2025-2026学年湖南省邵阳市海谊中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省邵阳市海谊中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=1,1,0，b=(-1,0,2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k=( )
A. -1B. 2C. 75D. -15
2.已知向量a=2,1,1,b=9,x,y,a与5a-b共线，则a-b=( )
A. 7 62B. 6 3C. 9 62D. 8 3
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=a,AC=b,AA1=c.若点P满足AP=12a+13b+kc，且点P在平面A1BC内，则k=( )
A. 13B. 16C. 23D. 1
4.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件A，“出现的点数大于4”为事件B，则下述正确的是( )
A. A与B对立B. A与B互斥
C. A与B相互独立D. PA+B=PA+PB
5.已知事件A和事件B相互独立，B为事件B的对立事件．若P(A)=P(B)=0.4，则P(A+B)=( )
A. 0.24B. 0.56C. 0.76D. 0.84
6.已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为185，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为x，方差为s2，则( )
A. x=4,s2=6B. x=4,s2=8C. x=6,s2=4D. x=8,s2=4
7.已知一组数据为8、4、7、6、5、3、9、10，则这组数据的25%分位数是( )
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
二、多选题
8.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且A1,0,2，B-1,1,1，C3,1,2，则下列结论正确的是( )
A. AB的中点坐标为0,1,2
B. AB+AC⋅BC=-1
C. AB⊥AC
D. 若OP=12OA+13OB+16OC，则P,A,B,C四点共面
9.下列说法中不正确的是( )
A. 若事件A,B,C两两独立，则PABC=PAPBPC
B. 从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A=“至少有2个红球”，事件B=“都是白球”，则事件A与事件B是对立事件
C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23.5
D. 若x1,x2,⋯,x10的平均数为2，方差为1，x11,x12,⋯,x20的平均数为6，方差为2，则x1,x2,⋯,x20的方差为5
10.(多选)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是( )
A. A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B. A1∪A2∪A3不一定是必然事件
C. PA2∪A3=0.8
D. PA1∪A2≤0.5
三、填空题
11.已知空间向量a=1,-1,2，b=1,-2,1，则向量b在向量a上的投影向量是 ．
12.已知向量a=-m,1,3平行于向量b=2,n,1，则m+n= ．
13.样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为a，中位数为b，则ab= ．
14.已知数据x1,x2,...,xn的方差为3，则数据2x1-1,2x2-1,...,2xn-1的方差为
15.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是13，25，14，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为
四、解答题
16.“数学好玩”是著名数学家陈省身赠送给数学爱好者们的一句话．某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题．从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40的整数)分成六段：40,50,50,60，，90,100，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的上四分位数；
(2)已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．
方差公式：s2=mm+n×sx2+x-z2+nm+n×sy2+y-z2
17.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是23，乙答对每道题目的概率都是12，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
(1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率．
(2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/​/BC，∠BAD=90 ∘，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M为PC的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求DM的长；
(3)求csAC,PD．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.C
8.BD
9.ABD
10.BD
11.56,-56,53
12.-173 或-523
13.103或313
14.12
15.710或0.7
16.解：(1)因为频率之和为1，
则0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010×10=1，解得a=0.030；
成绩落在40,80内的频率为0.005+0.010+0.020+0.030×10=0.65，
落在40,90内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75%分位数为m，则m∈(80,90)，
因为0.65+m-80×0.025=0.75，解得m=84，
所以样本成绩的第75%分位数为84；
综上，a=0.030；上四分位数为84．
(2)由图可知，成绩在50,60的人数为100×0.1=10，
成绩在60,70的人数为100×0.2=20，
故这两组成绩的总平均数z=10×54+20×6610+20=62，
总方差s2=1030×7+54-622+2030×4+66-622=37．
综上，总平均数z=62；总方差s2=37．

17.解：(1)设A1=“甲答对3道题目”，A2= “甲答对2道题目”
B1= “乙答对3道题目”，B2= “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，
P(A1)=23×23×23=827， P(A2)=3×23×23×13=49，
P(B1)=12×12×12=18， P(B2)=3(12)3=38，
设A为“甲、乙两人共答对5道题目”，
则A=(A1B2)∪(A2B1)，因为A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=827×38+49×18=16，
所以甲、乙两人共答对5道题目的概率16．
(2)C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，C与D相互独立，
P(C)=1-P(C)=1-13×13×13=2627，
P(D)=1-P(D)=1-12×12×12=78
E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则E=(CD)∪(CD)，因为CD与CD互斥，
C与D，C与D分别相互独立，
P(E)=P(CD∪CD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)
=2627×18+127×78=1172
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率1172

18.解：(1)法1，结合题图，PB=AB-AP,DM=12DP+DC=12AP-AD+AB-12AD=12AP+12AB-34AD，
由题AB⋅AD=AP⋅AB=AP⋅AD=0，AB=AP，
则PB⋅DM=AB-AP⋅12AP+12AB-34AD=12AB2-12AP2=0，
所以PB⊥DM，即PB⊥DM；
法2，以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,2，B2,0,0，D(0,2,0)，A0,0,0，C2,1,0．
因为M为PC的中点，所以M1,12,1，所以PB=2,0,-2，DM=1,-32,1，
又PB⋅DM=2×1+0×-32+-2×1=0，所以PB⊥DM，即PB⊥DM；
(2)法1，DM=AM-AD=12AP+12AC-AD，AC=AB+BC=AB+12AD，则DM=12AP+12AB-34AD，从而
DM2=12AP+12AB-34AD2=14AP2+14AB2+916AD2+12AP⋅AB-34AP⋅AD-34AB⋅AD=14×4+14×4+916×4+0-0-0=2+94=174，则DM= 172，即DM的长为 172；
法2，由(1)，DM=1,-32,1，则DM= 12+-322+12= 172，所以DM的长为 172
(3)法1，由于PD=AD-AP，AC=AB+12AD，
因此PD|2=AD-AP|2=AD|2-2AD⋅AP+AP|2=4-0+4=8，故PD=2 2．
AC2=AB+12AD2=AB2+2AB⋅12AD+14AD2=4+0+1=5，故AC= 5．
AC⋅PD=AB+12AD⋅AD-AP=12AD2=2，
故csAC,PD=2 5⋅2 2= 1010；
法2，AC=2,1,0，PD=0,2,-2，
所以AC⋅PD=2×0+1×2+0×-2=2，AC= 5，PD=2 2，
则csAC,PD=AC⋅PDACPD=2 5×2 2= 1010．