北京市第一七一中学2025-2026学年九年级上学期数学月考（10月）试题

这是一份北京市第一七一中学2025-2026学年九年级上学期数学月考（10月）试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
3．若关于x的一元二次方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．−16B．−4C．4D．16
4．用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．(x＋2)2＝5B．(x＋2)2＝2C．(x－2)2＝5D．(x－2)2＝2
5．若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．π2B．πC．π6D．π3
6．如图，圆心角∠AOB=110°，则∠ACB的度数是（ ）
A．70°B．55°C．125°D．130°
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（ ）
A．−4B．−2C．0D．2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，过点−1,0．有以下结论：①b>0；②4ac0，④2a=b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．方程x2−x=0的解是 ．
10．若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有一个根为−1，则m的值为 ．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=25°，则∠ABD= °．
12．已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：
则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）．
13．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为 cm．
14．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′= 度．
15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为 ．
16．如图，点M坐标为0,2，点A坐标为2,0，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为 ．
三、解答题
17．解方程：x2−4x+3=0．
18．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．
19．已知：如图1，点A，B在⊙O上，点P在⊙O外．
求作：⊙O的切线PC，且切点C在劣弧AB上．
作法：如图2，
①连接OP；
②作线段OP的垂直平分线l，交OP于点M；
③以点M为圆心，OM的长为半径画圆，交劣弧AB于点C；
④画直线PC．直线PC即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OC．
∵OP是⊙M的直径，
∴∠PCO=________°（__________）（填推理的依据）．
∴OC⊥PC．
∵OC是⊙O的半径，
∴直线PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．
20．已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
21．已知二次函数y=x2+4x+3．
(1)二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左边），则A，B两点的坐标为________；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
(3)当−3≤x≤0时，y的取值范围是________．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为4,−1．
(1)画出与△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1，点A1的坐标是______；
(2)画出△ABC绕着点A逆时针方向旋转90°得到的△AB2C2．
(3)在（2）的条件下，求点B走过的弧长．
23．有一块长28cm、宽20cm的矩形纸片，在它的四角各截去一个相同的小正方形，然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，若使长方体盒子的底面积为180cm2，求截去的小正方形的边长．
24．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为10，求线段AB的长.
25．如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+ca2.3；
（B）﹣0.04×182+18b>2.2；
（C）−0.04×182+18b13．
其中正确的不等式是 ．（填上所有正确的选项）
26．已知抛物线y=x2−4mx+4m2−1．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若点P2m+1,y1，MxB,y1均在抛物线上，求线段PM的长度；
(3)若这条抛物线经过点P2m+1,y1，Q2m−t,y2，且y10，从而可判断①正确，④错误；根据图象可知二次函数与x轴有两个交点，进而可判断②正确，由图像可知当x=2时，y>0，即可判断③．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a0，
∵对称轴是直线x=1，
∴x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
故①正确，④错误；
∵图象可知二次函数与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac0，
∴4a+2b+c>0，故③正确，
综上可知，正确结论的个数是3个．
故选：C．
9．x1=0，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，会用合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
先把方程左边因式分解，再分别使各一次因式等于0．
【详解】解：xx-1=0，
x=0或x-1=0，
x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
10．-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意，x1+x2=-ba=3,x1x2=ca=m，由此即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有一个根为x1=−1，设另一个根为x2，
∴x1+x2=-ba=3，即-1+x2=3，
∴x2=4，
∴x1x2=-1×4=m，
∴m=-4，
故答案为：-4 ．
11．65
【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了圆周角定理，正确理解定理，作出辅助线是关键．根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】∵ AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又 ∵∠DAB=∠BCD=25°，
∴∠ABD=90°−25°=65°．
故答案为：65．
12．最小值
【知识点】y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据表格判断出因变量随着自变量的变化情况即可判断；
【详解】解：由表格可知：y随x的增大，先减小后增大，
∴该二次函数图像的开口向上，
∴该二次函数有最小值；
故答案为：最小值 ．
13．154
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠CDE,
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=BEDE,
∵AB的高为15cm,BE为32cm,DE为8cm,
∴15CD=328，
∴CD=154cm，
故答案为：154.
14．20
【知识点】根据旋转的性质求解
【详解】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=40°．
在△ABB′中，∠ABB′=12（180°﹣∠BAB′）=12（180°﹣40°）=70°．
∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．
15．14
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CF=CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵BE+CE=BC=5，
∴BD+CF=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理是解题的关键．
16．2,2
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、垂径定理的推论
【分析】本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点O是AB的中点，推出OD是△ABC的中位线，得出当BC最大时，线段OD取得最大，此时BC为⊙M的直径；即可求解；
【详解】解：∵AB为⊙M的弦，且MO⊥AB，
∴点O是AB的中点，
∵点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=12BC，即当BC最大时，线段OD取得最大，此时BC为⊙M的直径；
如图所示：
∵点M坐标为0,2，点A坐标为2,0，OM垂直平分AB，
∴B−2,0；
∵点M是BC的中点，
∴C2,4；
∵点D是AC的中点，A2,0，C2,4；
∴D2,2，
故答案为：2,2
17．x1=1,x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，由x2−4x+3=0得：x−1x−3=0，即可求解；
【详解】解：由x2−4x+3=0得：x−1x−3=0，
解得：x1=1,x2=3；
18．13.
【知识点】利用垂径定理求值
【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM=DM=2，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【详解】如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM=MD．
∵CD=10，
∴CM=5．
设OC=x，则OM=25-x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25-x）2=x2．
解得 x=13．
∴⊙O的半径为13．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
19．(1)图见解析
(2)90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】作垂线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、过圆外一点作圆的切线(尺规作图)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆周角定理、圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键．
（1）根据题中的作法步骤：根据线段垂直平分线和圆的画法即可得；
（2）先根据圆周角定理可得∠PCO=90°，再根据圆的切线的判定定理即可得证．
【详解】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形如下：
．
（2）证明：连接OC．
∵OP是⊙M的直径，
∴∠PCO=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∴OC⊥PC．
∵OC是⊙O的半径，
∴直线PC是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20．（1）见解析；（2）a0，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2−2ax+a2−1=0，
∴x=−b±b2−4ac2a=2a±−2a2−4×−12
∴x1=a−1，x2=a+1．
∵ 方程的两个根均为负数，
∴ a−1