广东省和美联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（学生版）

这是一份广东省和美联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
2. 已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（ ）
A. 2，3B. 2，6C. 4，3D. 4，6
3. 设为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A. 甲：平均数为，中位数为B. 乙：中位数为，众数为
C. 丙：平均数为，方差为D. 丁：中位数为，方差为
7. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A B.
C. D.
8. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下说法中，不正确的为（ ）
A. “”是“共线”的充要条件；
B. 若，则
C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
D.
10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ ）
A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万
B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和
C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线
D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线
11. 在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第2行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________.
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
13. 若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是________
14. 如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.中山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），...，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的众数，样本成绩的第75百分位数和平均数.
17. 如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是．
（1）若，求线段长度；
（2）求直线与所成角的余弦值．
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角正弦值.
19. 统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表：
（1）依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差；
（2）分别求出甲、乙两同学数学成绩方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）在一般情况下，证明：．
甲
①
②
③
④
⑤
数学成绩
1
2
3
4
5
物理成绩
1
3
3
3
5
2
5
6
7
10
乙
①
②
③
④
⑤
数学成绩
3
3
4
5
5
物理成绩
1
3
3
4
4
4
6
7
9
9