上海市复旦大学附属中学2023~2024学年高一上学期9月月考数学测试卷（原卷版）-A4

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9.26
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具
2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊.与考试无关的所有物品放置在考场外.
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分.
4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂.若因填涂模糊导致无法识别的后果自负.
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是________．
2. 函数的定义域是___________.
3. 已知，则______．
4. 已知，用有理数指数幂的形式表示________.
5. 的两实根为、，集合，，，，则不等式的解集为________.
6. 设，则方程的解集为__________.
7. 已知，则的最小值为______.
8. 定义实数运算且则实数的取值范围是_______.
9. 函数的图象关于点中心对称，则______.
10. 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．
11. 定义:如果函数在区间上存在满足则称是函数在区间上的一个均值点.已知在上存在均值点，则实数的取值范围是______
12. 已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合所有子集的“交替和”的总和为_________.
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
14. 下列命题中错误的数量是（ ）
①当时，一定成立
②若实数x，y满足，则
③对任意，都有
④对任意，都有
A 0B. 1C. 2D. 4
15. 对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（ ）成立．
A. B. C. D.
16. 已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C. 若集合元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D. 若集合元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 甲、乙两人解关于的方程：甲写错了常数b，得到根为，乙写错了常数c，得到根为.求方程的真正根．
18. 如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．

（1）设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域.
（2）求：矩形的面积的最大值．
19. 已知，.
（1）若，解关于的不等式组；
（2）若对任意，都有或成立，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围.
20. 已知幂函数的图象关于点中心对称;
（1）求该幂函数的解析式；
（2）设函数，在直角坐标系中做出函数的图像；
（3）根据中图像，直接写出不等式的解集，
21. 对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；
(2)求证：集合是“和谐集”；
(3)求证：若集合“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.