2025-2026学年北京市东城区第一六六中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市东城区第一六六中学九年级上学期10月月考数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
3．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．9
5．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，交于点切于点，点在上． 若，则为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ）
A．都不在B．只有C．只有D．
8．如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
10．已知是关于的方程的一个根，则 ．
11．若把代数式化为的形式，其中，为常数，则＋＝ ．
12．某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是 （精确到)．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则请写出一个正整数的值为 ．
14．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝ ．
15．将含角的直角三角板，直尺和量角器如图摆放（无重叠部分），其中三角板斜边与直尺边无缝隙，三角板的顶点落在直尺点处，为量角器与直尺的接触点，为量角器与三角板的接触点．若在直尺上，点处刻度为，点处刻度为，则该量角器的半径长为 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：
①当时，；
②当时，有最大值；
③将该函数图象向右平移个单位长度后得到的函数图象经过原点；
④点是该函数图象上一点，则符合要求的点有三个．
其中正确的结论有 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知：如图，内接于，是的直径，．求的度数．
19．如图，四边形内接于为的直径，．求证：．
20．2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设．
(1)用含x的代数式表示边的长；
(2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长．
21．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
22．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，EM经过圆心O交于点E，，，求的半径．

23．如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是的对应点）．
(1)在图中画出，点的坐标为___________；
(2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出点在旋转过程中所走过的路径长和点的纵坐标的取值范围．
24．一个不透明的袋中装有个红球、个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；
活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．
请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
25．已知：关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
26．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．
(1)求证：是的切线
(2)连接，若，，求的长．
27．如图，在中，，点D在上，过点D作于点E，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)交于点G，用等式表示线段和的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“转称点”．

(1)如图，已知点，点是点关于点的“转称点”．
①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标；
②的长度是否与有关?若无关，求的长；若有关，说明理由；
(2)已知点是边长为2的等边三角形（点按逆时针方向排列），点是点关于点的“转称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长．
设计次数
20
40
100
200
400
1000
射中9环以上次数
15
33
78
158
321
801
《北京市第一六六中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可；
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．C
【分析】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数，解题关键是熟练掌握由一元二次方程的解求参数．
将方程的根代入原方程即可求出的值．
【详解】解：依题意得：，
．
故选：．
3．B
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴；
故选B．
4．C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5．A
【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理．
【详解】

如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为.
故选：A
【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，由切线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，最后由圆周角定理即可得出答案，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：切于点，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
取中点，连接，则，
以点为圆心，长为半径画圆，如图所示：
由图可知，点都在内，
∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内，
故选：．
8．B
【分析】连接、、、、、，再根据题意分别求该八边形的各边长和内角，点到该八边形各顶点的距离、点到该八边形各边的距离，逐个判断，即可解题．
【详解】解：连接、、、、、，
将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
同理可得，，
结论①正确；
，
结论②错误；
在和中，
，
，
，，
，
和中，
，
，
，
，
，
，
，
结论③错误；
点到该八边形各边的距离就是中心到正方形各边的距离，
点到该八边形各边的距离都相等，即结论④正确．
综上所述，正确结论的序号①④．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、旋转性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．
9．
【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标的特点，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特点．
根据关于原点对称的点的坐标，横纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决．
【详解】解：是关于的方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
11．-3
【分析】由完全平法公式结构可把化为，即可知道和的值，计算即可得出答案．
【详解】解：，
，，
．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，完全平方公式：，熟记公式的结构是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)．
故答案为：．
13．1（答案不唯一）
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，进而求出的范围，即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴正整数的值可以为；
故答案为：1（答案不唯一）．
14．2
【分析】由AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，可得在直角△OCE中, 可得从而可得
【详解】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.
在直角△OCE中,
则
故答案为2.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，理解图示，确定切线，判定，求出，是解题的重点，掌握切线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，

∵为量角器与三角板的接触点，
∴是半圆的切线，即，
∴，
∵为量角器与直尺的接触点，
∴是半圆的切线，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点处刻度为，点处刻度为，
∴，
∵三角板的顶点落在直尺点处，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴该量角器的半径长为，
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、平移的性质，解决本题的关键是利用数形结合的思想判断各项是否正确．
【详解】解：由函数图象可知，当和时，，
故错误；
由函数图象可知，当时，有最大值，
故错误；
将该函数图象向右平移个单位长度后点到达，
函数图象过原点，
故正确；
设，，
则有，
画函数的图象，如下图所示，
由函数图象可知：符合要求的点只有一个，
故错误；
综上所述，正确的结论有．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查公式法，因式分解法求一元二次方程的解，掌握求根公式“”，因式分解法求一元二次方程的根的方法是解题的关键．
（1）根据题意，确定，，由求根公式即可求解；
（2）先移项，再提取公因式，即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
移项得，，
提取公因式得，，
整理得，，
∴或，
解得，．
18．
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，则由同弧所对的圆周角相等可得．
【详解】解；如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．见解析
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角定理，熟练掌握平行线的性质和圆心角定理是解题的关键，连接，根据平行线的性质可得，,再由,得到,从而得到,即可得到,进而得到．
【详解】解：连接，如图：
∵
∴，,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）依题意，设，则，即可作答．
（2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可.
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏，
∴长为，
即
（2）解：由题意可知：
解得：，
∵当时，，，不合题意，舍去．
当时，，符合题意，
答：鸡场的长为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等边三角形的性质知，由旋转的性质可知，从而得，再证，即可得答案；
（2）由知为等边三角形，即，继而由，即可得答案．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，
线段绕点A顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）如下图，连接，
，
为等边三角形，
，
又，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，解题的关键由旋转的性质证出．
22．
【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键．连接，由垂径定理得出，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
M是中弦的中点，EM经过圆心O，
，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，
，
解得．
故的半径为．

23．(1)图见解析，；
(2)点在旋转过程中所走过的路径长为；点的纵坐标的取值范围为．
【分析】（1）根据旋转的性质作图，然后作答即可；
（2）由勾股定理求出，再由旋转性质可知点在旋转过程中所走过的路径长即为以点为圆心，为半径的圆的周长的，及点旋转后对应点在线段上，且不与点、重合，即可解答．
【详解】（1）解：由旋转作图，如图，即为所求：
点的坐标为，
故答案为：．
（2）解：依题得：，，，
，
点在旋转过程中所走过的路径长即为以点为圆心，为半径的圆的周长的，
即点在旋转过程中所走过的路径长为；
∵，则设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点，当时，，
∴，
旋转后对应点在线段上，且不与点、重合，
其中点的纵坐标为，点的纵坐标为，
点的纵坐标在点的纵坐标和点的纵坐标之间，
．
综上，点在旋转过程中所走过的路径长为；点的纵坐标的取值范围为．
【点睛】本题考查的知识点是旋转作图及旋转的性质、勾股定理、一次函数解析式的计算、弧长计算公式，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
24．
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．解决本题的关键是利用画树状图法分别求出和，再根据求出的结果进行比较．
【详解】解：，
活动、画树状图，如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次都是红球的有种情况，
两次都是红球的概率为；
活动、画树状图，如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次都是红球的有种情况，
两次都是红球的概率为；
，
．
25．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】（1）根据根的判别式及题中所给的即可得证；
（2）利用公式法解一元二次方程得出两个根，由方程的两个实数根都是整数即可得到整数的值．
【详解】（1）解：依题得：，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
，
方程的两个实数根都是整数，
是整数，
又，
或．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的根的判别式、公式法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握如何利用一元二次方程的根的判别式得出方程根的情况．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由， ，，，得，，则，求得，则，所以．
【详解】（1）证明：连接，
则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
， ，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．(1)作图见解析
(2)证明过程见解析
(3)，证明过程见解析
【分析】（1）根据旋转的定义作图即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定与性质可得，，再由旋转的性质可得，，利用等量代换可得，从而可得，可证，即可得出结论；
（3）由（2）可得，，可得，利用勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意补全图形如下，
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
由旋转的性质可得，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；

（3）解：如图，由（2）可得，，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，即，
在中，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键．
28．(1)①；②的长度与无关，，理由见解析
(2)，或
【分析】（1）①根据“转称点”定义得到，点、关于点对称，点、关于直线对称，根据点，得到点，；②的长度与t值无关，根据，，得到；
（2）连接，过点A作于点D，设点B关于点C对称点为，根据等边三角形定义得到，，根据三线合一得到，，根据含30°的直角三角形性质得到，根据“转称点”定义得到，垂直平分，推出，得到当点N与点重合时，长最大，此时，、、三线重合，根据，得到，根据勾股定理得到， 推出，或．
【详解】（1）①∵点是点关于点的“转称点”，
∴点、关于点对称，点、关于直线对称，
∵点，，
∴点，
∴，即，在平面直角坐标系中描出和Q；

②的长度与无关，理由：
由①知，，，
∴轴，，
∴的长与t的值无关；
（2）连接，过点A作于点D，设点B关于点C对称点为，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵点是点关于点的“转称点”，
∴，点、N关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，

当点N与点重合时，长最大，
此时，、、三线重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，或．

【点睛】本题主要考查了定义新概念，等边三角形，含的直角三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握关于成中心对称的两点及关于坐标轴对称的两点的坐标特征，轴对称性质，等边三角形性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
B
C
A
B
D
B