上海市复旦大学附属中学2023~2024学年高一上学期9月月考数学测试卷（解析版）-A4

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9.26
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具
2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊.与考试无关的所有物品放置在考场外.
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分.
4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂.若因填涂模糊导致无法识别的后果自负.
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可.
【详解】结合题意知．即解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
2. 函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的底数大于零且不等于及对数的真数大于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
3. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由指对互化可表示出，根据对数换底公式可得，加和即可求得结果.
【详解】由得：，，，，
.
故答案为：
4. 已知，用有理数指数幂的形式表示________.
【答案】
【解析】
【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.
【详解】.
故答案为：.
5. 的两实根为、，集合，，，，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法可知不等式的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合运算与解集比较可得结论.
【详解】不妨设，因不等式的解集在两根之外，
所以不等式的解集为或，
而，，
所以或.
故答案为：.
6. 设，则方程的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】按题意分类讨论即可求解
【详解】时，原式，不合题意
时，原式
时，原式即恒成立
x>2时，原式，不合题意
故
故答案为：
7. 已知，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意可得，再由基本不等式“”的妙用即可得解.
【详解】因为，
所以，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
显然此时有解，所以的最小值为.
故答案为：.
8. 定义实数运算且则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由可得,再求解不等式即可.
【详解】由可知满足
即所以或即
故答案为
【点睛】本题考查新定义函数问题,明确定义运算代入再求解绝对值不等式即可.属于中等题型.
9. 函数的图象关于点中心对称，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用平移变换求出给定函数的对称中心，再与给定对称中心比对即得.
【详解】函数，
于是函数的图象是由函数的图象没x轴向右（）或向左（）平移个单位，
得的图象，再把所得图象向上平移1个单位而得，而函数图象的对称中心为，
因此函数的图象的对称中心为，依题意，，所以.
故答案为：2
10. 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.
【详解】集合M的任一非空子集共有个，
其中最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，
共有个，
同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个，
最小值为4的子集共有个，最小值为5的子集共有个，
最小值为6的子集共有个，
同上可知，最大值为6的子集共有个，最大值为5的子集共有个，
最大值为4的子集共有个，最大值为3的子集共有个，
最大值为2的子集共有个，最大值为1的子集共有个，
所以的所有非空子集中最小值之和为
，
最大值之和为，
所以
，
故答案为:7.
11. 定义:如果函数在区间上存在满足则称是函数在区间上的一个均值点.已知在上存在均值点，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】先求得，由此列方程，再利用换元法以及零点存在性定理求得的取值范围.
【详解】根据题意，函数，
则，
函数在区间上存在均值点，
则在区间上有解，设
则，则有在区间上有解，
而二次函数的对称轴为，
有，即，解得，
则m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
12. 已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为_________.
【答案】
【解析】
【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得.
【详解】由题意知，集合的“交替和”为.
集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集.
这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个，
设为；
则这个非空子集中含元素的集合，也共有个，
这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即.
对中的任意集合，记，
则“交替和”，其中，
由，则集合的“交替和”为
，
则集合与集合的“交替和”之和为，
下面举例说明：
如集合与集合，
的“交替和”为，
的“交替和”为
，
即集合与集合的“交替和”之和为.
综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，
且每组中“交替和”之和都为，共有组.
故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可，
综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为
.
故答案为：.
【点睛】“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见.
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
14. 下列命题中错误的数量是（ ）
①当时，一定成立
②若实数x，y满足，则
③对任意，都有
④对任意，都有
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】A 项利用基本不等式进行判断; B 项取特殊值判断; C、D 项利用作差判断即可.
【详解】对于 A 项，由x>0时， , 当且仅当x=1等号成立时,
而 x>2 则 成立,所以 一定成立故 A 项对；
对于 B 项,因为实数 满足 , 取 ,
则 , 故 B 错误;
对于 C 项, 因为
等号成立时, , 故 C 项正确;
对于 D 项, 因为 , 故 D 项正确.
故选：B.
15. 对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（ ）成立．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可.
【详解】当不等式取等号时有，
所以，所以，
所以，所以，
所以或，
对于A：等价于或，不满足；
对于B：等价于或，不满足；
对于C：等价于或，不满足；
对于D：等价于或，即为或，满足；
故选：D.
16. 已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B. 若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C. 若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D. 若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况,最后选出正确答案.
【详解】选项A：当时，集合的元素个数为2，此时,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；
选项B：当时,集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；
选项C：当时，集合的元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；
选项D：若集合的元素个数为3，方程有三个不等实根,则有,在该条件下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3.
故选D
【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 甲、乙两人解关于的方程：甲写错了常数b，得到根为，乙写错了常数c，得到根为.求方程的真正根．
【答案】4或8
【解析】
【详解】主要考查对数方程解法．
解：原方程可变形为：
18. 如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．

（1）设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域.
（2）求：矩形的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）当时，，当时，
【解析】
【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可.
（2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可.
【小问1详解】
如图，作，交于，交于，

因为，，所以，，
由得到，所以，
所以，故，解得，
所以，
小问2详解】
设，由二次函数性质得当时，
上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
当时，在上单调递减，当时，，
综上当时，，当时，.
19. 已知，.
（1）若，解关于的不等式组；
（2）若对任意，都有或成立，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得；
（2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得；
（3）在（2）的条件下问题转化为在上有解，结合（2）中m的范围即得．
【小问1详解】
（1），，则或，
，则，
所以不等式组的解集为：；
【小问2详解】
因为当时，，所以当时，恒成立，
当时，，的解为，不能满足时，恒成立，
当时，不满足题意，
当时，由得，化为，
若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意，
若时，，不等式的解为或，
因此，，因此，
综上，的取值范围是．
【小问3详解】
时，，因此存在使得，
又，
因此在上有解，由于，
所以，解得，
综上，．
【点睛】本题第二问解题关键是将所求转化为在上恒成立，然后对m进行分类讨论，结合含参一元二次不等式的解法可得答案.
20. 已知幂函数的图象关于点中心对称;
（1）求该幂函数的解析式；
（2）设函数，在直角坐标系中做出函数的图像；
（3）根据中图像，直接写出不等式的解集，
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解；
（2）由（1）得到作图求解；
（3）根据（2）中图象求解.
【小问1详解】
解：因为函数 是幂函数，
所以 解得 或
①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称，
②当 时，函数的图象关于y轴对称，
则 所以幂函数f（x）解析式是；
【小问2详解】
由（1）知，其的定义域是
在定义域上的图象，如图所示.
【小问3详解】
观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是：
不等式解集是.
21. 对于正整数集合（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否为“和谐集”,并说明理由；
(2)求证：集合是“和谐集”；
(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
【答案】(1)不是；理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；
(2)集合去掉任意一个元素进行分类讨论,找到符合题意的两个集合即可证明集合是“和谐集”；
(3)判断任意一个元素（）的奇偶性相同,分类讨论,可以证明出若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
【详解】(1)当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
(2)集合所有元素之和为49.
当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合这两个集合,显然符合题意；
(3)设正整数集合（，）所有元素之和为,由题意可知
均为偶数,因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数,所以（）也都是奇数,由于,显然为奇数；
若是偶数, 所以（）也都是偶数.此时设（）显然也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇数,集合中元素的个数也是奇数,
综上所述：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
【点睛】本题考查了新定义的理解与运用,正确理解题意,运用分类讨论的方法是解题的关键.