2025-2026学年陕西省西安市铁一中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年陕西省西安市铁一中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A. B. C. D. 2
2.如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A. 4B. 7C. D. 6
3.在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（）
A. 8B. 6C. 4D. 2
4.如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
6.某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（ ）
A. B. 3C. D.
10.如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（ ）
A. B. 3C. D. 2
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.若，则＝ ．
12.同一时刻，高为的小明的影长为，烟囱的影长为，则这座烟囱的高为
13.如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知厘米，那么 厘米．
14.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为 ．
15.如图，在正方形中，，点为边上一点，连接，过点在的下方作，且，连接线段、，若，则的长为
16.如图，在菱形中，、分别为边、上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
17.如图，正方形中，、分别在、上，，连接、，分别交于点，若，，则 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
18.计算：．
19.化简：．
20.解方程：
(1)
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知，与位似（点分别对应点），原点为位似中心；位似比为，点的坐标分别为．
(1) 若位似比，请你在轴右侧画出．
(2) 若位似比，则 ．
22.(本小题8分)
在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1) 求证：；
(2) 证明四边形是菱形．
23.(本小题8分)
2025年10月底，我国将执行神州二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同）
(1) 李华同学选择“宇航员”的概率为 ；
(2) 请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率．
24.(本小题8分)
某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？
25.(本小题8分)
如图所示，在平行四边形中，过点向边作垂线，垂足为点，连接，为线段上一点，且．
(1) 求证：；
(2) 若，，，求的长．
26.(本小题8分)
已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0，
(1) 当k为何值时，方程有实数根；
(2) 设x1，x2是方程的两个实数根，且x12+x22＝4，求k的值．
27.(本小题8分)
小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
28.(本小题8分)
在中，，，，点在线段上，且．在中，，，，连接并延长到点，使，连接．
初步感知：
(1) 如图1，当点，分别在，上时，则 ；
(2) 深入探究：
如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由：
②当四边形的面积最小时，求线段的长．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
/​​​​​​​
16.【答案】​​​​​​​
17.【答案】
/​​​​​​​
18.【答案】解：
．

19.【答案】解：

20.【答案】【小题1】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【小题2】
解：，
，
方程有两个不相等的实数根，
∴，．

21.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求：
【小题2】
​​​​​​​

22.【答案】【小题1】
解∶，
是的中点，
在与中，
【小题2】
由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
四边形是菱形．

23.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：列表如下：
共有种等可能得结果，其中张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果有：、、、、、、，共种，
∴张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为．

24.【答案】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3-x）元，则商城多售出200x÷0.05=4000x张．
（0.3-x）（500+4000x）=180，
整理得400x2-70x+3=0，
（40x-3）（10x-1）=0，
解得x1=，x2=0.1，
∵为了尽快减少库存，
∴x=0.1．
答：每张贺年卡应降价0.1元．
25.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

26.【答案】【小题1】
要使方程有实数根，必须△≥0
即4（k﹣1）2﹣4k2≥0
解得k≤，∴当k≤​​​​​​​时，方程有实数根．
【小题2】
由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝4（k﹣1）2﹣2k2
＝2k2﹣8k+4，
∵x12+x22＝4，
∴2k2﹣8k+4＝4
解得k1＝0，k2＝4，
由（1）知k≤​​​​​​​，∴k＝4不合题意，
∴k＝0．

27.【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH=BD，BH=CD=0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴AH=CH=BD，
∴AB=AH+BH=BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG=∠ABG=90°．
由反射角等于入射角得∠EGF=∠AGB，
∴△EFG∽△ABG（AA），
∴=即=，
解得BD=17.5，
∴AB=17.5+0.5=18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
28.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
（1）中的结论仍然成立，
证明：∵，，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
作于点，于点，
，
∵，
∴，
当点、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的面积最小，
∵，，，于点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当四边形的面积最小时，线段的长为．