上海市复旦大学附属中学2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份上海市复旦大学附属中学2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a为大于1的正数，则“a>3”是“aa>a3”的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要
2.已知α,β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l⊥α的是( )
A. α⊥β,l//βB. l⊥a,a//α
C. l//a,a⊥αD. l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α
3.已知定义在R上的单调函数f(x)，满足∀x，y∈R，f(xy)=f(x)f(y)，则下列说法不正确的是( )
A. f(1)=1B. f(x)可能是单调递减函数
C. f(x)为奇函数D. 若f(8)=2，则f2n=2n3
4.设A为非空集合，函数y=f(x)的定义域为D，若存在x0∈D使得对任意的x∈D均有f(x)−fx0∈A，则称函数y=f(x)具有A−性质.给出以下两个命题，则下列选项中正确的是( )．
①若A=[0,+∞)且f(x)≥0恒成立，则函数y=f(x)具有A−性质；
②若A=[a,b]且f(x)=sinx，则“b−a≥2”是“函数y=f(x)具有A−性质的必要非充分条件．
A. ①②都正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①②都错误
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知sinx−π2=13，那么cs2x= ．
6.函数y=lgsin2x+ 9−x2的定义域为 ．
7.已知圆心角为π3的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为 ．
8.关于x的方程lg(x−1)+lg(3−x)=lg(1−ax)有两解，则实数a的取值范围是 ．
9.已知f(x)是R上的奇函数，f(2)=2，且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，则f(2026)= ．
10.已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减，则f1−x2的单调递减区间是 ．
11.在x−1x9的二项展开式中x−1项的系数为 ．
12.已知数列an的通项公式为an=−n+c，其中c为常数，设数列an的前n项和为Sn，若S6>S4且S6>S8，则c的取值范围为 ．
13.已知f(x)=ln(x+1)，g(x)=f|x|，则g(x)>x+3−e2的解集为 ．
14.已知空间向量OB1、OB2、OB3两两垂直，空间中点A满足AB1=AB2=AB3=1，记OP=OB1+OB2+OB3，则AP的取值范围为 ．
15.若对任意的x1、x2∈(m,+∞)，且x1sinθ+csθ成立，则实数m的取值范围是
16.已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2= 22，则x1+y1−1 2+x2+y2−1 2的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC，点E、F分别为棱BC和A1C1的中点．
(1)求证：EF//平面AA1B1B；
(2)若底面▵ABC为边长为2的正三角形，且CC1=BC，侧棱CC1与底面ABC所成的角为60°，求侧面ACC1A1的面积．
18.(本小题14分)
已知f(x)=2csωx+3π4，其中ω>0．
(1)若ω=2，求函数y=f(x)，x∈−π2,0的值域；
(2)若fπ4=0，且函数y=f(x)在π6,π4内有极小值，但无极大值，求ω的值．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=lnx．g(x)=12ax2+bx,a≠0，
(1)对于任意的x>0，求证f(x)≤x−1；
(2)若b=2，且ℎ(x)=f(x)−g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(3)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P,Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M,N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
20.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ:x25+y24=1，F1、F2分别是其左、右焦点，过F2的直线PQ交椭圆于P、Q两点．
(1)若PF1⋅PF2=72且点P在第一象限，求点P的坐标；
(2)若▵F1PQ的面积为4021，求直线PQ的方程；
(3)若P、Q两点不在x轴上，设M为线段PQ的中点，ON⊥PQ于N，求NM⋅F1F2的取值范围．
21.(本小题14分)
已知数列an满足an+1=ran1−an，首项a1∈(0,1)．
(1)若02(t−1)1+t，这与①矛盾，假设不成立，
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

20.解：(1)F1(−1,0)，F2(1,0)，设Px0,y0，且x0>0,y0>0，
则4x02+5y02=20且PF1⋅PF2=x02+y02−1=72，解得x02=52，y02=2，
因此P的坐标为 102, 2．
(2)直线PQ为水平直线时，▵F1PQ不存在，
设直线PQ方程为x=my+1，联立Γ:4x2+5y2=20，
得4m2+5y2+8my−16=0，Δ=64m2+644m2+5=320m2+1，
设Px1,y1，Qx2,y2，则y2−y1= Δ4m2+5=8 5 m2+14m2+5．
由于F2在线段PQ上，S▵F1PQ=12⋅F1F2⋅y2−y1=4021，其中F1F2=2，
因此8 5 m2+14m2+5=4021，整理得441m2+441=80m4+200m2+125，
所以80m4−241m2−316=(80m2+79)(m2−4)=0，解得m2=4(负值舍)，
因此直线PQ方程为x=±2y+1，即x+2y−1=0或x−2y−1=0．
(3)由题设，直线PQ斜率不可能为0，而直线PQ斜率不存在时，N、M重合，NM⋅F1F2=0；
若直线PQ斜率存在，设直线PQ:y=k(x−1)，与Γ:4x2+5y2=20联立得5k2+4x2−10k2x+5k2−4=0，
因此xM=xP+xQ2=5k25k2+4；而联立直线y=k(x−1)与y=−1kx可得xN=k2k2+1；
所以NM⋅F1F2=2xM−xN=2k25k4+9k2+4=25k2+4k2+9≤29+4 5=18−8 5，即取值范围是0,18−8 5．
综上，NM⋅F1F2的取值范围为0,18−8 5．

21.解：(1)①当n=1时，a1∈(0,1)成立；
②假设当n=k(k≥1)时，ak∈(0,1)成立，此时1−ak>0，
则当n=k+1时，ak+1=rak1−ak≤r⋅12⋅120，于是ak+1∈(0,1)也成立；
综上，对于任意正整数n，an∈(0,1)都成立．
(2)数列an+1是等差数列，且an+1∈(0,1)，说明an必须为常数列．
解a3=3a21−a2=a2得a2=23，
此时解3a11−a1=23，得a1=23或a1=13．
(3)设x2满足方程4x21−x2=12且x2∈0,12，设x1满足方程4x11−x1=x2且x1∈0,12．
设f(x)=4x(1−x)，g(x)=fff(x)−x，此时函数y=g(x)的图像是连续不断的曲线．
gx1=fffx1−x1=ffx2−x1=f12−x1=1−x1>0，
gx2=fffx2−x2=ff12−x2=f(1)−x2=−x2