专题05 解三角形-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（新高考通用）（原卷版+解析版）

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题型01 正（余）弦定理的基本应用
题型02 有关三角形的面积及周长问题
题型03 有关三角形中的中线、角平分线、高的问题
题型04 四边形中的解三角形问题
题型05 解三角形与向量等知识交汇
题型01
正（余）弦定理的基本应用
1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可.
【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误；
B：，，，为锐角，，则无解，故B错误；
C：，，，为钝角且，则无解，故C错误；
D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确.故选：D
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，且最大角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，结合余弦定理运算求解.
【详解】由题意可知：，则，由余弦定理可得，则，解得，所以的取值范围是.故选：D.
3．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值.
【详解】因为，由正弦定理，可得，所以，又因为，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因为，所以.故选：A.
4．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A．B．C．D．10
【答案】C
【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离.
【详解】由题设，，则，而，所以，则，由，，则，而，又，所以，则，
由
.故选：C
5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果.
【详解】由，得，所以．又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径），
所以，解得，则的外接圆的面积为．故选：B
6．（2025·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则 ．
【答案】7
【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可.
【详解】由，得，又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以，在中，由余弦定理，得：，.
7．（2025·山西晋城·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，，求；
(3)若，，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)3
【分析】（1）由三角形内角和为及二倍角的余弦公式即可化简题干条件，从而证明；
（2）由（1）及题干条件可得，，再结合正弦定理即可求得；
（3）由正弦定理可得，再由余弦定理得到关于的一元二次方程，解出即可.
【详解】（1）由三角形内角和及二倍角的余弦公式，
可得，即，则．
又，，所以，或，
因为，所以，故；
（2）由（1）知，，又，所以，，
由正弦定理，得，所以；
（3）由正弦定理，得，所以，所以，
由余弦定理，得，解得．
题型02
有关三角形的面积及周长问题
1．（2025·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求.
【详解】对进行化简，通分可得，
即，又，解得；已知，由余弦定理，可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），则，可得，三角形面积，当且仅当时等号成立,故选：A.
2．（2025·陕西渭南·二模）在中，若，则的面积为 .
【答案】
【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】设所对的边为，则由余弦定理可得：，解得，所以的面积为.故答案为：.
3．（2025·江西·二模）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，.
(1)若，求的面积；
(2)求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，然后结合恒等变换公式化简即可得到，即可得到为等边三角形，从而得到结果；
（2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换公式化简，再由正切函数的值域即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得，即，因为，所以，又，即，
展开可得，即，即，
又，所以，且，所以为等边三角形，
则.
（2）由正弦定理可得
，
又因为为锐角三角形，则，解得，则，
其中，所以，
所以的周长.
4．（2025·山东潍坊·二模）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）由正弦定理求出，再由余弦定理及求出、，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为由正弦定理得．
所以，因为，所以．所以．因为，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆半径为，由正弦定理得，由（1）知，即，所以，由余弦定理得，所以，
因为，代入上式得．
因为，所以，则，所以．
5．（2025·安徽淮北·二模）的内角的对边分别为
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得，结合余弦定理计算求得，进而得出结果.
【详解】（1）由得，
因为,
所以，即，所以，所以.
（2）因为三角形的面积为，所以，所以，由余弦定理知，即，所以，故，
所以三角形的周长为.
6．（2025·山东聊城·二模）中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且．
(1)证明：为等边三角形；
(2)如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式得出，根据正弦定理边化角得出，再根据同角三角函数的平方关系即可求解，代入得出即可证明；
（2）由余弦定理得出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：由，得，
展开得．①
由可得．②
①－②得，
因为，所以，解得或（舍去）．
又，所以．把代入，得，则．
所以，故是等边三角形．
（2）由及，得，设，则．
在中，由余弦定理可得，
即，解得．同理，在中，由余弦定理可得．
又，所以．
7．（2025·辽宁·二模）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求A；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）整理可得，结合余弦定理运算求解即可；
（2）利用正弦定理可得，即可得，进而可得面积.
【详解】（1）因为，则即为，整理可得，
由余弦定理可得，且，所以.
（2）由正弦定理可得，则，
可得，即，由（1）可得，则，
即，可得，所以的面积.
8．（2025·广东清远·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，外接圆的半径为2，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和的正弦展开式结合特殊角的余弦值计算可得；
（2）由正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，所以．
又因为，所以，故，因为，所以.
（2）由正弦定理得，则，由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，故的面积．
9．（2025·云南昆明·二模）在中，，，．
(1)求；
(2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解，
（2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理知：，解得，由正弦定理可知，则．
（2）因为，则，
故，则为锐角，又点在外接圆上，所以，
故，则，，则的周长为．
题型03
有关三角形中的中线、角平分线、高的问题
1．（2025·甘肃白银·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据余弦定理求，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求解.
【详解】由题意得，．设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示，
不妨设，则，，则，，，由，解得．故选：D
2．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围.
【详解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以，
又因为，所以，所以，，又因为三角形为锐角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因为，所以，，所以，所以，又因为边上的高，所以．故选：B.
3．（2025·河南焦作·二模）在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出，再根据余弦定理可求解.
【详解】由面积相等，可得，
即，化简得，又.由余弦定理可得.
4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 .
【答案】 6 4
【分析】若，根据三角形面积公式可得，利用，得解；若，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，代入运算得解.
【详解】若，由，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为6.若，，解得,由余弦定理得，
整理得，，当时，取得最大值4.故答案为：6，4.
5．（2025·山东·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解；
（2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解.
【详解】（1）由正弦定理可得，
即.在中，由，得，
所以，又，，所以，所以；
（2）因为，所以，所以，
所以，即，因为，即，所以，
在三角形中，由余弦定理可得，
所以.
6．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，．
(1)求；
(2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理先求得，再结合正弦定理求解即可；
（2）设，，根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积及运算律求解即可.
【详解】（1）由余弦定理得，
则．由正弦定理得，则，解得．
（2）设，，则b与c的夹角为，且，因为AM，BN为中线，所以有，，
于是，则，
，则．
又
，所以．

7．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于．
(1)求的值；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解；
（2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解.
【详解】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由题意可得，即，
由正弦定理得，又，所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，又，所以，所以的周长为．
8．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求边上高的最大值．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）设外接圆的半径为，由即可求出，从而求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由等面积法计算可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：①，
因为，所以.故①式可变形为，
即，化简得：，因为，所以，故. 因为，故.
（2）设外接圆的半径为，由正弦定理得：，则，，，又，故得，由（1）知，故，则，由余弦定理得：，即，
则，当且仅当时等号成立，设边上高为，由三角形的面积公式得：，即.故边上高的最大值为.
9．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小；
（2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得；
（3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值.
【详解】（1）因为，
所以.由正弦定理得，
所以，因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）如图，设，，则，且.
因为，所以.由正弦定理得，所以，
所以，其中，故的最大值为.
10．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【答案】(1)
(2).
【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解；
小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可.
【详解】（1）选择条件①：.由正弦定理得，
所以.由余弦定理，得.因为，所以.
选择条件②：因为，所以，即.
由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以.
（2）连接，
因为点是内心，所以.因为，所以，所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
11．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．
(1)求角A；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A；
（2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长.
【详解】（1）由和正弦定理，可得，
因，
则，即，因为，则得，因，则．
（2）
如图，因是的平分线，则，解得，又，
则，即，解得.
12．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长.
①；②；③的周长为.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，由两角差的正弦公式化简得，利用平方关系求得答案；
（2）若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，由求得答案；若选②，由，由正弦定理知，所以不存在；若选③，由正弦定理可得，结合求得答案.
【详解】（1）由题意知.又，所以，即，化简得，又，，则，
又， 解得，.
（2）由（1）知为定值.
若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，记边上高为，
则，所以边上高线的长为9；
若选②，由（1）知，，
由正弦定理知，所以不存在；
若选③的周长为，即
由，由正弦定理，
设，则，解得，所以，故存在且唯一确定，记边上高为，则，即边上高线的长为9.
题型04
四边形中的解三角形问题
1．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为 .
【答案】
【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案.
【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴，以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.又则.
过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则.又注意到，则.设，则，则.注意到B，E，D三点共线，则，则.又
，则或，又由图可得，则.则.故答案为：

2．（2025·山东滨州·二模）在圆内接四边形中，，则 ，若，则的面积最大值为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理建立方程，利用两角和的正弦公式展开得，进而求得；设并结合正弦定理表示出，再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值.
【详解】在中，，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以；所以是四边形外接圆直径，，

设，则，在中，，由正弦定理得，即，在中，，所以
，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.故答案为：；
3．（2025·河南焦作·三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)记，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证.
（2）在和中，利用正弦定理结合即可证明.
（3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可.
【详解】（1）设，则．
由余弦定理得，
所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，
由（1）知，又，所以．
（3）若，则，得，与已知矛盾．若，则，所以化为，即，整理得，即，解得．
4．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面四边形ABCD中，．
(1)若，求CD的长；
(2)设，将表示成的函数，并求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，求解即可；
（2）在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而可得，可求的取值范围．
【详解】（1）由余弦定理，即，或．
（2），．
在中，由正弦定理得，即．
在中，，即，，
即，．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解.
【详解】（1）设，，所以，，在中，，在中，，因为，解得，所以BO的长为；
（2）由（1）知，设,，，在中，，在中，，所以，若，则与全等，所以，所以，所以，不成立，所以
所以，因为，所以，所以，
所以，所以的值为.
题型05
解三角形与向量等知识交汇
1．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理可得在以半径为的圆上，由向量线性运算得，根据向量运算几何意义，计算即可求解.
【详解】由正弦定理可得，，所以在以半径为的圆上，
则由向量数量积几何意义及垂径定理可知：当与同向时，有最大值为，
所以的最大值为.

故选：D.
2．（2025·云南曲靖·二模）在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】B
【分析】利用余弦定理可求得，利用同角的三角函数的关系求得，结合正弦定理可求外接圆的半径，进而可求得面积.
【详解】设三角形ABC外接圆的半径为R，因为，由余弦定理可得，所以，解得，又，所以，所以，又，所以，所以，又因为，所以外接圆的直径，解得，所以外接圆的面积为.故选：B
3．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（ ）
A．存在，使 B．存在，使
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】D
【分析】利用两角和差公式以及、化简AB选项；令化简，使其为关于的函数，求函数值域即可判断C选项；利用一元二次方程有根，则可根据求解判断D选项.
【详解】由题意可得，
，
，
则，故AB错误；若，则
因，则，则，得，
则，故C错误；，即，则方程在上存在根，则，即，等号成立时，因，则，则，此时变为，得，则，故当时，取最大值，故D正确.故选：D
4．（2025·辽宁丹东·二模）记的内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)延长至，使，求的值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）通过对已知等式进行化简，然后利用余弦定理求出角A.
（2）利用正弦定理列出等式，进而求出的值.
【详解】（1）由得，
所以根据余弦定理得，，则．
（2）因为，所以，则是正三角形，所以，
在中，根据正弦定理，由题意，得所以．
5．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理化简，得，再利用余弦定理进行计算即可求解；
（2）由（1），结合，解得，再利用正弦定理计算即可求解；
（3），进而利用倍角公式和和差公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，故．
（2）由（1）知，又，得，由正弦定理可得，
又，解得．
（3）因为，所以，故．
所以．所以
．
6．（2025·江苏南京·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解；
（2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解.
【详解】（1），由正弦定理得，
得，所以，由，得.
（2）如图，因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，即；
在中，由余弦定理得，即，①
所以，得，由解得，代入①得，由解得.在中，由余弦定理得.
7．（2025·江西上饶·二模）的内角所对的边分别为．
(1)求角；
(2)若，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求角.
（2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可.
【详解】（1）由正弦定理：，
所以，
所以，得.
因为为三角形内角，所以，所以.又，所以.
（2）如图：

因为，所以为的重心.延长交与点，则为中点.因为，所以.因为，
所以，即①
在中，由余弦定理得：②
由①②得：.所以.