专题07 数列（全国通用）含答案-【好题汇编】2025年高考数学真题分类汇编

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一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
4．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个B．3个C．1个D．无数个
【答案】B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.
即对任意的，恒成立，
令，构造函数，
则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故至多个零点，
又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.
故选：B.
二、多选题
5．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
6．（2025·上海·高考真题）己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
【答案】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
7．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
四、解答题
8．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
9．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；
（2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明；
（ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；
法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解.
【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为，
则由题得，
所以；
（2）（i）证明：由（1）或，，
当时，
设，
所以，
所以，
所以，为中的最大元素，
此时恒成立，
所以对，均有.
（ii）法一：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当均为1时：此时该系列元素只有即个；
当中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有共有个，
则这个元素的和为；
当中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
…
当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当均为0时：此时该系列的元素为即个，
综上所述，中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得，
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，
所以中的所有元素之和为.
一、单选题
1．（2025·陕西汉中·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．30B．40C．60D．120
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质可求.
【详解】因为为等差数列，故，
故选：C.
2．（2025·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（ ）
A．36B．C．D．6
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】等比数列中，，，
，由于故，所以，
故选：D．
3．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.
【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，
设数列、、、、的公差为，
则，解得，故.
故选：C
4．（2025·山西吕梁·三模）已知等差数列的公差，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式，将、用和表示出来，再代入已知等式求解.
【详解】由等差数列通项公式可得：，
已知，所以；.
将，代入可得：，
则，化简可得：，解得或.
因为已知公差，所以舍去，得到.
故选：B.
5．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．27D．81
【答案】C
【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解.
【详解】因为，则，
所以，
因为，所以，
所以或舍，
所以.
故选：C.
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】等比数列的性质可得，即，再结合题干条件，利用等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比即得的值.
【详解】由题意，设正项等比数列的公比为，其中，
由等比数列的性质可知，由题干可得，即，
若，则，不合题意，故，
所以，
解得或（舍去），故.
故选：C.
7．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61岁4个月B．61岁5个月
C．61岁6个月D．61岁7个月
【答案】B
【分析】解法一：出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年龄记为，出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年龄记为，出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年龄记为，，分析可知数列构成等差数列，求出该数列的首项和公差，即可求出，即可得解；
解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月，可得结果.
【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年龄记为，
出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年龄记为，
出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年龄记为，，
则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月．
依此规律，1970年5月出生的男职工，他的退休年龄应该是的第17项，
即他的退休年龄为岁17个月岁5个月．
解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月．
故选：B.
8．（2025·山东临沂·三模）在数列中，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式求出即可求解.
【详解】依题意，，则，而，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，，所以当时，.
故选：B.
9．（2025·河南三门峡·三模）已知数列的前n项和是，若，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由数列的通项与前n项和的关系，分别令，，解方程可得所求值．
【详解】数列的前n项和是，若，，
则当时，，
两式相减可得，
当时，，解得，
当时，，解得
故选：D.
10．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD.
【详解】对于A，由，得，，则，A错误；
对于B，由，得，当时，，B错误；
对于CD，由，得，则，
即，则当时，，
，因此，，，
，而，C正确，D错误.
故选：C
11．（2025·重庆·三模）数列满足又则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出前12项，观察奇偶项规律可得，奇数项构成首项为1公差为1的等差数列，偶数项构成首项为1公差为 的等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】因为数列满足，且，，，
所以；
；
；
；
；
；
；
；
；
观察奇偶项规律：
奇数项：，构成首项为1公差为1的等差数列，
令，则，通项公式为；
偶数项：，构成首项为1公差为 的等差数列，
令，则，通项公式为，通项公式为，
，选项AB错误；
，选项C正确，选项D错误.
故选：C.
12．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）
A．0B．22C．26D．31
【答案】B
【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解.
【详解】因为，所以互为相反数，不妨设，
要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知，满足，取的最小值为，
则满足，因为，故取的最小值，
满足，因为，，故取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
满足，取的最小值，
满足，因为，所以，取的最小值，
满足，因为，所以，取的最小值，
同理，取的最小值，所以，
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22．
故选：B．
二、多选题
13．（2025·广西河池·二模）已知数列满足且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列是周期数列
C．是等差数列
D．数列的通项公式为
【答案】ACD
【分析】根据给定的递推公式，依次计算判断A；变形给定的递推公式，结合等差数列定义判断BCD.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于BC，由，得，
则，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确；
对于D，，则，解得，D正确.
故选：ACD
14．（2025·四川成都·三模）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ）
A．
B．的前项和为
C．的前8项和为
D．的前50项和为
【答案】ABD
【分析】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A，由等差数列求和公式判断B，利用裂项相消法求和判断C，根据通项公式并项求和可判断D.
【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确；
对于B，的前项和为，故B正确；
对于C，因为，
所以的前8项和为，故C错误；
对于D，因为，
所以的前50项和为，故D正确.
故选：ABD
15．（2025·广东茂名·二模）等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ）
A．数列的公差为2B．取最小值时，
C．D．数列的前10项和为50
【答案】AD
【分析】根据等差数列通项公式得关于的方程，解出，则得到，最后一一判断选项即可.
【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知，
解得，故A正确；
对B，，，
则当时，取最小值，故B错误；
对C，，，则，故C错误；
对D，数列的前10项和为，故D正确.
故选：AD.
16．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列的前项和为，.则下列式子的值可以确定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】推导出，，其中，的值不确定，然后利用分组求和法可判断AB选项；利用并项求和法可判断CD选项.
【详解】由题意得，，即，，
所以，，，，
可得，，
由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，
其中，的值不确定.
对于A选项，
，
其中的值不确定，故选项A错误；
对于B选项，
，
每一组数都可以确定，故选项B正确；
对于D选项，
，
每一组数都可以确定，故选项D正确；
对于C选项，因为，故，
因为
，每一组数都可以确定，
则为定值，故选项C正确.
故选：BCD.
17．（2025·湖南长沙·三模）已知数列的前项和为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若是递增数列，且、、成等差数列，则
B．若，且是递增数列，是递减数列，则
C．若，则存在数列，使得当时，
D．若，则存在数列，使得当时，
【答案】ABC
【分析】由是递增数列，先得到；再由成等差数列，，列出方程求出的值，即可得出结果，可判断A选项；先由题中条件，得到，，推出，再由累加法，即可求出数列的通项公式，可判断B选项；由，得到；讨论或；或两类情况，即可分别得出结论，可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因为是递增数列，所以．
因为，所以 ，．
又因为、、成等差数列，所以，
即，即，解得或．
当时，，这与是递增数列相矛盾，所以，A对；
对于B选项，因为是递增数列，则有，
于是①
因为，所以②
由①、②得，，
因此，即 ③
又因为是递减数列，则有，于是 ④
因为，所以 ⑤
由④、⑤得，，
因此，即 ⑥
由③、⑥可得．
于是当时，
即 ．
当时，代入上式得，与已知条件相吻合．
所以所求数列的通项公式是 ，，B对；
对于CD选项，当或时，存在数列，使得．
此时数列满足，，，
则有，，
即．
当或时，不存在数列，使得．
理由如下：因为，所以 ；
又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数，
所以当时，为奇数，为偶数，
因此，均不可能成立．
于是当或时，不存在数列，使得，C对D错.
故选：ACD.
三、填空题
18．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
【答案】3
【分析】由等差中项公式和等比数列通项公式直接计算即可求解.
【详解】设的公比为，
又因为，，成等差数列，
所以，可得，解得或（舍去）.
故答案为：3.
19．（2025·河南许昌·三模）设是等比数列的前项和，，，则 ．
【答案】
【分析】设等比数列公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式化可求出的值.
【详解】设等比数列公比为，当时，，此时，与题意不符，
所以，由题意可得，解得，
由等比数列求和公式得．
故答案为：.
20．（2025·北京·三模）已知等比数列的前项和为，满足，.则为 ；满足的最小的整数为 .
【答案】
【分析】将赋值可求得，即可求得；根据，及是等比数列可求得公比，求出，进而解不等式即可求解.
【详解】，，
当时，，则，，
；
是等比数列，设公比为，，
，令，则，
化简得，两边取自然对数并整理得，，故最小整数，
当时，，满足条件.
故答案为：；.
21．（2025·浙江·二模）已知数列和满足，，，，则 .
【答案】
【分析】先根据等差数列的定义得出数列是等差数列；再根据等差数列的通项公式即可求解
【详解】因为，，
所以两式相减可得：，即.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
故.
故答案为：.
22．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： .
【答案】
【分析】根据数列得到构成，直接观察1和2的个数，再求；观察数列，利用等差数列的求和公式，确定数列1和2的个数，再求和.
【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个，
所以数列的前20项的和为；
前个1之间有个2，
所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为，
当时，个数，第45个1后面有个2，
所以
故答案为：；
23．（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 .
【答案】6
【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
所以等差数列的前项和为，
则，
，，
所以数列是等差数列，公差为.
因为，所以数列单调递减，
所以，即，所以等差数列单调递减.
因为数列单调递减，所以，
因为，
，所以.
因为等差数列单调递减，且，所以，
所以当时，取最大值.
故答案为：6
24．（2025·重庆·三模）对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用裂项求和法可求出，求出的取值范围，结合有界数列的定义可得出实数的取值范围.
【详解】因为，
所以
，
因为，故数列为递增数列，故，故，
因为为有界数列，则，故，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
25．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为 ．
【答案】10
【分析】根据定义得，应用等比数列的前n项和公式有，再由不等式能成立求n的最大值.
【详解】因为正偶数与不互素，正奇数与互素，
所以不大于且与互素的正整数为所有不超过的正奇数，
所以，则，
令，解得，所以n的最大值为10．
故答案为：10
26．（2025·甘肃白银·三模）若数列是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列是“项优待数列”.若等差数列是“项优待数列”，，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列分，两种情况讨论，再结合等差数列求和公式计算求解通项.
【详解】设等差数列的公差为，，则 ①， ②，
所以，所以，所以，所以，
当时，由①②，得，所以，即，
由，得，即，所以，，，
当时，同理可得，即，由，得，即，
所以，，.
综上，.
故答案为：
四、解答题
27．（2025·江西景德镇·三模）已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若为递增数列，，求数列的前项和．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质得出，，再利用等比数列的性质得，结合可求得通项；
（2）根据单调性得出通项公式，再利用错位相减法可求.
【详解】（1）因数列为等差数列，则，解得，
同理可得，
因，则，又，得，
因数列为等比数列，则，解得，
若，则，公比为，公差为；
若，则，公比为，公差为，
则或．
（2）因为递增数列，则，，则，
则，，
两式相减得，
．
28．（2025·四川攀枝花·三模）已知数列的首项，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)令，求数列的最大项．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得；
（3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，
所以，
所以
.
（3）由（2）可得，
则，
所以当时，当时，
即，
所以数列的最大项为；
29．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)4212
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得；
（2）先求出，再利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，解得，
所以．
（2）因为，所以，
故
30．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证；
（2）由（1）有，利用累加法即可求解；
（3）由有，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即，
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以，
（2）由（1）有，
所以，
上式相加有，
所以，
所以；
（3）由（2）有，
所以，
所以
，
所以.
31．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列．
(1)证明：是等比数列；
(2)求的通项公式以及；
(3)设，若，，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求得，再利用前n项和与第n项的关系推理得证；
（2）利用（1）的信息即可求出，；
（3）求出并求出其最大项，建立不等式求解．
【详解】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，即，①
则，②
②①得：，即，
可得，又，
是等比数列．
（2）由（1）知，
则．
（3）由，且，得，
当时，，当时，，
，
若，则，
若，则，可得，
因此数列的最大项为，
由，，得，
即，整理得，则，即，
的取值范围是．
32．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【答案】(1)；
(2)3，9，81，243；
【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式可得结果；
（2）由分组求和法计算.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
33．（2025·湖南长沙·三模）已知数列，，记集合的元素个数为.
(1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值；
(2)若为1，3，a，b，且，求和集合；
(3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的定义，计算出所有即可.
（2）结合集合的性质，可得，解出即可.
（3）根据给定的定义，分别证明命题成立的充分条件和必要条件即可.
【详解】（1）集合，.
（2）由为1，3，，，当之一为2时，不妨令，则互不相等，
是集合中元素，又，则，，解得，不符合题意，
则必有，得，，互不相等，
则3，，都是集合中的元素，又，则，解得，，
因此为1，3，9，27，所以.
（3）充分性：若是递增的等比数列，设的公比为，
当时，，
所以，且，故充分性成立；
必要性：若是递增数列，且，则，
于是，且互不相等，又，
则，且互不相等，
因此，，
从而，所以为等比数列，故必要性成立，
综上，“”的充要条件是“为等比数列”.
34．（2025·天津·三模）已知数列和的满足，
(1)（i）求的值；
（ii）求的值.
(2)若数列满足对于，求证：，使得．
【答案】(1)（i）;（ii）
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出；
（ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出；
（2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式.
【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得：
，又，
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式可得.
所以.
（ii）将与两式相减可得：
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以.
由平方差公式，则
设 ①
则 ②
① - ②得：
所以
则.
（2）因为，所以.
由，，可得，.
则.
设 ③
则 ④
③ - ④得：
所以.
则.
当足够大时，会大于2025，所以，使得
35．（2025·山东临沂·三模）定义：若数列满足，则称数列为“数项增数列”.
(1)若，，判断数列，是否为“数项增数列”？
(2)若等差数列为“数项增数列”，且，求的公差的取值范围；
(3)若数列为共4项的“数项增数列”，满足，求所有满足条件的数列的个数.
【答案】(1)是，不是；
(2)；
(3)31.
【分析】（1）由的单调性判断，对数列举例说明判断.
（2）利用定义列式，取特值求出范围，再就一般情况分类判断即可.
（3）根据给定的定义，再分类推理计算判断..
【详解】（1）对于数列，，则随的增大而增大，
即恒成立，因此数列是“数项增数列”；
对于数列，，，有，
所以数列不是“数项增数列”.
（2）依题意，设，则，
由等差数列为“数项增数列”，得对恒成立，
即，当时，，解得或，
当时，随的增大而增大，则，
当时，令，解得，
当时，，
，随的增大而增大，则，
所以的公差的取值范围是.
（3）由，得最小值为0，最大值为5，
①若，则，，
若，则或，，或，此时，
，因此数列的个数为；
若，则，或，当时，，
或，此时或；当时，或，
此时，，因此数列的个数为；
若，则，或或，
当时，，此时，，
当时，，或，此时或，
当时，或，此时，，因此数列的个数为；
②若，则，，由①得数列的个数为；
③若，则，，则，，，
，，因此数列的个数为，
所以所有满足条件的数列的个数是.
36．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，证明对于任意的，；
(3)求（其中）.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，借助等比中项求出公比，进而求出通项公式.
（2）求出插入区间内项后的等差数列公差，再按数列的相邻3项在同一等差数列内和在相邻两个等差数列内分类证明.
（3）求出数列中项及前面的项数和，再利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式及错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，，
因为，，
所以，解得，而，则公比，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得等差数列的公差，
当时，，则；
当时，则，，
，因此，
所以.
（3）依题意，在内的数列的所有项和为，
数列中，项及前面的项数和为，
当时，
令，
则，
两式相减得，
解得，而，
因此，
当时，满足上式，
所以.
出生时间
1965年1月－4月
1965年5月－8月
1965年9月－12月
1966年1月－4月
…
新方案法定退休年龄
60岁1个月
60岁2个月
60岁3个月
60岁4个月
…
出生年龄
退休年龄
1965.5
60岁2个月
1966.5
60岁5个月
1967.5
60岁8个月
1968.5
60岁11个月
1969.5
61岁2个月
1970.5
61岁5个月