2025-2026学年北京市东城区二中教育集团九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年北京市东城区二中教育集团九年级上学期10月月考数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹B．冰裂纹
C．盘长纹D．风车纹
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
4．观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ）
A．和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
7．二次函数图象上部分点的坐标满足如表：
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是关于的一元二次方程的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是 ．
10．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ．
11．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于x的方程的解为 ．
12．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
13．抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是 ．
14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则 ．
15．已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ．
16．某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求：
（1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成；
（2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成；
（3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰；
（4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要 分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要 名学生共同参与．
三、解答题
17．解方程：．
18．解方程：．
19．如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）．
(1)画出旋转后的；
(2)直接写出点的坐标为______．
(3)连接，直接写出的度数为______．
20．已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根：
(2)若方程的一个根比另一个根大3，求的值．
21．已知二次函数．
(1)顶点坐标为________；
(2)若抛物线的顶点在轴上，则________，此时当时，的取值范围是________．
(3)若，点和点在抛物线上，则________．（填“”“”或“”）
22．造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
23．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围；
(3)若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集．
24．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．
(1)求证：；
(2)若，，，请直接写出的度数．
25．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离，点到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如表：
(1)根据上述数据，隧道顶面到路面的最大距离为________米，若满足的函数关系式为，请直接写出函数关系式：________；
(2)若如图（2）的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于米，且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道能标注的限高应为多少米（精确到米）？
26．抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
(2)点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F．
①若，直接写出的长；
②若，求线段长度的最大值．
27．中，，，点D是边中点，点E是边上动点（不与点B、点C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．
(1)如图1，若点F刚好落在边上，连接，求证：；
(2)在图2中判断、、的数量关系，并证明；
(3)若，，直接写出的最小值为________．
28．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点．
(1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．
0
1
2
3
4
5
13
23
…
－3
－2
0
1
3
5
…
…
7
0
7
…
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
所需时间/分钟
18
15
16
6
7
5
8
3
2
3
（米）
0
2
4
6
8
（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
《北京二中教育集团2025~2026学年上学期九年级数学阶段练习（一）数学试卷（10月考）》参考答案
1．D
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：．
3．D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则解答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到抛物线．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
∴的一个解x的取值范围为，
故选C．
5．D
【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】A．抛物线开口向下，
，故本选项错误；
B．抛物线的对称轴在轴左侧，
，
，故本选项错误；
C．抛物线与y轴的交点在正半轴上，
，故本选项错误；
D．抛物线与x轴的两个交点，
，故本选项正确．
故选：D．
6．B
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据当和时，函数值相等，求出对称轴，可判断②；得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，可判断①；得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，可判断③；根据和时，，可判定④，进而可得出答案．
【详解】解：∵当和时，
∴函数图象抛物线对称轴为直线，故②错误；
∴为最低点，抛物线的开口向上，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
又∵抛物线的开口向上，
∴当时，，故③正确；
∵和时，，
∴是方程，即方程的一个根，故④正确；
综上所述，正确的是①③④，共3个，
故选：C．
8．A
【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内红酒的最大深度是的最大值，即可求解．
【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，
∵，，
∴，
∴，故当最大时，最大；
∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．
∴轴，，
则，，，
∴，，
∴，则，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，则，
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，最大值为，
此时，的最大值为，
∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，
则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，建立合适的平面直角坐标系，得到倾斜后酒杯内红酒的最大深度就是的最大值是解答的关键．
9．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点关于原点过对称的点的坐标是．
故答案为：
10．
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义．
将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可．
【详解】解：将代入得，
，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
故答案为：．
11．，
【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．
观察函数图象可直接写出方程的一个解，二次函数对称轴为直线，根据函数图象与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值，进而可得方程的解．
【详解】解：由二次函数图象可得，
抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线，
则抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，关于x的方程的两个解为：，．
故答案为：，．
12．
【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程．
【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．
第二个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
第三个月新建了500个充电桩，
于是有，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．
13．
【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点，则是解题的关键．根据抛物线与x轴有交点，则，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可．
【详解】解：由旋转性质得，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
∴，
故答案为：．
16． 21 4
【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据工序要求得出加工顺序是解题的关键．
将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可．
【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下
图：
故答案为：21，4．
17．，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
或
∴，．
18．，
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解此题的关键．
利用公式法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：
，，，
，
，
，．
19．(1)见解析
(2)
(3)45
【分析】本题考查坐标与旋转、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出即可；
（2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可；
（3）根据旋转的性质，结合等边对等角进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图可知：；
（3）解：由旋转可知：，
∴．
故答案为：45．
20．(1)证明见解析
(2)或
【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题．
（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；
（2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解．
【详解】（1）证明：，
因为，所以，
所以方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得，
整理，得或，
∵方程的一个根比另一个根大3，∴或，
∴或．
21．(1)
(2)1，
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，注意运用数形结合的思想解决问题．
（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点坐标；
（2）由抛物线的顶点在轴上得到顶点纵坐标为0，进而求得a值，结合二次函数的增减性可求解y值取值范围；
（3）根据二次函数的对称轴、开口方向及其性质可比较大小．
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：若抛物线的顶点在轴上，则，
∴，
此时，则该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y最小，最小值为0；
当时，，
当时，，
∴y的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：由于，，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，，
∵点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为，又，
∴．
故答案为：．
22．
【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．
设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以．
【详解】解：设彩色纸带的宽为，
根据题意，得，
解方程，得，（不合题意，舍去)．
答：彩色纸带的宽为．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质并结合图像求解是解题关键．
（1）把点，分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可．
（2）根据二次函数的性质得出不等式求解即可；
（3）结合函数图像即可得出结果．
【详解】（1）解：把点，分别代入，得
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）由（1）得抛物线的对称轴为：，开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
解得：；
（3）由函数图像得，当或时，一次函数图像在二次函数图像得下方，
∴的解集为或．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明．
（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可；
（2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论．
【详解】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
25．(1)6，
(2)隧道需标注的限高应为米
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，求出时y的值，再结合到隧道顶面的距离不小于0.35米，进一步计算即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴，
解得
∴．
故答案为：6，；
（2）解：当时，，
所以隧道需标注的限高应为（米），
答：隧道需标注的限高应为米．
26．(1),
(2)①；②5
【分析】本题考查了二次函数与图象的综合知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，解题时注意运用数形结合的思想解决问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求得直线的表达式为，求出当时的点E、F坐标，进而可求解；
②由题意，，，分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，由得，，
∴；
（2）解：①，
∴顶点C的坐标为，
设直线的表达式为，
将点B、C的坐标代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
由题意，，则，，
∴；
②由题意，，，
当时，
，
∵，
∴当时，最大，最大值为4；
当时，
，
∵，
∴当时，最大，最大值为；
∵，
∴线段长度的最大值为5．
27．(1)见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转可得：，，根据三角形内角和定理得出，进而得出，，根据线段垂直平分线的性质，即可得证；
（2）过点作，，则，证明，进而证明得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论；
（3）连接，证明得出，进而可得，根据垂线段最短以及含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由旋转可得：，，
，
∵，点刚好落在边上，
∴
∴
又∵点是边中点，
垂直平分，
，
（2）解：，理由如下，
如图所示，过点作，，则
∴，
又∵点是边中点，
∴
∴
∴，
∵是上的中线，
∴，
∴
∵，则
∴
又∵旋转，则，，
∴，，
在和中，
∴
∴
在中，，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
由旋转可得：，，
∵是上的中线，
∴，
∴
∵，则
∴
∴
∴
∴时，取得最小值，
在中，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
28．(1)和
(2)
(3)
【分析】本题考查旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．
（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论；
（3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
轴，
如图所示，点，，绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”，
故答案为：和；
（2）解： ，
在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”，
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
当在上时，m值最大，即，解得：，
当在上时，m值最小，即，解得：，
∴；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为，
如图，绕点O逆时针旋转得到，其中，
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过时，n的值最大，
把代入得，
解得：，
n的最大值为，
当过时，n的值最小，
把代入得，
解得：，
n的最小值为．
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
D
C
D
B
C
A