2025-2026学年陕西省西安市西北大学附属中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年陕西省西安市西北大学附属中学九年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则该四边形为矩形B. 若，则该四边形为菱形
C. 若，则该四边形为矩形D. 若，则该四边形为正方形
3.如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，等腰和等腰中，点、在第一象限，，，，等腰与等腰是位似图形，为位似中心，相似比为，若点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中），则的长为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
7.某网络销售公司计划第二季度销售额达到1200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.关于的方程有实数根，则满足（ ）
A. B. 且C. 且D.
9.如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
10.如图，正方形的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是的中点，连接、，若，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 6D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知，若，则 ．
12.某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为 ．
13.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有 个．
14.如图，在等边内作等边，若，则
15.设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
16.如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
尺规作图：如图，在矩形中，M是边的中点，连接，在上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
19.(本小题8分)
如图，在中，点E、F、G、H分别在边、、、上，，，且平分．求证：四边形是菱形．
20.(本小题8分)
数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
(1) 小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
(2) 小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
21.(本小题8分)
如图，在矩形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，若．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 求的长．
22.(本小题8分)
铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度．
23.(本小题8分)
某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米．
(1) 求通道的宽是多少米．
(2) 据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用，
(1) 用含t的代数式表示：线段 ； ．
(2) 当与相似时，求出t的值．
25.(本小题8分)
在中，，，．
(1) 问题发现如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
(2) 类比探究将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由；
(3) 迁移应用如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】15
12.【答案】
13.【答案】21
14.【答案】3
15.【答案】2024
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
，
，．
【小题2】
解：，
，
，
，．
【小题3】
解：，
，，，
，
，
，．
【小题4】
解：，
，
，
，
或．
，．

18.【答案】解：如图，点P即为所求．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
过点D作的垂线，
∴，
∴，，
∴，
∴．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
∴EH=FG
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．
又∵AE=CG，AH=CF，
∴BE=DG，BF=DH，
在△BEF与△DGH中，
，
△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠HEG=∠HGE，
∴HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
20.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为．

21.【答案】【小题1】
证明：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：延长交于点，
∵矩形，
∴，，，
即，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴的长为4．

22.【答案】解：设塔的高度为米，
由题得，
即，
，
即，
，
，
即，
解得，
开封铁塔的高度为．

23.【答案】【小题1】
解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：通道的宽是3米．
【小题2】
解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，
依题意，得，
解得，
又要优惠大众，
．
答：每个车位的月租金应上涨40元．

24.【答案】【小题1】
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​​​​​​​
【小题2】
由题意得：
①当时，即：，
．
②当时，即，
．
∴t的值为或．

25.【答案】【小题1】
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​​​​​​​
【小题2】
解：线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致，理由如下：
延长交于点，如图所示，
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴；
【小题3】
解：过点作于点，如图所示，
由旋转可知，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．