2025-2026学年山东省济南市第十二中学九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省济南市第十二中学九年级上学期10月月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知（a，b均不为0），则下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ）
A．12B．6C．18D．16
3．如图，已知和的相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A．3：4B．4：3
C．：2D．2：
5．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
6．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．双曲线的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不存在
8．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（ ）
A．5B．8C．D．
10．如图，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于点，过点作于点，连接，若的面积是，则的值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
二、填空题
11．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为 ．
12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ．
13．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．
14．如图，在中，，，，是边的中点．在上找一点，使得，求 ．
15．如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）．
（1）当 s时，的面积是；
（2）当 s时，以、，为顶点的三角形与相似．
三、解答题
16．已知，求的值．
17．如图，在中，为边上一点，，，，求证：．
18．如图，，且，求证：．

19．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：．
20．如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
21．如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点．
(1)证明：．
(2)若，求线段的长．
22．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为，
(1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为
(2)分别写出、的对应点、的坐标．
(3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________．
23．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
24．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
25．（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N．
【问题探究】
①求证：；
【问题解决】
②当时，若，求正方形的边长；
【实际应用】
（2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由．
《山东省济南市第十二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质可得，，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴四个选项中，只有C选项中的式子正确，
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键．
由得，根据可得，然后代入数据计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，则，解得：．
故选：A．
3．B
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，进而可得答案．
【详解】∵和的相似比是，的面积是1，
∴，
∵的面积是1，
∴S△ABC=4，
∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3，
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题关键．
4．C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2.
故选C
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
5．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
【详解】解：在中，，，，
在B、C、D选项中的三角形都没有的角，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和，
因为，
所以A选项中的三角形与相似．
故选：A．
6．D
【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断．
【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误；
B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误；
C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误；
D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．
7．A
【分析】本题考查反比例函数的图象，当比例系数为正数时，反比例函数的图象位于第一、三象限；当比例系数为负数时，反比例函数的图象位于第二、四象限．由于双曲线的图象经过第一、三象限，则，求解即可．
【详解】解：∵双曲线的图象经过第一、三象限，
∴，
解得．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大”是解题的关键．
根据反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：，
，
图象在二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大，
，
∴，，
∴．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．D
【分析】本题可先利用反比例函数的性质得出相关三角形的面积关系，再结合中点的性质，通过三角形面积的比例关系求出的值．
本题主要考查了反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．
【详解】解：设点坐标为．
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴
∵点在反比例函数上，
∴，，
∵，
∴，
∵点在反比例函数上，，
∴，
∵，且，
∴，
解得．
故选：D．
11．12
【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可．
【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：12．
12．/
【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴，
故答案为：．
13．11
【分析】根据两个图案相似，列出比例式即可求解．
【详解】解：因为是两片形状相同的枫叶图案，
所以两个枫叶相似；
故；
解得，；
故答案为：11．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题关键是根据相似图形对应线段成比例，列出比例式求解．
14．
【分析】本题考查了作图-相似变换，勾股定理，线段中点的定义，过D作于E，根据勾股定理得到，根据线段中点的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图所示，过D作于E，
∴，
∵在中，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15． 2或4 3或
【分析】（1）根据题意，，结合动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为，则，，，根据面积公式解答即可．
（2）分和两种情况解答．
本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，相似三角形，解题的关键是掌握这些知识点．
【详解】（1）解：根据题意，，
∵动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为，
∴，，，
故，
整理，得，
解得或，
故或,
故答案为：2或4．
（2）当时，
∴，
∴，
解得；
当时，
∴，
∴，
解得；
故答案为：3或．
16．
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可设，则，据此把代入所求的式子中计算求解即可．
【详解】解：设，
∴，
∴
．
17．答案见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似．
【详解】证明：∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
18．见解析
【分析】由已知条件得到：，．则由“两边及夹角法”证得结论．
【详解】证明： ，
．
又，
，即，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，
先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．
（1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明；
（2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，， ，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据矩形得到，利用同角的余角相等证明，即可证明相似；
（2）根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形
，
。
，
，
；
（2）解：四边形是矩形
由（1）知：
即：
．
22．(1)见解析
(2))，)
(3)
【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键．
（1）根据位似变换的性质，即可画出位似；
（2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标.
（3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）根据坐标系可得)，)；
（3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求；
设直线的解析式为，代入，，
得，，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：．
23．(1)，
(2)或
(3)点坐标为
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
24．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为；
(2)16
(3)点E的坐标为．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积；
（3）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，点E的坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
所以点E的坐标为．
25．（1）①见解析，②；（2）点是线段的中点，理由见解析
【分析】（1）①根据正方形和平行线的性质得，由折叠得：，推出，即可得证；②根据相似三角形的性质得，继而得到，，得到，得，，根据勾股定理得，再代入，可得结论；
（2）证明得，，根据，推出，，继而得到，再根据，可得，即可得证．
【详解】（1）①证明：四边形是正方形，
，
由题意易得，四边形为矩形，
，
∴由折叠得：，
，
．
②解：由①知，
，
，
四边形为矩形，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
，
，
，
正方形的边长为．
（2）证明：点P是线段的中点，理由如下：
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点．
【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
A
D
A
B
D
D