即可，
（3）①根据A、C的坐标即可求得P的坐标；②根据同高三角形面积的比等于底边的比，然后根据A、C的坐标即可求得结论．
【完整解答】解：（1）过点B作BE∥y轴，过A点作AE∥x轴交于点E，过C作CF∥y轴，过A作AF∥x轴交于点F，
∴E（﹣2，4），F（3，4），
∴S△ABC＝S梯形EBCF﹣S△AEB﹣S△AFC
＝（BE+CF）•EF×﹣AE•BE﹣＝AF•CE
＝（6+4）×5×﹣×6﹣×3×4
＝25﹣6﹣6
＝13，
∴△ABC的面积为13，
故答案为13；

（2）∵A（0，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，
∵点P在线段AC上移动，点P坐标为（1，m），
∴m＝﹣×1+4＝，
∴P（1，），
作P点关于轴的对称点P′，连接P′C交于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，Q就是△PQO周长最小的点，则P′（﹣1，），
设直线P′C的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∴，解得，
∴直线PC的解析式为y＝﹣x+2，
∴Q点的坐标为（0，2），
∴△PQC周长＝PQ+CQ+CP，
∴CP′＝＝，
CP＝＝，
∴△PQC的周长最小值为：+．

（3）①
当n＝1时，BP平分△ABC，
∴P为AC的中点，
∵A（0，4），C（3，0），
∴P（，2），
当n＝2时，BP三等分△ABC，
∴P为AC的三等分点，
当P靠近A时，
∴P（1，），
当P靠近C时，
∴P（2，），
综上所述，n＝1时，P（，2）；n＝2时，P（1，）或P（2，），
②当S△ABP：S△BPC＝1：n时，
∴AP：PC＝l：n，
∴P（，），
当S△ABP：S△BPC＝n：1时，
∴AP：PC＝n：1，
∴P（，），
综上述，P（，）或P（，）．
22．（2020秋•襄城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点．
（1）在直线CD上作一点P，使PA+PE最小；
（2）在（1）的条件下，若CD＝12，求线段DP的长．
【思路引导】（1）点E关于直线CD的对称点F在线段CB上，连接AF交CD于点P，连接PE，此时PA+PE的值最小．
（2）解直角三角形求出AD，DP即可．
【完整解答】解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴点E关于直线CD的对称点F在线段CB上，
连接AF交CD于点P，连接PE，此时PA+PE的值最小．
即点P即为所求作．
（2）∵CD＝12，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD，
∴4AD2＝AD2+122
∴AD＝4，
∵AE＝EC，E，F关于CD对称，
∴CF＝BF，
∵AC＝AB，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠ACD＝30°，
∴PA＝PC＝2PD
∴PD＝CD＝4．
23．（2020秋•恩施市期末）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 （a，﹣a﹣b） ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；
（3）∠OAP＝ 45 度．
【思路引导】（1）根据关于y轴对称的点的特点即可得到结论；
（2）如图所示，作点A 关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求；
（3）过B作BD⊥y轴于D，D（0，﹣a﹣b），则BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，由（2）知A与A′关于x轴对称，于是得到A′O＝AO＝b，推出A′D＝BD，在Rt△A′DB中，∠A′DB＝90°，A′P＝AP，于是得到∠BA′D＝∠B＝45°，即可得到结论．
【完整解答】解：（1）点B的坐标为（a，﹣a﹣b）；
故答案为：（a，﹣a﹣b）．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）过B作BD⊥y轴于D，D（0，﹣a﹣b），
则BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，
由（2）知A与A′关于x轴对称，
∴A′O＝AO＝b，
∴A′D＝BD，
在Rt△A′DB中，∠A′DB＝90°，A′P＝AP，
∴∠BA′D＝∠B＝45°，
∵A与A′关于x轴对称，
∴∠OAP＝∠DA′P＝45°．
故答案为：45．
24．（2017春•安溪县期末）已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ 100° ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
【思路引导】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一直线上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【完整解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．
25．（2020秋•雨城区校级期中）如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
【思路引导】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【完整解答】解：（1）∵AC＝＝，
CE＝＝，
∴AC+CE＝+；

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝5，
∴AE＝＝10，
∴AC+CE的最小值是10；

（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝13，
即的最小值为13．
26．（2021春•砀山县期末）作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
【思路引导】作A关于街道的对称点A'，连接A'B，交街道所在直线于C，点C即为所求．
【完整解答】解：作图如右图：
牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．
27．（2020秋•海淀区期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．
（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；
（2）求出（1）中PC+PD的最小值．
【思路引导】（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求；
（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，先根据等边对等角得出∠DCD′＝∠DD′C，然后根据平行线的性质得出∠D′CE＝∠DD′C，从而求得∠D′CE＝∠DCD′，得出∠D′CE＝30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D′C＝2D′E＝2AB，即可求得PC+PD的最小值．
【完整解答】解：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求，此时PC+PD＝PC+PD′＝CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，
∵CD＝2AD，
∴DD′＝CD，
∴∠DCD′＝∠DD′C，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABED′是矩形，
∴DD′∥EC，D′E＝AB＝4，
∴∠D′CE＝∠DD′C，
∴∠D′CE＝∠DCD′，
∵∠DCB＝60°，
∴∠D′CE＝30°，
∴D′C＝2D′E＝2AB＝2×4＝8；
∴PC+PD的最小值为8．
28．（2020秋•锡山区期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
【思路引导】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．
（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价＝单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．
【完整解答】解：（1）根据分析，水厂的位置M为：

（2）如图2，，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝（千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3＝150（万元）．
答：最低费用为150万元．
29．（2019•花溪区一模）如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE，点P，N分别是BE，BC上的动点．
（1）求点D到线段BE的最短距离；
（2）若当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
（3）点Q在BE上，若BQ＝1，求QN+NP+PD的长度最小值．
【思路引导】（1）如图1中，作DH⊥BE于H，根据等边三角形的性质得到∠CBH＝30°，解直角三角形求出DH即可．
（2）如图2中，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD＝BD′，推出△BDD′是等边三角形，得到BN＝BD＝，于是得到结论；
（3）如图3中，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN＝∠QBN＝30°，∠QBQ′＝60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【完整解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．
∵△ABC是等边三角形，AE＝EC，BD＝CD＝3，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，
在Rt△BDH中，∵BD＝3，∠DBH＝30°，
∴DH＝BD＝．

（2）如图2中，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD＝BD′，
∵∠ABC＝60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN＝BD＝，
∵∠PBN＝30°，
∴＝，
∴PB＝；
（3）如图3中，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN＝∠QBN＝30°，∠QBQ′＝60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′＝90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′＝＝．
∴QN+NP+PD的最小值＝．