山东省聊城市冠县汇文学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省聊城市冠县汇文学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，由，则，再由角平分线的定义可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2. 图中，则的度数是（ ）

A. B. C. D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出，所以，然后求出的度数，再根据和的内角和即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，灵活运用所学知识是关键．
3. 如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴判定的理由是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．
4. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，其依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—基本作图，全等三角形的判定．由作法易得，，，根据可得到三角形全等．
【详解】解：由作法易得，，，依据可判定，
故选：B．
6. 如图，点D，E分别在线段上，与相交于点N．若，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7. 对于分式，下列说法错误的是（ ）
A. 当时，分式的值为0B. 当时，分式无意义
C. 时，分式的值为D. 当时，分式的值为正数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件，根据分式有意义的条件：分母不为0，分式职位0的条件：分子等于0，分母不等于0，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，当时，分式无意义，故A不正确，符合题意；
B、当时，分式无意义，故B正确，不符合题意；
C、时，，故C正确，不符合题意；
D、当时，，∴分式的值为正数，故D正确，不符合题意；
故选：A．
8. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法“”即可证明．
【详解】∵点分别是的中点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴．
故选：C
9. 如图，已知，且，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形性质，，再由线段和差即可求解．
【详解】∵，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及其应用．
10. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A. SSSB. SASC. SSAD. ASA
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
二、填空题
11. 如图，，，则，理由是______．
【答案】同角的余角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，垂直的定义，根据垂直的定义得到，，则根据同角的余角相等可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴（同角的余角相等），
故答案为：同角的余角相等．
12. 三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，，
∴，
故答案为：9．
13. 如图所示，，，，，，则________．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是根据题意，则，根据对顶角相等，求出，再根据，判定三角形，即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，将长方形纸片折叠成如图的形状，，则______．

【答案】##103度
【解析】
【分析】由折叠的性质可得：，即可求出，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题关键．
三、解答题
16. 如图，，，，是同一条直线上的点，，，，那么与相等吗？为什么？

【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先根据平行线的性质证明，再证明，即可利用证明，从而证明．
【详解】解：，理由如下：
∵，
，
，
∴
，
在和中，
，
，
．
17. 如图，中，是的中点，于，于点，且．那么平分吗？为什么？
【答案】平分，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是求证．先证明，从而得到，再利用角平分线的判定定理即可得证．
【详解】解：平分，理由是：
，，
，
是的中点，
，
在和中，，
，
，
又，，
点在的角平分线上，
平分．
18. 如图，点B，C分别在的两边上，点D是内一点，，，垂足分别为E，F，且，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接AD，先利用条件证明≌，即可证明
【详解】连接AD，
，，，
，
在和中
，
≌，，
．
【点睛】本题考查了证明三角形全等的方法，熟练掌握即可解题.
19. 如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
20. 如图，，，是上一点．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】欲证，注意到，，不妨先探求与，与的关系．
详解】证明：连接．
，
．
又点．在线段的垂直平分线上，
就是线段的垂直平分线．
．
．
．
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在边角相等问题的证明与计算中，通常运用等腰三角形的性质，进行边角转化．有垂直平分线时，利用垂直平分线的性质找到等腰三角形，进行边角转化．有平行线时，往往也利用平行线的性质把相等的角转换到同一三角形中，即找到等腰三角形，有利于相关问题的解决．
21. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
（1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可．
（2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，．
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，，
．
22. 如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：
（1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系．
（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，