八年级数学上册人教版期末专项复习题 轴对称中的最短路径问题（含答案）

这是一份八年级数学上册人教版期末专项复习题 轴对称中的最短路径问题（含答案），共46页。

一．选择题
1．如图，已知△ABC 中，AB=AC，AD是△ABC的对称轴，交BC于D，E为AC上一定点，F为线段AD上一动点，当（ ）时，EF+CF的值最小．

A．F是AD的中点B．点E、F、B在同一直线上
C．EF⊥CFD．EF∥BC．
2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是8，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．如图，BD是等边△ABC边AC上的高，M，N分别是AB，AC上的两个定点，BM=AN=2cm，AD=4.5cm，若在BD上有一动点H，使MH+NH最短，则MH+NH的最小值为（ ）
A．5cmB．6cmC．8cmD．7cm
4．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的面积为12，BC=4，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则△DMB周长最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
6．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
7．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从A4,0出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为30°，则将军所走的最短总路程为（ ）
A．4B．6C．8D．12
8．如图，在△ABC中，已知AB=AC, AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M, P为直线MN上一点，连结PB, PC，则下列关于△PBC周长的说法正确的是（ ）．
A．点P与点M重合时△PBC的周长最小；
B．点P与点N重合时△PBC的周长最小；
C．点落在MN之间（不包括端点）时△PBC的周长最小；
D．点P落在NM的延长线上时△PBC的周长最小．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC=60°，∠BAC=70°，若点P，Q分别是线段AD，AB上的动点，则BP+PQ的最小值与线段（ ）的长度相等．
A．BDB．ADC．ABD．AC
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
二．填空题
11．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，F是边AC的中点，D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边三角形ADE，连接CD，CE，EF．有下列说法：①BF⊥AC；②∠DEC=∠DCE；③AE=CD；④△ADE周长的最小值为9；⑤当△AFE的周长最小时，∠AFE=60°；⑥∠ACE的大小随着点D的移动而变化．其中正确的是 ．（填序号）
12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，S△ABC=60，D是BC的中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 ．
13．如图，已知：∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△PAB的周长最小时，∠APB= 度．△PAB的周长的最小值是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，△BDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为 ．
15．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=12，BC=13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为 ．
16．在四边形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD,BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，PQ与CP的数量关系： ．
17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，BD=8，E，F分别为边CD和AD的中点，连接CF，点P是CF上一动点，则PE+PD的最小值为 ．
18．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若∠AOB=52°，当△PMN周长最小时，则∠MPN= ．
19．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AD，AB上的动点．若∠BAC=70∘，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为 ．
20．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AD=5，E是AD上的一个动点，以CE为边在其右侧作等边△CEF，连接DF，则CF+DF的最小值是 ．
三．解答题
21．如图，方格纸中每个小方格的边长都是1，点A−4,1、B−3,3、C−1,2．
(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)请直接写出A′、B′、C′的坐标：
A′___________；B′___________；C′ ___________；
在x轴上找出点P，使PA+PC最小，在图中描出满足条件的点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
22．利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点A′，线段A′B与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线APB是最短的．
(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．
(2)如图，已知∠AOB及其内部一点P，试在OA，OB上分别确定点M，N，使PM+PN+MN最小（不需说明理由，作图工具不限）．
23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合．
(1)画线段A′B′，使A′B′与AB关于直线l对称；
(2)在l上找一点C，使得AC+BC最小．
24．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图．直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A. B.C. D.
(2)如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．
25．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3，B1,1，C5,3．
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
(2)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请画图并直接写出点P的坐标．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点．
(1)若P为BC上的一点，连接AP，DP，使得AP+DP有最小值．请作出点P（不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，请求出AP+DP的最小值．
27．笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场．
(1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由．
(2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由．
28．我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足点为C，AC=BC，点P是直线MN的任意一点，求证：PA=PB．
AI
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA=PB．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（2）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC=24，则△ADE的周长为________．
（3）如图③，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若AB=8，△ABC的面积为30，则BP+EP的最小值是________．
29．已知线段AB，点C是平面内一动点，且AB=AC，连接BC，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，AD，AD交BC于点E．

(1)如图1，若∠BAC=60°．
①求∠AEB的度数；
②如图2，作∠CBD的角平分线BF交AD于F，试探究线段AD与2DF+BF之间的数量关系，并说明理由；
若AB=2，当AD最长时，求DE的长．
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA−AD向终点D运动．
(1)点P在CA上运动的过程中，当CP 时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）
(2)点P在折线CA−AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；
(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度 （直接写出答案）．
参考答案
一．选择题
1．B
解：连接BF，BE，

∵AD是△ABC的对称轴，
∴BF=CF，
∴EF+CF=EF+BF≥BE，
∴点E、F、B在同一直线上时，EF+CF的值最小为BE的长，
故选B．
2．C
解：连接AD、AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×2×AD=8，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AM=CM
∵AM+MD≤AD
∴当A、M、D三点共线时，CM+MD值最小，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM周长的最小值=CM+DM+CD=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×2=9．
故选：C．
3．D
解：∵ △ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，
∴ AB=AC=BC=2AD=9cm，BD平分∠ABC，∠C=60°，
∴ CN=AC−AN=7cm，
作点M关于BD的对称点M′，连接M′N，则M′在BC上，M′N与BD的交点为H，
BM'=BM=2cm，MH+NH=M′H+NH=M′N，
∴ CM′=BC−BM′=7cm，
∴ CM′=CN，
又∠C=60°，
∴ △M′NC是等边三角形，
∴ M′N=CN=7cm，
∴ MH+NH的最小值为7cm．
故选：D．
4．B
解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示，
故选B．
5．A
连接AM，
由作图得：EF是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴BM+MD=AM+MD≥AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=2，
∵△ABC的面积为12，BC=4，
∴12AD×BC=12，
∴12AD×4=12，
∴AD=6，
∴△DMB周长最小值为BM+DM+BD=AM+DM+BD=AD+BD=8，
故选：A．
6．C
解：作N关于l的对称点E，连接ME，交l于点C，
∴NE的垂直平分线为l，
∴CN=CE，
∴PM+PN=PM+PE≥ME，
即P与C重合，
故选：C．
7．A
解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接DE,OD,OE，交m、n于B、C，则AB=BD,AC=EC，
∴△BAC的周长AB+BC+AC=BD+BC+CE=DE，
∴此时△BAC的周长最小值为DE的长，
则：OD=OA=OE，
∴∠DOM=∠MOA,∠AON=∠EON，
∴∠DAE=2∠MON=60°，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE=OD=OA=4，
即△BAC的周长最小值为4，
故选：A．
8．A
解：如图：连接AP,BM，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴AP=BP,AM=BM，
∵△PBC的周长为BC+BP+PC=BC+AP+PC，BC为定值，
∴要求△PBC的周长的最小值，只需求得AP+PC的最小值即可，
∵AP+PC≥AC，
∴当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值AC，即点P与点M重合时△PBC的周长最小．
故选A．
9．B
解：在DC上取点F，使得DF=BD，过F作FQ⊥AB于Q，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BF，
∴BP=PF，AB=AF，
∴BP+PQ=PF+PQ≥QF，即BP+PQ的最小值为QF的长，
当QF⊥AB时，QF最小，过F作FQ⊥AB于Q，
∵∠ABC=60°，AB=AF，
∴△ABF为等边三角形，
∵AD⊥BC于D点，FQ⊥AB于Q，
∴QF=AD，
故选：B．
10．C
解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴12·AB·CD= 12·BC·AC，
∴CD= BC·ACAB = 125 =2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
二．填空题
11．①②③④
解：∵△ABC是等边三角形，F是边AC的中点，
∴BF⊥AC．故①正确；
∴BF是线段AC的垂直平分线，即AD=CD．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=ED=AE．
∴AE=ED=CD，即∠DEC=∠DCE．故②③正确；
∵点D在线段BF上，
∴当AD⊥BF，点D与点F重合时，AD的长最小，即此时△ADE的周长最小．
∵等边三角形ABC的边长为6，F 是AC的中点，
∴AC=6，即AD的长的最小值为AF=12AC=3，
此时△ADE的周长最小值为AD+DE+AE=3AD=9．故④正确；
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠DAE=60°．
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
∴△BAD≌△CAESAS．
∴∠ACE=∠ABD．又F是AC的中点，
∴BF平分∠ABC，即∠ACE=∠ABD=12∠ABC=30°．故⑥错误；
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即点E在射线CE(射线CE⊥BC)上运动．
如图，作点A关于直线CE的对称点M，连接ME，MC，MF，MF交直线CE于点 E′，连接AE′，∴AE=ME．
∴△AEF的周长为AF+AE+EF=AF+EM+EF≥AF+MF．
∴当E，F，M三点共线，即点E与点E′重合时，EF+EM最小．此时△AEF的周长最小．
∵点A与点M关于直线CE对称，
∴MC=AC，∠MCE=∠ACE=30°，即∠ACM=60°．
∴△ACM是等边三角形．又F是边AC的中点，∴AF⊥MF，即∠AFE′=90°，故⑤错误．
综上，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
12．12
解：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=10，S△ABC=60，
∴12×10×AD=60，
∴AD=12，
如图，连接BP，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD，
即AD的长度等于PB+PD的最小值，
∴PB+PD的最小值为12，
故答案为：12．
13． 120 a
解：分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；连接P′P″，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△PAB的周长最小．
连接OP′，OP″，
由轴对称的性质得，OP′=OP″=OP=a，
∵∠MON=30°，
∴∠P′OP″=2∠MON=60°，
∴△P′OP″是等边三角形，
∴P′P″=OP′=a，∠OP′A=∠OP″B=60°，
∵∠OPA=∠OP′A=60°，∠OPB=∠OP″B=60°，
∴∠APB=∠OPA+∠OPB=120°，
∵△PAB的周长=AP+AB+BP=AP′+AB+BP″≥P′P″，
∴△PAB的周长的最小值=P′P″=a．
故答案为：120；a．
14．7
解：连接AQ,AP，过点D作DH⊥BC于H．
∵△DBC面积为21，BC=6，
∴12⋅BC⋅DH=21，
∴DH=7，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，
∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，
根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=7，
∴PB+PQ的最小值为7，
故答案为：7．
15．6013
解：如图，连接AP，
∵EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，
∴AP=BP，
∴BP+PH=AP+PH≥AH，
∴当A,P,H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，
∵PH⊥BC，A,P,H三点共线，
∴此时AH是Rt△ABC的高，
∴AH=AB⋅ACBC=5×1213=6013
∴BP+PH的最小值为6013．
故答案为：6013．
16．CP=2PQ
解：如图，作点Q关于BD的对称点H，连接PH，则PH=PQ，
∴CP+PQ=CP+PH≥CH，
∴当C,P,H三点共线，且CH⊥AB时，此时CP+PQ=CH为最短，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，CH⊥AB，
∴∠HBP=∠PBC=12∠ABC=30°，∠BCP=90°−∠ABC=30°，
∴∠PBC=∠BCP，
∴PB=PC，
∵在Rt△BPH中，∠HBP=30°，
∴PB=2PH，
∵PB=PC，PH=PQ，
∴CP=2PQ．
故答案为：CP=2PQ．
17．4
解：如图，连接PA、AE，连接AC交BD于点O，
∵菱形ABCD，BD=8，∠BAD=120°，
∴OD=12BD=4，OC=12AC，AD=CD，∠CAD=12∠BAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
又∵E，F分别为边CD和AD的中点，
∴CE=12CD=12AC=OC，CF垂直平分AD，
∵点P是CF上一动点，
∴PA=PD，
在△ACE和△DCO中，
AC=DC∠ACE=∠DCOCE=OC，
∴△ACE≌△DCOSAS，
∴AE=OD=4，
∵PE+PD=PE+PA≥AE=4，
∴当A,P,E三点共线时，PE+PD有最小值4．
故答案为：4．
18．76°
解：∵P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，
∴MP=MP1，NP=NP2，
∵△PMN的周长=MP+MN+NP=MP1+MN+NP2，
∴当P1,M,N,P2共线时，△PMN的周长最小；
如图，连接OP、OP1、OP2，
由轴对称的性质得，OP=OP1=OP2，∠POM=∠P1OM，∠PON=∠P2ON，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP
=2∠POM+2∠PON
=2∠AOB
=2×52°
=104°，
∴∠OP1M=∠OP2N=180°−∠P1OP22=180°−104°2=38°，
∵MP=MP1，OP=OP1，OM=OM，
∴△OMP≌△OMP1SSS，
∴∠OPM=∠OP1M=38°，
同理可得：∠OPN=∠OP2N=38°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=38°+38°=76°
故答案为：76°．
19．125∘
解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′、B′E，
∵∠BAD=∠B′AD=35∘，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB=∠AGB′=90∘，
∴△ABG≌△AB′GASA，
∴BG=B′G，AB=AB′，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE=B′E，
∴EF+BE=EF+B′E，
∴当点E在点E′处时，EF+BE最小，
△ABE′≌△AB′E′SSS，
∴∠AE'B=∠AE'B'，
∵B′F′⊥AB，
∴∠AF′B′=90∘，
∵∠AE'B'=∠BAD+∠AF'B'=35∘+90∘=125∘，
∴∠AE'B=125∘，
即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为125∘.
故答案为：125∘.
20．5
解：如图，连接BF并延长，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∠CAD=12∠BAC=30°，
∵△CEF为等边三角形，
∴CF=CE，∠FCE=60°，
∴∠FCE=∠ACB=60°，
∴∠BCF=∠ACE=60°−∠BCE，
在△BCF和△ACE中，
BC=AC∠BCF=∠ACECF=CE，
∴△BCF≌△ACESAS，
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴点F在射线BF上运动，
作C关于射线BF的对称点C′，连接BC′，C′F，则CF=C′F，BC′=BC，∠C′BF=∠CBF=30°，
∴CF+DF=C′F+DF≥DC′，当D、F、C′共线时取等号，
此时CF+DF取最小值，最小值为DC′的长，
∵∠CBC′=2∠CBF=60°，BC′=BC，
∴△CBC′是等边三角形，
∴CC′=BC=AC，∠C′CD=∠ACD=60°，又CD=CD，
∴△C′CD≌△ACDSAS，
∴DC′=AD=5，
∴CF+DF的最小值为5，
故答案为：5．
三．解答题）
21．（1）解：如图，△A′B′C′即为所求，
（2）解：由坐标系得：A′、B′、C′的坐标分别为4,1，3,3，1,2，
故答案为：4,1，3,3，1,2；
（3）解：如图点P即为所求，P−3,0．
22．（1）解：如图，
（2）解：如图，
23．（1）解：如图，线段A′B′即为所求．
（2）解：如图，连接A′B交直线l于点C，连接AC，
此时AC+BC=A′C+BC=A′B，为最小值，
则点C即为所求．
24．（1）解：∵作点M关于直线a的对称点M′，连接MM′，故直线a是MM′的垂直平分线，
∴MO=M′O，
∴MO+ON=M′O+ON，
∴铺设管道最短的是选项B，
故选：B．
（2）解：作点A关于直线OM和ON的对称点B和C，连接AB和AC，连接BC，分别交直线OM和ON于点D和E，连接DA和EA，如图：
根据对称的性质可得直线OM和ON分别是AB和AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=EC
∴AE+DE+AD=BD+DE+CE=BC ，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为AD,ED,EA．
25．（1）解：如图：△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图：作B点关于x轴对称的对称点B2，连接B2C，与x轴交点即为P，点P的坐标为2，0．
26．（1）解：作出点P如图所示：
（2）解：由作图可知，AC=A′C，即点C为AA′的中点，
又∵∠ACB=90°，
∴PC垂直平分AA′，
∴AP=A′P，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A′AB=90°−∠ABC=90°−30°=60°，
连接A′B，
又∵点B在AA′的垂直平分线上，
∴AB=A′B，
∴△A′AB是等边三角形，
∵D为AB的中点，
∴A′D=BC=6，
∴AP+DP=A′P+DP=A′D=6，
即AP+DP的最小值为6．
27．（1）解：如图，连接AB交河岸l于点M，点M即为所求；
理由：两点之间线段最短，所以点M为所选的位置。
答：当点M选在线段AB与河岸l的交点时，此时运输总路程最短。
（2）如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点M,点M即为所求。
理由：∵点A'与点A关于直线l对称，
∴ MA=MA'.
∴MA+MB=MA'+MB.
即：MA+MB=A'B.
由两点之间线段最短，
∴点M为所选择的位置。
答：M选在线段A'B与河岸l的交点时，运输总路程最短。
28．（1）证明：在△PAC和△PBC中
PC=PC∠PCA=∠PCB=90°AC=BC，
∴△PAC≌△PBC，
∴PA=PB；
（2）解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD=BD，AE=CE
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
∵BC=24，
∴AD+DE+AE=24，即△ADE的周长为24．
故答案为：24；
（3）解：在AC上取点F，使AF=AE，过点B作BH⊥AC于H，
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB=ACAD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
在△APE和△APF中
AE=AF∠EAP=∠FAPAP=AP，
∴△APE≌△APF，
∴PE=PF，
∴BP+PE=BP+PF≥BH，
当B、P、F三点共线，且BH⊥AC时，BP+EP最小，最小值为BH，
∵AB=AC=8，△ABC的面积为30，
∴12×8BH=30，
∴BH=152，
∴BP+EP的最小值为152．
故答案为：152．
29．（1）解：①∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠ABC=60°，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=150°，
由题意，得BD=BC，
∴BD=AB，
∴ ∠DAB=∠ADB=180°−150°2=15°，
∴∠AEB=180°−∠ABC−∠DAB=105°，
②AD=BF+2DF；理由如下：
在线段AF上截取AG=DF，如图2，
∵AB=BC=BD，
∴∠GAB=∠FDB，
∴△ABG≌△DBF(SAS)，
∴BG=BF，
∵BF是∠CBD的角平分线，
∴ ∠CBF=12∠CBD=45°，
∴∠GFB=∠AEB−∠CBF=60°，
∴∠FGB=∠GFB=∠GBF=60°，
∴GF=BF，
∴AD=AF+FD=GF+AG+FD=BF+2DF；
（2）解：如图3，过B作BH⊥AB，且使BH=AB，所以点H是定点，AH的长度是定长．
∴∠CBA+∠CBH=90°，
∴∠DBH+∠CBH=∠CBD=90°，
∴∠CBA=∠DBH，
在△CAB和△DHB中，
AB=BH∠CBA=∠DBHBC=BD，
∴△CAB≌△DHB(SAS)，
∴HD=AC=AB=2，
而AD≤AH+HD，
∴当AD最长时，A，H，D三点在同一条直线上，如图4，
∴∠HEB=90°−∠HDB，∠HBE=90°−∠HBD，
∵HB=AB=HD，
∴∠HBD=∠HDB，
∴∠HBE=∠HEB，
∴HE=HB=AB=2，
∴DE=HE+HD=4．
30．（1）解：∵CD平分∠ACB，
∴点D到AC和BC的距离相等，
∴当CP=BC=6时，△CPD与△CBD的面积相等，
故答案为：6；
（2）解：如图1，
，
当CP=CD时，（点P在P1处），
∴CPD=∠CDP=180°−∠ACD2=180°−45°2=67.5°，
当DP=CD时，（点P在P2，P3处），
∴∠CP1D=∠ACD=45°，
∵∠CDB=180°−∠B−∠BCD=180°−60°−45°=75°，
∴∠CDP3=∠DCP3=12∠CDB=37.5°，
当PD=PC时，（点P在P4处时），
∵∠P4DC=∠ACD=45°，
∴∠CP4D=90°，
综上所述：∠CPD=67.5°或45°或37.5°或90°；
（3）解：如图2，
，
作点E关于CD对称点F，作FP⊥AC于P，交CD于M，则PM+PE最小，
延长EM交BC于Q，
∵∠CPM=90°，∠ACD=45°，
∴∠FMD=∠PMC=90°−∠ACD=45°，
∴∠EMF=∠FMD=45°，
∴∠PMQ=∠EMF=90°，CP=PM，
∴四边形CQMD是矩形，
∴矩形CQMD是正方形，
∴CQ=CP，
∵∠B=60°，BE=12AB=6，
∴BQ=3，
∴CQ=BC−BQ=3，
∴CP=3，
故答案为：3．