中考数学 专题练习11三角形的有关性质和应用（河南专用）（原卷版）

这是一份中考数学 专题练习11三角形的有关性质和应用（河南专用）（原卷版），共19页。试卷主要包含了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，角平分线性质与判定，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形与函数的综合问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、全等三角形的性质与判定
1．（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
考点二、等腰三角形的性质和判定
2．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A．6B．3C．D．
考点三、直角三角形的性质
3．（2021·河南·中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
5．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
6．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ．
专练一、与三角形有关的线段
7．（2025·河南驻马店·三模）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
8．（2025·河南南阳·三模）三角形的三条边分别为，a，，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·河南安阳·模拟预测）下列事实中，利用了数学知识“垂线段最短”的是（ ）
A．把弯曲的公路改直可以缩短路程
B．工人师傅通常给刚装的门框上斜着钉一个木条来固定门框
C．直角三角形中斜边大于直角边
D．把一根木条固定在墙上至少需要两根钉子
10．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
11．（2025·河南驻马店·模拟预测）已有一根长为3的木棒，从长分别为1，2，3的三根同材质木棒中再任意抽取两根，三根木棒能组成三角形的概率是 ．
12．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ．
13．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ．
14．（2025·河南平顶山·一模）三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ．
专练二、三角形内（外）角和定理的应用
15．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·河南信阳·三模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·河南漯河·三模）将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点落在直尺下边缘上，直尺上边缘经过三角尺的顶点和边上一点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（ ）
A．B．C．D．
19．（2025·河南平顶山·一模）一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
20．（2025·河南·模拟预测）一副三角尺按如图所示的位置摆放（直角顶点重合，两条直角边分别共线），则的度数为（ ）
A．B．C．D．
21．（2025·河南平顶山·一模）如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
22．（2025·河南周口·一模）将一块直尺与一块三角尺如图放置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
专练三、全等三角形的性质和应用
23．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在和中，，若点是线段的中点，则下列哪个条件不能使和全等（ ）
A．B．
C．D．
24．（2025·河南周口·三模）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
25．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，D为上一点，其坐标为，将等腰直角三角形 绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒后点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·河南周口·一模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点、水平方向为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
27．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，，，P是边上一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值是 ．
28．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，平分，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．
29．（2025·河南·二模）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
30．（2025·河南周口·二模）在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线．
【问题初探】
（1）如图1，延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．请你猜想与的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点G的运动过程中存在最大值．若请直接写出的最大值．
专练四、角平分线性质与判定
31．（2025·河南平顶山·模拟预测）手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中，，为直角，则该圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
32．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A．B．C．D．
33．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ．
34．（2025·河南信阳·模拟预测）在矩形中，平分，且与直线相交于点E，作点D关于的对称点，与矩形的边相交于点P，若，，则的长为 ．
35．（2025·河南焦作·一模）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若（1）中的平分线交于点，且，求的长．
专练五、线段垂直平分线的性质和判定
36．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
37．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
38．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是 ．
39．（2025·河南信阳·模拟预测）等腰三角形中，腰的垂直平分线交底边于点，垂足为点，若，当为直角三角形时，则点到的距离为 ．
40．（2025·河南驻马店·三模）定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形．
41．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明．
42．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点E，交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的值．
43．（2025·河南郑州·二模）如图，在 中，，D 是 边的中点．
(1)用无刻度的直尺和圆规在边上作点E， 使（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 并延长至点F， 使，连接， 求证：．
专练六、等腰三角形的性质与判定
44．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
45．（2025·河南驻马店·三模）正方形中，点是的中点，点在边上，且不与点，重合，当为等腰三角形时，的值为 ．
46．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为 ，的最小值为 ．
47．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的角平分线交于，求证：．
48．（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
49．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，中．
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线，交于点；
②作，交延长线于点；
(2)判断与的数量关系并证明．
50．（2025·河南周口·三模）某数学兴趣小组进行了一次有趣的数学探究：如图（a）所示，在钝角 的边上任取一点，过点作，以点为圆心、的长为半径画弧，交射线于点，在上任取一点，作射线，交射线于点，当点在上移动时，点也随之移动，是否存在某个时刻， 恰好等于呢？
经过试验、猜想、推理验证，可以发现：当 时，．
请你根据以上信息，将“已知”补充完整，并根据图形中所添加的辅助线，写出“证明”过程．
已知：如图（a）所示，点在钝角 的边上，，以点为圆心、的长为半径画弧，交射线于点，点在上，射线交于点， （填与的数量关系）．
求证：
证明：如图（b）所示，连接．
专练七、等边三角形的性质与判定
51．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
52．（2025·河南周口·三模）将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
53．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ）
A．27B．18C．24D．20
54．（2025·河南驻马店·三模）如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，为的中点．若，则的最大值为 ，最小值为 ．
专练八、三角形与函数的综合问题
55．（2025·河南郑州·三模）如图①，，是上的两定点，圆上一动点从点出发，按逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是，图②是随变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ）
A．的半径为B．，两点间的距离为
C．点的运动速度为 D．的度数为
56．（2025·河南周口·三模）如图1，在中，，点从点出发，沿折线运动，是边上一定点．设点运动的路程为，的长度为，图2是点运动时随变化的关系图象，则边的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
57．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
58．（2025·河南·模拟预测）如图1，点从的顶点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向匀速运动．图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A．12B．30C．60D．48
59．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点．
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积．
60．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求证：；
(3)直接写出阴影部分的面积．
61．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若反比例函数的图象经过点，求k的值；
(3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．
62．（2025·河南·一模）如图，点B为反比例函数图象上的一点，过点B分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，C，连接AC，OA，OC，四边形OABC的面积是3．
(1)求k的值．
(2)点B在反比例函数的图象上移动，当平分与x轴正半轴的夹角时，求证：是的平分线．