中考数学 专题练习16 锐角三角形函数及其应用（河南专用）（原卷版）

这是一份中考数学 专题练习16 锐角三角形函数及其应用（河南专用）（原卷版），共20页。试卷主要包含了锐角三角函数的综合应用，解直角三角形的实际应用，特殊角三角函数值的计算，三角函数与圆的综合问题，三角函数的综合应用问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、锐角三角函数的综合应用
1．（2024·河南·中考真题）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ．
3．（2024·河南·中考真题）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
考点二、解直角三角形的实际应用
4．（2023·河南·中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）．
5．（2021·河南·中考真题）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，）
6．（2022·河南·中考真题）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．
7．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
8．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
专练一、锐角三角函数值的计算
9．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，将正方形沿折叠，使得点正好落在的中点处，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·河南周口·二模）如图，点A，B，C，D都在上，是的直径，．若，的半径为5，则的正切值为（ ）．
A．B．C．D．
11．（2025·河南郑州·一模）将两个相同的正六边形的一边重合得到如图所示的图形，连接，则 （ ）
A．B．C．D．
12．（2025·河南周口·三模）赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ．
14．（2025·河南安阳·二模）如图，点都在正方形网格的格点上，连接，则的正切值为 ．
15．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点E，交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的值．
16．（2025·河南平顶山·二模）如图，是的直径，点为上一点，在的延长线上取点，使得，过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的值．
专练二、由函数值求特殊角
17．（2025·河南·一模）如图，小明在矩形中裁剪出扇形，，O为的中点，，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·河南信阳·三模）如图，平行四边形的对角线，交于点，且．以点为圆心，分别以，的长为半径画弧交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
19．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ．

20．（2025·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，点B在y轴上，点A的横坐标是，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是 ．
21．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ．
22．（2025·河南濮阳·一模）如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是 ．
23．（2025·河南周口·二模）如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为 °，当最小时，其度数为 °．
专练三、特殊角三角函数值的计算
24．（2025·河南安阳·模拟预测）（1）计算：；
（2）化简：．
25．（2025·河南信阳·三模）（1）计算：；
（2）解方程组：
26．（2025·河南周口·二模）（1）计算： ；
（2）化简： ．
27．（2025·河南驻马店·三模）（1）计算：
（2）化简：．
专练四、解直角三角形的实际应用
28．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A．B．C．D．
29．（2025·河南驻马店·三模）堆垛是一种常见的存储方式．某数学实践小组想借助所学的知识，测量一座玉米垛（如图1）的高度，分析玉米垛的形状特点后画出如图2所示的示意图，其主视图为轴对称图形，四边形为矩形．现测得玉米垛的顶部E到支点C的距离，垛体高，垛体顶角．求玉米垛的顶部E到地面的距离．（结果精确到0.1．参考数据：）

30．（2025·河南信阳·三模）图1是工业上用的一款切割金属材料的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，经测量可知，．将手柄向下压，直至与BC相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D．
(1)求的半径；
(2)将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F，经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值．
31．（2025·河南南阳·三模）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”．如图①，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下：
方案设计：如图②，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点、、在同一水平线上）．
数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为，在点处测得铜像头顶的仰角为．
问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
32．（2025·河南漯河·一模）铁塔（图1）位于河南省开封市，建于公元1049年，素有“天下第一塔”的美称．某数学兴趣小组用无人机测量铁塔的高度，测量方案如下：如图2，先将无人机垂直上升至距离地面的点处，测得铁塔顶端的俯角为；再将无人机沿铁塔的方向水平飞行到达点处，测得铁塔底端的俯角为．
(1)求无人机在点处与铁塔的水平距离．
(2)求铁塔的高度．（参考数据：）
33．（2025·河南周口·三模）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头视角的仰角、俯角均为（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度．身高的王老师，头部高度为，当他站在点处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别．若王老师采用下蹲方案，则至少需要下蹲（下蹲时身体不前倾）才能被识别．
(1)求的长度．
(2)若王老师采用后退方案，则从处至少后退多远，才能被仪器识别？（结果精确到，参考数据：）
34．（2025·河南驻马店·三模）民桥位于河南省信阳市浉河区，横贯浉河，是信阳重要交通枢纽，也是河南省唯一的一座独塔斜拉式桥梁．某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表：
请任选一种方案计算民桥主塔高度．（结果精确到1m．参考数据：，）
35．（2025·河南安阳·三模）某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”后，开展测量本市某地标性建筑的高度的实践活动，甲、乙两组分别设计了不同的方案：
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一组的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为哪组测量方案存在问题？并提出修改建议；
(2)乙组的测量方案能计算出地标建筑的高吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到；若不能，请说明理由．
36．（2025·河南·模拟预测）建筑工地上常借助定滑轮将建筑材料垂直拉起提到高处，图1为建筑材料起始位置示意图（定滑轮的半径忽略不计），绳子的末端在定滑轮处，测得，．水平向右拉绳子末端，当建筑材料位于图2所示位置时，在绳子末端测得滑轮的仰角为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上且直线与地面平行；参考数据：，，，．结果精确到）
(1)求绳子的总长度；
(2)求建筑材料上升的高度．
37．（2025·河南郑州·模拟预测）汽车驾驶员坐在驾驶座位上，其视线观察不到的地方叫“汽车盲区”．一般来说，家用小汽车有四大盲区，分别是车头盲区，车位盲区，左右后视镜盲区，柱盲区．如图是一辆汽车的“车头盲区”示意图，其中．，，驾驶员所处位置的高度为米，驾驶员座位与车头之间距离为米，当驾驶员从点观察车头点时，其视线的俯角为 (视线与水平方向的夹角)，点、、在同一直线上．
(1)的度数为 ．
(2)求“车头盲区”点、之间的距离．(结果精确到米，参考数据：，，)
(3)交警叔叔曾做过实验，一辆家用汽车的视野盲区能容纳个小朋友，这样的结果使我们震惊！文明交通，你我同行，为避免此类事故的发生，请给司机或行人一些建议．
38．（2025·河南商丘·二模）在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为，，，锐角的面积记为，过点作于点，则，
，
同理可得，．
即．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又，根据等式的基本性质，将，整理，得．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以36海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．
(1)求的面积；
(2)若此时与恰好互相垂直，求乙船由处到达处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
专练五、三角函数与圆的综合问题
39．（2025·河南安阳·一模）如图，是的直径，点C在上，且，．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（）所作的图形中，求的正弦值．
40．（2025·河南濮阳·一模）过山车常见于游乐园和主题乐园中，深受游客的喜爱．如图2是过山车的示意图，其中过山车的轨道近似看成，轨道的支撑均与地面垂直，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接．已知为的直径且．
(1)求证：是的切线；
(2)当，的半径为时，求的面积．
41．（2025·河南焦作·二模）如图，是的直径，点为上一点，过点作的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若的半径为10，，求的长．
42．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，以为直径作，与边交于点．
(1)用无刻度直尺和圆规过点作，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，说明为切线；
(3)若，，求的正切值．
专练六、三角函数的综合应用问题
43．（2025·河南周口·三模）已知和都为等腰直角三角形，，，，连接，当时，若，，则的长为 ．
44．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，．
(1)求k的值；
(2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标．
45．（2025·河南信阳·三模）综合探究
在矩形中，为其对角线， ，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将 沿着翻折得对应．
(1)若 ，如图1，当点落在对角线上时， 的度数是 ； 、、的数量关系是 ；
(2)若
①如图2，当点落在对角线上时，写出、、之间的数量关系，并说明理由；
②过点作 ，分别交、于，两点， 若 ，当点为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．
46．（2025·河南周口·三模）已知，如图（a）所示，是等腰三角形，，D是上一点，过点D作交于点C．
(1)将绕点O旋转到图（b）位置，使B，D，C三点在同一直线上，连接，若，则 ；线段，的关系是 ；
(2)在（1）的条件下，把改为，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请求出正确结论；
(3)如图（c）所示，，连接，，在绕点O的旋转过程中，当 时，请直接写出的长．
47．（2025·河南郑州·二模）初中数学“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证研究图形：“图形的变化”强调从运动变化的观点研究图形．为提升学生数学核心素养，李老师在社团活动时出示了一个探究活动、在中，，，点在直线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．
(1)初步探究
当点在线段上时（如图①），求证：：
李浩同学是这样分析的：证明线段和（差），可以利用构造全等三角形，他尝试在上截取，连接，通过证明，最终证出结论．请你根据李浩的分析思路，写出图①的证明过程．
(2)类比探究
如图②，点在线段的延长线上；如图③，点在线段的延长线上，请分别写出线段，，之间的数量关系（无需证明）；
(3)延伸探究
在（1）（2）的条件下，若，，则______．
48．（2025·河南商丘·三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)如图1，在菱形中，是的中点，连接，将沿翻折到．延长交于点，请写出图中的所有“筝形”；
(2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值；
(3)如图3，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，与相交于点，延长交于点．若，求的长．
49．（2025·河南安阳·二模）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究．
定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．
(1)观察思考
如图，在双直四边形中，，若，则的值为________．
(2)初步探究
如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由．
(3)类比探究
如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）．
(4)拓展应用
如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长．
50．（2025·河南新乡·三模）在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下：
(1)张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长．
孙阳的做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长．
任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________．
(2)赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长．
任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程．
(3)李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长．
任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________．课题
测量民桥主塔高度
测量方案
淇淇的方案
萍萍的方案
测量示意图
测量数据
说明
民桥主塔的高为，所有点在同一竖直平面内，图中，测角仪垂直于水平地面，测角仪的高度．
课题：测量本市某地标性建筑的高度
甲组方案
乙组方案
测量示意图
测量方案与测量结果
如图1，小组成员在点D处用距离地面高度为的测角仪测出该建筑顶端A的仰角．
如图2，在地面上点O处水平放一面镜子，小组成员站在点D的位置，通过镜子反射刚好看到该建筑顶端A处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到该建筑的距离，．
参考数据