第2部分-预习-第06讲 实际问题与一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第06讲 实际问题与一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共17页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，阅读与理解等内容，欢迎下载使用。

知识点1：列一元二次方程解应用题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
题型1：增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
题型2：面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
题型3：数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
题型4：利润（销售）问题
利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数

题型6：传播问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
考点1：增长率问题
【例1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？
【变式1-1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）为了让学生养成热爱读书的习惯，陕西某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2021年该学校用于购买图书的费用为3000元，2023年用于购买图书的费用是3630元，求该校用于买书的资金的年平均增长率.
【变式1-2】（2024·河南南阳·模拟预测）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有用户2万户，计划到2022年底，全市用户数累计达到8.72万户．
(1)求全市用户数的年平均增长率．
(2)按照这个增长率，预计2023年底全市用户数累计达到多少万户？
【变式1-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求该种植户每年投资的增长率；
(2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材．
考点2：面积问题
【例2】如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？
【变式2-1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为．
(1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；
(2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？
【变式2-2】．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．

(1)养鸡场面积__________（用含x的代数式表示）；
(2)当鸡场面积为时，求边的长；
(3)若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
【变式2-3】．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域．

(1)求正方形区域的边长；
(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积，求小道的宽度．
考点3：数字问题
【例3】已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【变式3-1】（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【变式3-2】（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
【变式3-3】．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．
考点4：利润（销售）问题
【例4】（23-24九年级上·云南楚雄·期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？
【变式4-1】．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
【变式4-2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）第届亚运会于月日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？
【变式4-3】（24-25九年级上·全国·课后作业）某水果店以每千克2元的价格购进某种水果，然后以每千克4元的价格出售，每天可销售100千克．经市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克．为了保证每天至少售出260千克该种水果，水果店店主决定降价销售．
(1)若将该种水果每千克的售价降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
(2)若销售这种水果要想每天盈利300元，则应将每千克的售价降低多少元？
考点5：传播问题
【例5】（23-24九年级上·天津·阶段练习）某校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都进行一场比赛），共要比赛45场．求有多少个队参加比赛？
【变式5-1】．（23-24九年级上·广东清远·期末）某教育局组织教职工男子篮球比赛．
(1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛?
(2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．
【变式5-2】．（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？
【变式5-3】．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
考点6：行程问题
【例6】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，）
【变式6-1】.（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【变式6-2】（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
【变式6-3】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
考点7：动态几何问题
【例7】（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在直角中，，，，现有动点从点出发，沿射线运动，速度为，动点从点A出发，沿线段运动，速度为，到点时停止运动，它们同时出发，设运动时间为秒.

(1)当时，求的面积.
(2)多少秒时，的面积为？
【变式7-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．
（1）当秒时，线段__．
（2）当__秒时，的面积是24．
【变式7-2】．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q同时从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．
(1)运动几秒时，点P，Q相距？
(2)的面积能等于吗？为什么？
【变式7-3】．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为．
(1)当点落到边上时，求的值；
(2)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值．
考点8：规律探究问题
【例8】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则( )．

A．9B．10C．11D．12
【变式8-1】．（23-24九年级上·湖南常德·期中）观察思考
结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个．
【变式8-2】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图是用棋子摆成的图案

根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
(1)第4个图形中有__________颗棋子，第个图形中有__________颗棋子；
(2)请求出第几个图形中棋子是274颗．
【变式8-3】（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．
为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．
(1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛；
(2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种；
(3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
易错点1：建立方程模型时，分类讨论不全面导致错误
【例9】.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后．
（1）求出△PBQ的面积；
（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值；
（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．
A
B
C
D
P
Q
易错点2： 忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求
【例10】如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.
一、单选题
1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25B．36C．25或36D．或
2．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是( )
A．B．或C．D．或
二、填空题
7．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），另三边用80m长的篱笆围一个面积为的矩形场地，则矩形的长是 ，宽是 ．
8．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程 ．
9．（23-24九年级上·江西上饶·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ．
三、解答题
10．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58的价格出售． 经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．
(1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只． 当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？
11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）等腰直角中，，动点从点出发，沿向移动．过点作平行于的直线与分别交于．当的面积等于时，求的长．
12．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.会分析实际问题中蕴含的数量关系,找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题,并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答
2.经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用
3.体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识