山东省聊城市冠县实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省聊城市冠县实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中不一定是相似图形的是( )
A. 两个等边三角形B. 两个等腰直角三角形
C. 两个正方形D. 两个长方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似来分析解答本题.
【详解】等边三角形的三个内角都是，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故B选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D选项.
【点睛】本题主要考查相似三角形的定义和判定定理以及正方形相似和长方形相似的判定方法.
2. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）．
A. B. C. 50D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
【详解】解：，
，
即，
，
的长是．
故选：D．
3. 如图，点D，E分别在的边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似”即可判断．
【详解】解：①添加，又，
∴，成立；
②添加，且，
∴，成立；
③添加，但不一定与相等，故与不一定相似；
④添加且，
∴，成立．
综上，使与一定相似的有①②④，
故选：B．
4. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵，
和分别是和的高，，，
其相似比为，
与的面积的比为．
故选：A．
5. 以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点C的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：；
不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：，
故选：D．
6. 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【详解】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
7. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
【详解】解：在中，，，
∴米，
中，，，
∴，
∴（米），
∴（米）
故选：D．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案．
【详解】解：如图，设小正方形边长为1，，
则，
∵，
∴
故选：C．
9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
10. 如图，正方形ABCD的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接AE，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴．
在△DAP与△ABQ中，，
∴（SAS），
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴ ，
∴，
∴=，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
在△CQF与△BPE中，，
∴（AAS），
∴，
∴．
在△ADF与△DCE中，，
∴，
∴，
即，故③正确；
∵，
∴．
∵，
∴==，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义的综合运用，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（共18分）
11. 在中，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键．
由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数．
【详解】解：，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
12. 如图， 中，ACB=90°, AC=4, BC=3, 则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
13. 如图，在中，点在线段上，，那么___________．

【答案】
【解析】
【分析】证明，得出，即可得出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14. 如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以为直角三角形，那么的长度是______ ．
【答案】或
【解析】
【分析】根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则，即可求出的长，得到的长．
【详解】解：∵，，，
∴
∴是直角三角形，，
沿折叠和重合，
，
设，则，
当时，，
，，
，
解得：，
则，
当时，，即，
解得：，
则．
故CF或，
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
15. 如图，已知斜坡的坡度，坡长米，在斜坡上有一棵银杏树，小李在处测得树顶的仰角为，测得水平距离米．若，点，，，在同一平面上，于点，则银杏树的高度为_________米．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查的知识点是解直角三角形的应用．根据坡度为和勾股定理求出和，从而得出，再由直角三角形和求出，继而求出银杏树的高度．
【详解】解：在中，．
设，，
米，
．
（负值舍去）．
（米），（米）．
（米），
（米）．
，
．
即，
（米）．
（米）
故答案为：
16. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，则第个正方形的面积为______．（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出、、、的长，根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意，正方形的边长为1，则其面积为1；
∴，正方形的面积为；
∴，正方形的面积为；
∴，正方形的面积为，
……
∴，正方形的面积为．
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．
（1）代入特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则计算即可求解；
（1）代入特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则计算即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【解析】
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
．
在与中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
由（1）知，
，
．
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
19. 有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求加工成的正方形零件的边长．
【答案】mm
【解析】
【分析】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长．
【详解】解：∵正方形边长在上，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
∴加工成的正方形零件的边长为．
20. 如图．已知中，．

（1）求的长；
（2）设边上的高线，交边于点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据，设，则，勾股定理得出，根据，则，，进而求得，，在中，勾股定理即可求得；
（2）根据等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，

∵
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
【小问2详解】
解：如图所示，

∵是边上的高，是边上的高，
∴
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的高的定义，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
21. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A、B之间距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
【答案】（1）观测站A、B之间的距离为海里．
（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）过点P作于D点，可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
（2）过点B作，垂足为F，根据题意得：，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：过点P作于D点，
∴，
在中，，海里，
∴（海里）， （海里），
在中，，
∴（海里），
∴海里，
∴观测站A，B之间的距离为海里；
【小问2详解】
补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作，垂足为F，
∴，
由题意得：，，
∴，
中，，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 如图所示，某数学活动小组选定测量小山上方某信号塔的高度，他们在处测得信号塔顶端的仰角为，信号塔低端的仰角为，沿水平地面向前走50米到处，测得信号塔顶端的仰角为．求信号塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：）
【答案】信号塔的高度约为53.3米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键．延长，交直线于点E，设，用含x的代数式表示出的长，解直角三角形求出x的值和的长度，即可求解．
【详解】延长，交直线于点E，则，
设，
由题意得：，
在中，，
中，∵，即，
解得，即，
在中，∵，
∴，
∴（米），
所以，信号塔的高度约为53.3米．
23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
（1）真空管上端B到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0．1米）（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）真空管上端B到水平线的距离为
（2）安装热水器的铁架水平横管的长度为
【解析】
【分析】（1）过点作交于点，利用进行求解即可；
（2）利用，求出的长，根据，以及，求出的长度，再根据，求出的长，再用即可求出的长度．
【小问1详解】
解：过点作交于点，
由题意，得：，
∴；
∴真空管上端B到水平线的距离为；
【小问2详解】
解：由题意，得：，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
答：安装热水器的铁架水平横管的长度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形．
24. 学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，．
（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解；
（）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，设法线为，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴入射角约为；
【小问2详解】
解：中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴光线从空气射入水中的折射率，