八年级数学上册试题 期末复习题--- 轴对称中的最短路径问题--人教版（含答案）

这是一份八年级数学上册试题 期末复习题--- 轴对称中的最短路径问题--人教版（含答案），共30页。

一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥EF（桥EF与河的两岸l1，l2垂直），使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE+EF+FQ最小．则下列图中满足条件的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
3．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在点（ ）
A．AB．BC．CD．D
4．如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,S△ABC=14,AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．9C．12D．14
5．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=5，点P是射线CD上一动点，点F是△ABC边AB上一动点，CD⊥CB，垂足为点C，当PE+PF的值最小时，BF=6，则AF的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
6．如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P,Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A．10B．12.8C．12D．9.6
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点N在边BC上，且BN=6，点M，P分别是边AB，AC上的动点，当PM+PN最小时，BM=5，则AB长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC=60°，∠BAC=70°，若点P，Q分别是线段AD，AB上的动点，则BP+PQ的最小值与线段（ ）的长度相等．
A．BDB．ADC．ABD．AC
10．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）
A．75°B．90°C．95°D．105°
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则AP+BP的最小值是 ．
12．如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=8，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 ．

13．如图，∠AOB=25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN的值最小时，β−α的大小=_______（度）．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若∠A=α，∠CPD=β，当△PCD周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是 ．
15．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，P为AD上一动点，若AD=7，E为AC边上一点，则PC+PE的最小值为 ．
16．在△ABC中，∠CAB=80°，AB=2，AC=3，点E是边AB的中点，∠CAB的角平分线交BC于点D．作直线AD，在直线AD上有一点P，连结PC、PE，则PC−PE的最大值是 ．
17．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）如图，△ABC的坐标分别是A(0,−2)、B(2,−5)、C(5,−3)．

(1)如图1，画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)如图2，在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−3,4，B−4,1，C−1,3．
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形A1B1C1；
(2)在（1）的条件下，点D2a−1,b+1为△ABC边上一点，请直接写出点D的对称点D1的坐标为______（用含a，b的式子表示）；
(3)在x轴上找一点P，使得△PBC周长最小（不写作法，保留作图痕迹）．
21．（本题8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，请根据图形解答下列问题．
(1)写出A，B，C三点的坐标；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(3)在x轴上找一点P，使得．PA+PB最小．
22．（本题8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝13∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
(1)直接写出图中除△ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝12PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当△DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
23．（本题8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
(1)若∠ABC=65°，则∠NMA的度数是___________度；
(2)若AB=9cm．△MBC的周长是16cm，
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
24．（本题8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,1，B4,2，C2,3．
(1)请在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并求出它的面积；
(2)若点B2−4,2与点B关于某条直线成轴对称，请画出这条直线并写出C点关于这条直线的对称点C2的坐标；
(3)请在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．（不写做法，保留痕迹）
25．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点．
(1)若P为BC上的一点，连接AP，DP，使得AP+DP有最小值．请作出点P（不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，请求出AP+DP的最小值．
26．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA−AD向终点D运动．
(1)点P在CA上运动的过程中，当CP 时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）
(2)点P在折线CA−AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；
(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度 （直接写出答案）．
参考答案
一．选择题
1．A
解：∵l1∥l2，
∴先把l2和点P向上平移，使l2与l1重合，点P平移到P′，再连接P′Q交l1于点F，
再反方向平移回原来位置即可，
故选：A．
2．C
解：作N关于l的对称点E，连接ME，交l于点C，
∴NE的垂直平分线为l，
∴CN=CE，
∴PM+PN=PM+PE≥ME，
即P与C重合，
故选：C．
3．C
解：作出点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，M′N与直线l的交点即为使PM+PN最短的点P；
通过观察图形，可知该交点为点C．
故选：C．
4．B
解：连接AD，AM．
∵AB=AC，点D是BC边的中点，BC=4，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=2，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=14，
解得AD=7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵AD≤AM+MD，当点A、M、D共线时取等号，
∴AD的长为CM+DM的最小值，
∴△CDM的周长最小值为CM+DM+CD=AD+12BC=7+12×4=9．
故选：B．
5．B
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B=60°，∠BFG=90°，
∴∠G=30°，
∵BF=6，
∴BG=2BF=12，
∵BE=5，
∴EG=7，
∴CE=CG=12EG=72，
∴AB=AC=BC=CE+BE=72+5=172，
∴AF=AB−BF=172−6=2.5
故选：B
6．D
解：如图，过点B作BH⊥AC于点H．
∵AB=AC,AD平分∠BAC，
∴AB,AC关于AD对称，
作点N关于AD的对称点N′，连接MN′，
∵BM+NM=BM+MN′≥BH，
∴BM+MN的最小值为BH的长．
∵AB=AC=10,AD平分∠BAC，
∴AD⊥CB,BD=CD=6，
∴AD=AB2−BD2=102−62=8，
∵S△ABC=12BC•AD=12AC⋅BH，
∴BH=12×810=9.6．
故选：D．
7．D
解：如图所示，作点N关于AC的对称点N′，作N′M⊥AB于M，交AC于P，，此时PN+PM最小，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，AB=2BC，
∵∠BMN'=90°，
∴∠BN′M=30°，
∵BM=5，
∴BN'=2BM=10，
∵BN=6，
∴CN=CN′=2，
∴BC=8，
∴AB=2BC=16，
故选：D．
8．C
解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴12·AB·CD= 12·BC·AC，
∴CD= BC·ACAB = 125 =2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
9．B
解：在DC上取点F，使得DF=BD，过F作FQ⊥AB于Q，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BF，
∴BP=PF，AB=AF，
∴BP+PQ=PF+PQ≥QF，即BP+PQ的最小值为QF的长，
当QF⊥AB时，QF最小，过F作FQ⊥AB于Q，
∵∠ABC=60°，AB=AF，
∴△ABF为等边三角形，
∵AD⊥BC于D点，FQ⊥AB于Q，
∴QF=AD，
故选：B．
10．C
解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，
∵AC=BC，
∴CH=AC，
∵∠HCB=90°，AD⊥BC，
∴AD//CH，
∵∠ACB=50°，
∴∠ACH=∠CAE=40°，
∴△CFH≌△AEC，
∴FH=CE，
∴FH+BF=CE+BF最小，
此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．
故选：C．
二．填空题
11．8
解：如图，连接BE，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴PA+PB=PA+PC=AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为8．
所以PA+PB的最小值为8．
故答案为：8．
12．92
解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，
∵ S△OMN=12MN⋅OH=12，且MN=8，
∴OH=3，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，
∴ △OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP2，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=3，
∴ △OP1P2的面积的最小值为12×32=92，
故答案为：92．
13．50
解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时MP+PQ+QN最小，即MP+PQ+QN=M′N′，
∴∠OPM=∠OPM′=QPN，∠OQP=∠AQN=∠AQN′，
∵∠MPQ=α，∠PQN=β，
∴∠QPN=12180°−α，∠OQP=12180°−β，
∵∠QPN=∠AOB+∠OQP，∠AOB=25°,
∴12180°−α=25°+12180°−β，
∴β−α=50°，
故答案为：50．
14．α=β
解：如图，连接AP．
∵MN垂直平分AC，
∴PA=PC，∠PAC=∠PCA，
∴PC+PD=PA+PD，
当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．
∴△PCD周长最小值=PC+PD+CD=AD+CD．
∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAC=2∠CAD，
∵∠CPD=∠PAC+∠PCA=2∠CAD，
∴∠BAC=∠CPD，
即α=β．
故答案为：α=β．
15．7
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴点C关于AD的对称点为点B，
∴连接BE，BP，则BP=CP，如图所示，
∴PC+PE=PB+PE≥BE，当BE⊥AC时，BE的值最小，则PC+PE的值最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BE=AD=7，
∴PC+PE的最小值为7，
故答案为：7 ．
16．2
解：∵点E是边AB的中点，
∴AE=12AB=1，
在AC上取点F，使得AF=AE=1，
∵∠CAB的角平分线交BC于点D，
∴∠FAP=∠EAP，
∵AP=AP，
∴△APF≌△APESAS，
∴PF=PE，
∴PC−PE=PC−PF≤CF=AC−AF=3−1=2，
故答案为：2．
17．7
解：作点E关于射线CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB于F，交射线CD于P，连接PE，如图，则E′P=EP，
∴EP+FP=E′P+FP=E′F，此时EP+FP的值最小，则BF=5，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
在Rt△BFE′中，∠E′=90°−∠B=30°，
∴BE′=2BF=10，
∵BE=4，CE=CE′，
∴2CE+4=10，
∴CE=3，
∴AB=BC=3+4=7，
故答案为：7．
18．15°
解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当AP+BP的值最小时，∠CBP=15°，
故答案为：15°．
三．解答题
19．（1）解：△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，如图所示，

∴△A1B1C1即为所求图形．
（2）解：如图所示，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′与x轴的交点即为点P，此时PA+PC的值最小，

∴P(2,0)，
∴P点的坐标为(2,0)．
20．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）解：∵在（1）的条件下，点D2a−1,b+1为△ABC边上一点，
∴点D的对称点D1的坐标为−2a+1,b+1；
（3）解：如图，取点B关于x轴的对称点E，连接CE交x轴于点P，连接BP
此时△PBC的周长为BC+PC+BP=BC+PC+PE，此时为最小值，
则点P即为所求．
21．（1）由图可得，点A3,4，点B1,2，点C5,1．
（2）如图，△A1B1C1即为所求
（3）如图，取点B关于x轴的对称点B′，连接AB′'交x轴于点P，连接BP，
此时PA+PB=PA+PB′=AB′，为最小值，
则点P即为所求．
22．（1）解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB =12 (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝13∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE -∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除△ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴BD=12BH=12PC ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=12∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
23．（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∵∠ABC=65°，
∴∠C=65°，
∴∠A=50°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴∠A=∠ABM=50°，
∴∠MBC=∠ABC−∠ABM=15°，
∴∠AMB=∠MBC+∠C=80°，
∴∠NMA=12∠AMB=40°．
（2）①∵AB=AC=9，
△MBC的周长是16cm，
即BM+MC+BC=16
∵AM=BM，
∴AM+MC+BC=16，
∴AC+BC=16，
∴BC=7．
∴BC的长度为7cm．
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．
理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值=AC+BC=9+7=16cm．
24．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
S△A1B1C1=2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3=2.5；
（2）解：在图中，若B2(−4,2)与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线x=0，
即为y轴，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为(−2,3)．
（3）解：如图，点P即为所求．
25．（1）解：作出点P如图所示：
（2）解：由作图可知，AC=A′C，即点C为AA′的中点，
又∵∠ACB=90°，
∴PC垂直平分AA′，
∴AP=A′P，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A′AB=90°−∠ABC=90°−30°=60°，
连接A′B，
又∵点B在AA′的垂直平分线上，
∴AB=A′B，
∴△A′AB是等边三角形，
∵D为AB的中点，
∴A′D=BC=6，
∴AP+DP=A′P+DP=A′D=6，
即AP+DP的最小值为6．
26．（1）解：∵CD平分∠ACB，
∴点D到AC和BC的距离相等，
∴当CP=BC=6时，△CPD与△CBD的面积相等，
故答案为：6；
（2）解：如图1，
，
当CP=CD时，（点P在P1处），
∴CPD=∠CDP=180°−∠ACD2=180°−45°2=67.5°，
当DP=CD时，（点P在P2，P3处），
∴∠CP1D=∠ACD=45°，
∵∠CDB=180°−∠B−∠BCD=180°−60°−45°=75°，
∴∠CDP3=∠DCP3=12∠CDB=37.5°，
当PD=PC时，（点P在P4处时），
∵∠P4DC=∠ACD=45°，
∴∠CP4D=90°，
综上所述：∠CPD=67.5°或45°或37.5°或90°；
（3）解：如图2，
，
作点E关于CD对称点F，作FP⊥AC于P，交CD于M，则PM+PE最小，
延长EM交BC于Q，
∵∠CPM=90°，∠ACD=45°，
∴∠FMD=∠PMC=90°−∠ACD=45°，
∴∠EMF=∠FMD=45°，
∴∠PMQ=∠EMF=90°，CP=PM，
∴四边形CQMD是矩形，
∴矩形CQMD是正方形，
∴CQ=CP，
∵∠B=60°，BE=12AB=6，
∴BQ=3，
∴CQ=BC−BQ=3，
∴CP=3，
故答案为：3．