2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中九年级（下）周测数学试卷（4.7）-自定义类型

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨113中九年级（下）周测数学试卷（4.7）-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.-|-2025|的倒数是（ ）
A. B. 2025C. -2025D.
2.下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6B. （a2）3=a5
C. （-2a2b）3=-8a6b3D. （2a+1）2=4a2+2a+1
3.由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A. sinA=
B. tanA=
C. csA=
D. tanB=
5.对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象必经过点（-2，5）B. y随x的增大而增大
C. 图象在第二、四象限内D. 图象关于坐标原点中心对称
6.抛物线y=ax2-4ax+c与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A. （3，0）B. （-1，0）C. （2，0）D. （4，0）
7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD//BC，BC=AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A. B. C. D.
8.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3.按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.如图，四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=6cm，AD=4cm．点E沿A→B移动，同时点F沿A→D移动，且速度都为1cm/秒，设点E，F移动的时间为x s（其中0≤x≤4），△BEF的面积为ycm2，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米，将数55000米用科学记数法表示为______．
12.如果二次根式有意义，那么x应该满足的条件是______．
13.分解因式：x3y+2x2y+xy= ．
14.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=+．若（x+1）⊗x=，则x的值为______．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E的度数为______度．
16.某同学在做“小孔成像”实验时，将一支长为3cm的蜡烛（包括火焰高度）立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm,此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系xOy,设蜡烛火焰顶端A点处坐标为（-6，3），则A点对应的“像”的点的坐标为______.
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17.将一些边长为1的正方形按如图所示的规律依次摆放，第1个图的周长为4，第2个图的外沿周长为8，第3个图的外沿周长为12，依照此规律摆放下去，若第n个图的外沿周长为1024，则n的值为______．
18.菱形ABCD的边长为5，对角线AC、BD交于点O，AC=8，以AD为一边作正方形ADEF，过点E作EG⊥直线BD，垂足为G，连接AG，则AG=______．
19.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN= .
20.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F.下列结论：①OE=OH；②AF=FB；③EF=EC；④当G为CE中点时，BF=DE，其中正确的是 .
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
先化简，再求值，其中.
22.(本小题8分)
图①，图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点A、B、C和点D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹.
（1）在图①中的边BC上找到一格点E，连接DE，使；
（2）在图②中的△ABC外部找到一个格点F，画四边形BFCD，使该四边形只有一组对角为90°；
（3）在图③中的△ABC外部找到一个格点G，画四边形ADCG，使该四边形被对角线DG分得的两个三角形均是等腰三角形.
23.(本小题8分)
我校开展了“美丽校园”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：校园安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与.为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是______；并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m= ______，“D”主题对应扇形的圆心角为______度；
（3）我该校共有3000名学生，请根据上述调查结果，估计学校参与“校园安全”主题的学生人数.
24.(本小题8分)
请阅读下面材料，并完成相关任务：
定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PBC，△PAB或△PCA中，如果有一个三角形与△ABC相似，那么称点P是△ABC的“相似点”.
例：如图①，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠BCA，∠PCB=∠A，则△BCP∽△CAB，故点P为△ABC的“相似点”.
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，PC平分∠ACB，求证：点P为△ABC的“相似点”；
（2）如图③，若△ABC为锐角三角形，点E是△ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线BF上，连接CE，若，求的值.
25.(本小题8分)
相约哈尔滨，逐梦亚冬会，云扬中学开展了以迎亚冬为主题的演讲活动，李老师对取得优异成绩的同学进行表彰.他到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元.已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元.
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，李老师决后再次购买两种笔记本35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售.如果李老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，那么至多购买甲种笔记本多少个？
26.(本小题8分)
△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠B=45°.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，D在弧AC上，BD=AB，OE⊥BD交DC延长线于E，求证：∠CBE=3∠OAB；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AC交BE延长线于F，若BF=12，AF-DE=5，求EF的长.
27.(本小题8分)
已知：与x轴交于A、B两点，与y的轴交点C（0，3），对称轴为直线.

（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，连接CD，且∠OCD=120°，过D作DG⊥OB于点G，连接CG，试判断△CGD的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在抛物线上，点Q在PD延长线上，FG=GQ，CD∥GQ，在线段CF上取点M，MG交CQ于N，当CM=DE，CN：NQ=1：2时，求P点坐标.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】5.5×104
12.【答案】x≤，且x
13.【答案】xy（x+1）2
14.【答案】-
15.【答案】45
16.【答案】（2，-1）
17.【答案】256
18.【答案】或
19.【答案】2
20.【答案】①③④
21.【答案】解
=÷
=÷
=•
=，
∵=2×-3×=1-3=-2时，
原式===．
22.【答案】见解析．
23.【答案】60 30 54
24.【答案】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°．
∵PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP=36°，
∴∠BCP=∠A，
∵∠B=∠B，
∴△BCP∽△BAC，
∴点P为△ABC的“相似点“；
∵点E是△ABC的“相似点“，且点B与点A对应，点E在∠ABC的平分线上，
∴△BEC∽△ACB，
∴∠EBC=∠CAB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=∠A，
∴FA=FB，
∵∠BCF=∠ACB，∠CBF=∠A，
∴△CBF∽△CAB，
∴==
25.【答案】解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，
由题意得：，
解得，
答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；
（2）设购买a个甲种笔记本，
由题意可得：（10-2）a+5×0.8（35-a）≤250×90%，
解得，
∴a的最大整数值为21，
答：至多购买甲种笔记本21个．
26.【答案】解：（1）证明：如图，连接AO、CO，

∵△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠B=45°，
∴∠AOC=2∠B=2×45°=90°，
∵AO=CO=R，
∴；
（2）证明：如图，连接BO、CO、DO，由（1）得：∠AOC=90°，AO=CO=R，

∴∠CAO=∠ACO=180°-90°=45°，
在△DBO和△ABO中，
，
∴△DBO≌△ABO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵BO=AO，
∴∠ABO=∠OAB，
∴∠DBO=∠ABO=∠OAB，
设∠DBO=∠ABO=∠OAB=α，
∴∠EDB=∠CAB=∠CAO+∠OAB=45°+α，∠DBC=∠ABC-∠DBO-∠ABO=45°-α-α=45°-2α，
∵OE⊥BD交DC延长线于E，
∴OE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB=45°+α，
∴∠CBE=∠EBD-∠DBC=45°+α-（45°-2α）=45°+α-45°+2α=3α，
∴∠CBE=3∠OAB；
（3）解：如图，在（2）的条件和证明过程下，在 CF上取点G，使得∠CBG=α，过点F作 FH⊥BF 交BG延长线于点H，过点F作 FI⊥BH 于点I，

∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=45°+α=∠CAB，∠HFB=∠FIH=90°，
∴AG=BG，∠FGH=∠AGB=180°-∠CAB-∠ABG=180°-（45°+α）-（45°+α）=90°-2α，
∵由（2）得BE=DE，∠EBD=∠EDB=45°+α，∠CBE=3α，
∴∠EBD=∠GBA，∠EDB=∠GAB，∠FBH=∠CBE-∠CBG=3α-α=2α，∠ABF=∠ABC+∠CBE=45°+3α，
在△BDE和△BAG 中，
，
∴△BDE≌△BAG（ASA），
∴BE=BG，
∴BE=DE=AG=BG，
又AF-DE=5，
∴AF-DE=AF-AG=FG=5，
∵∠FBH=2α，
∵∠FHG=∠FGH=90°-2α，
∴FH=FG=5，
∴GI=HI，，
∵，
∴，
∴，
∴．
27.【答案】解：（1）∵由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3；
（2）△CGD是等边三角形，理由如下：
如图，过点D作DK⊥y轴于K，

∵∠OCD=120°，
∴∠DCK=180°-∠OCD=60°，
∵DG⊥OB，
∴∠DGB=∠KOB=90°，
∴DG∥OK，
∴∠CDG=∠DCK=60°，
设CK=m,
∵∠CKD=90°，∠DCK=60°，
∴CD===2m,DK=CK•tan∠DCK=m•tan60°=m,
∵C（0，3），
∴OC=3，
∴OK=OC+CK=3+m,
∴D（m,3+m），
把D（m,3+m）代入y=-x2+x+3，得：3+m=-（m）2+×m+3，
解得：m=3或m=0（舍去），
∴D（3，6），CD=6，DG=6，
∴CD=DG，
∵∠CDG=60°，
∴△CGD是等边三角形；
（3）如图，连接GE，过点Q作QR⊥x轴于R，

∵△CDG是等边三角形，
∴CG=DG，
∵CD∥GQ，
∴∠DGQ=∠CDG=60°=∠CGF，
∴∠QGR=90°-60°=30°，
∵CG=DG，∠CGF=∠DGQ，FG=GQ，
∴△CGF≌△DGQ（SAS），
∴∠GCF=∠GDQ，GF=GQ，
∵CG=DG，∠GCM=∠GDE，CM=DE，
∴△CGM≌△GDE（SAS），
∴GM=GE，∠CGM=∠DGE，
∴∠DGE+∠MGF=∠CGM+∠MGF=∠CGD=60°，
∴∠MGE=60°，
∴△MGE是等边三角形，
∴ME=MG，
∵∠FCG+∠FGC+∠CFG=180°，∠FDE+∠FED+∠DFE=180°，∠CFG=∠DFE，
∴∠FED=∠FGC=60°，
∴∠FED=∠GME=60°，
∴PQ∥MG，
∴==，
∵CM=DE，
∴==，
∵∠DFE=∠GFM，∠DEF=∠GMF，
∴△DFE∽△GFM，
∴==，即GF=2DF，
∵GF+DF=6，
∴DF=2，GF=4，
∴GQ=GF=4，
在Rt△GQR中，GR=GQ•cs∠QGR=4cs30°=2，QR=GQ•sin∠QGR=4sin30°=2，
由（2）知D（3，6），DG⊥x轴，
∴OG=3，
∴OR=OG+GR=3+2=5，
∴Q（5，2），
设直线DQ的解析式为y=kx+n,把Q（5，2），D（3，6）代入，
得，
解得：，
∴直线DQ的解析式为y=-x+12，
与抛物线解析式联立得：-x2+x+3=-x+12，
解得：x=或x=3（舍去），
把x=代入y=-x+12，得：y=-×+12=10，
∴P（，10）．