2025-2026学年山东省济南市舜耕中学九年级上学期月考数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省济南市舜耕中学九年级上学期月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．9，，8B．9，8，C．9，，D．9，，
2．下列命题中是真命题的选项是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．三条边都相等的四边形是菱形
3．根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
4．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形
C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．233
7．如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（ ）

A．B．C．3D．
8．如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．8D．9
9．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知是关于x的方程的两个实数根，已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边长，则周长为（ ）
A．13B．17C．29D．17或29
二、填空题
11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
12．若是方程的两根，则 ．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为 ．
14．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是 ．
15．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边以的速度运动，点从点出发，沿边以的速度运动，点和点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，当点和出发 时，四边形成为矩形．
16．如图，在菱形中，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
17．用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）；
(2)（用公式法）；
(3)（用因式分解法）．
18．在中，，点是边上的一个动点，连接．作，，连接．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当是的中点时，四边形的形状是______；请说明理由．
19．阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）；
；
．
代数式的最小值为－2；
（2）；
；
；
代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为______；
（2）已知，，请比较与的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）薛城区某校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
20．解决问题：薛城公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某种头盔的进价为30元个，经市场预测，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
21．如图，AD是的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交和于点、，连接、．
(1)试判定四边形的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求EF的长；
(3)满足______时，四边形是正方形？
22．如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足．
(1)______．
(2)①求证：四边形是正方形．②若，求的面积．
(3)如图（2），在中，，其高，，则的长度是______．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
《山东省济南市舜耕中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷》参考答案
1．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为．根据一元二次方程的一般形式进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式为，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，，．
故选：C．
2．C
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．
【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故答案选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
3．C
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
4．D
【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形．
【详解】解：如图，

根据题意得，是的中点，
∴，
∴，
同理：，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此结合二次项系数不为0得到，，据此求解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得，
的取值范围为且
当且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．B
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，求得，则可求得答案．
【详解】解：过点B作于点E，于点F，
根据题意得：，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，即
∴，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】设，则，由折叠性质可知，，，所以，，在中，根据，即可求解．
【详解】解：设，则，由折叠性质可知，，，
在中，，，
，
，
在中，根据，
即,
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．
8．B
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD═AC×BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．若等腰的腰长为7，把代入方程得到关于m的一元二次方程，解之，代入原方程求出和的值，根据三角形的三边关系，判断三边是否能组成三角形；若等腰底长为7，根据判别式为0得到关于m的方程，求出和的值，判断三边是否能组成三角形，找出符合题意的三边，求和即可．
【详解】解：若等腰的腰长为7，
把代入方程得：
，
解得：，
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，3（能构成三角形，符合题意），
若，则原方程为：，
解得：，
三边为7，7，15（不能构成三角形，不合题意，舍去），
若等腰底长为7，
则，
解得：，
原方程为：，
解得：，
三边为3，3，7（不合题意，舍去），
综上可知：三边为7，7，3，周长为：，
即这个三角形的周长为17．
故选：B．
11．
【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，且，
解得或，
解得：，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据，是一元二次方程的两根时，，进行解答即可．
【详解】解：若是方程的两根，
则．
故答案为：．
13．
【分析】先利用根与系数关系，得到关于的一元二次方程求解，再根据根的判别式，求得的范围，从而可确定的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
解得：，，
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：，
∴不符合条件，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解法，解一元一次不等式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
14．1
【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得四边形BEOF面积＝S△AOB，即可求解．
【详解】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15．4
【分析】本题考查了矩形的性质和解一元一次方程，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．根据矩形的性质得出，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：由题意得：，
四边形是矩形，，
，
要使四边形是矩形，必须，即，
解得；，
当点和出发时，四边形成为矩形．
故答案为：4．
16．/
【分析】连接，作于点H，由菱形的性质得，则，由，求得，再证明四边形是矩形，则，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，连接，作于点H，
∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
解得，
∵于点F，于点G，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
移项，得：，
系数化为1，得：，
配方，得：，
，
，
∴，；
（2）
原方程可变形为，
，，，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（3）
原方程可变形为：，
整理得：，
解得，．
18．(1)见详解
(2)四边形是菱形，理由见详解
【分析】本题主要考查了四边形综合，涉及了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据已知条件，得出四边形是平行四边形，再由，即可得是矩形，根据矩形性质即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上中线的性质得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得出结论．
【详解】（1）解： ，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，是的中点，
∴，
又四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形．
19．（1）；（2），理由见解析；（3）当长方形的长和宽均为时，长方形生物园的最大面积为
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，偶次方，完全平方公式的几何背景等，熟练掌握并灵活运用完全平方公式及不等式是解题的关键．
（1）根据，得到，即可解答；
（2）运用求差法，求出即可解答；
（3）设，长方形的面积为S，从而，即当时，S有最大值16，即可解答．
进而可以判断得解．
【详解】解：（1），
∵，
．
代数式的最小值为．
故答案为：．
（2），理由如下：
∵；，
∴
，
∵，
．
．
（3）设，长方形的面积为S，
∴，
，
∵，
∴，
∴当时，S有最大值16，
即，时，．
答：当长方形的长和宽均为时，长方形生物园的最大面积为．
20．该品牌头盔的实际售价应定为50元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键．
设该品牌头盔的实际售价为x元，则此时销量为个，根据利润单个利润数量列出方程求解即可．
【详解】解：设该品牌头盔的实际售价为x元，
依题意，得：，
∴
，
解得，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
21．(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)6
(3)
【分析】本题考查了菱形的判定和正方形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
（1）由，，证，推出，得出平行四边形，根据得出菱形；
（2）由（1）知，，，在中，利用勾股定理求得，进而可求解；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得时，四边形是正方形．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴相互平分，
∴四边形是平行四边形
又，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：由（1）知相互平分，
∴，，，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：当中时，四边形是正方形；
理由如下：
∵，平行四边形为菱形，
∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
22．(1)45
(2)①见解析；②15
(3)
【分析】（1）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（2）①过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可得出结论；
②证明得，同理得，设，得，又由可得，
得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解；
（3）如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，同理（2）即可求解；
【详解】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：45；
（2）①证明：过点作于，
平分，，，
，
同理可得，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
②，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
设，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
；
（3）解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由折叠可得，，，，，，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：2.8．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
D
D
B
B
B
D
B