中考数学——锐角三角函数及其应用(练习)(含答案)

这是一份中考数学——锐角三角函数及其应用(练习)(含答案)，共196页。试卷主要包含了利用这些公式求出下列三角函数值等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc188270173"
\l "_Tc188270174" ?题型01 理解锐角三角函数的概念
\l "_Tc188270175" ?题型02 求角的三角函数值
\l "_Tc188270176" ?题型03 由三角函数求边长
\l "_Tc188270177" ?题型04 由特殊角的三角函数值求解
\l "_Tc188270178" ?题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
\l "_Tc188270179" ?题型06 特殊角三角函数值的混合运算
\l "_Tc188270180" ?题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数
\l "_Tc188270181" ?题型08 已知角度比较三角函数值的大小
\l "_Tc188270182" ?题型09 利用同角的三角函数求解
\l "_Tc188270183" ?题型10 三角函数综合
\l "_Tc188270184" ?题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
\l "_Tc188270185" ?题型12 特殊角三角函数值的另类应用
\l "_Tc188270186" ?题型13 在网格中求锐角三角函数值
\l "_Tc188270187" ?题型14 解直角三角形的相关计算
\l "_Tc188270188" ?题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
\l "_Tc188270189" ?题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
\l "_Tc188270190" ?题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
\l "_Tc188270191" ?题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
\l "_Tc188270192" ?题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题
\l "_Tc188270193" ?题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
\l "_Tc188270194"
\l "_Tc188270195"
?题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项错误的是（ ）
A．sinA=acB．csB=acC．tanA=abD．tanB=bc
2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（ ）．
A．ADABB．BDADC．BDBCD．DCBC
3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中作△ABC，使tan∠A=1．
(2)在图②中作△ABD，使tan∠A=12．
(3)在图③中作△ABE，使tan∠A=2．
?题型02 求角的三角函数值
4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是5:1，且较大的锐角为θ，则sinθ等于（ ）
A．5B．55C．12D．255
5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则csα的值为（ ）
A．34B．43C．35D．45
6．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE 分别是边AC、AB上的中线，且 BD⊥CE，那么tan∠ABC= ．
7．（2024·北京·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知∠BAD=α，用两种方法表示△ABC的面积______
【探究】你能否从这里得出sin2α的计算公式呢？
?题型03 由三角函数求边长
8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,OP=10，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果sinα=35，那么点P坐标为 ．
9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D为直线BC边上一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转45°得到AE，连接BE，若BC=2，则BE的最小值为 ．
10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是（ ）
A． 2+3，−3B． 3，−3C． 1+3，−3D． 3，−6
11．（2024·安徽·三模）如图，△ABC中，AB=30，以AB为直径的⊙O经过点C，交△ABC的角平分线AD于点D，DE是⊙O的切线，交AC延长线于点E．
(1)求证：BC∥DE；
(2)延长AB交ED的延长线于点F，tan∠F=34，求CE的长．
?题型04 由特殊角的三角函数值求解
12．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tan∠A的值（ ）
A．12B．32C．33D．3
13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中两边长如下：AB=π−30+2sin30°；AC=22，求BC边上的高线长．
14．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cs60°,−3) 关于x轴对称，如果函数y=kx的图象经过点A，那么k= ．
15．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+3×122= ．
?题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若csA−22+1−tanB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 三角形．
17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
?题型06 特殊角三角函数值的混合运算
18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：3−22−15+30+2cs30°−1tan45°；
（2）化简求值：m2−2m−1n÷m2+n2n−5n⋅m2n+2nm+2，m、n为方程x2−3x+1=0的两根．
19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x−2−x÷x−1x2−4x+4，其中x=−sin30°．
20．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：6sin45°−1−2−8×π−20240+12−2．
?题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数
21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面AB的坡度 i=1:3，则斜坡AB的坡角的度数为 °．
22．（2023·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若tanA−3+2sinB−22=0，则∠C的度数为 ．
23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m，且l∥m．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为3，虚线长度为2，则虚线与m所夹钝角的度数为（ ）
A．110°B．120°C．135°D．150°
24．（2023·安徽六安·二模）如图，⊙C过原点O，与x轴、y轴分别交于A､D两点，已知C−1,n,OD=23，则弧OD的长为 ．

?题型08 已知角度比较三角函数值的大小
25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若0°0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=kxk>0,x>0的图象交于点C．若BC=5，则点B的坐标是（ ）
A．0,5B．0,3C．0,4D．0,25
10．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）

A．asinθ千米B．asinθ千米C．acsθ千米D．acsθ千米
11．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
12．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
13．（2024·山东青岛·中考真题）计算：18+13−1−2sin45°= ．
14．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cs∠ABC=35，则半径OC的长为 ．
15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
16．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
17．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行．小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
18．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinD=35，求BD的长．
19．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB= ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
21．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；
（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为_________；
【解决问题】（3）求MN的长．
22．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CE=1，sin∠BAD=13，求⊙O的直径．
第四章 三角形
第22讲 锐角三角函数及其应用
项目
测量古城墙的高度
测量工具
测角仪，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
说明
点A，B在古城墙的地面边缘线EF上，点C，D在古城墙的上部边缘线GH上，且EF∥GH
测量数据
∠CAB=65.6°，
∠CBA=39.4°，
AB=22m
∠DAB=65.6°，
∠CBA=39.4°，
AB=15m
∠CAF=65.6°，
∠CBA=39.4°，
AB=10m
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角∠DAB=60°，篷面宽AD=3米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即AN=1米，支架MN与墙面的夹角∠AMN=45°．
素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角α的正切值
4
3
2.5
2
素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1
确定安装点
请求出支架MN的固定点M与A点的距离AM的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．
探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系
背景介绍
在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知．
而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．
建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．
实践任务
以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．
资料查阅
1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度(ℎ)=室外设计地面至檐口的高度（ℎ1）+(12)檐口至屋脊的高度（h2）．
如图1，建筑高度ℎ=ℎ1+12ℎ2．
2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度ℎ2/半坡宽度W≈0.5．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造．
模型初建
将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，△ABC为等腰三角形， AB=AC，假定BC=8米，DF=10米．
图3
模型优化
屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力．
学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30的圆弧．如图所示，弧AB和弧AC是半径为17m、圆心角为30的圆弧，檐口B到地面的距离为15m．
补充模型
从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线．
如图5所示，折线C−M1−M2−M3−A为宋代常见的一种屋顶建筑．N1、N2、N3是△ABC中AB边上的四等分点，过N1作N1P1⊥AB交AC于P1，将P1降低110BC米得到M1，连接AM1；重复上述步骤，过N2作N2P2⊥AB交AM1于P2，将P2降低120BC米得到M2，连接AM2；过N3作N3P3⊥AB交AC于P3，将P3降低140BC米得到M3，连接AM3；
“举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．
图5
问题解决
任务1
模型初建
（1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；
任务2
模型优化
（2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，3≈1.7）；
任务3
补充模型
（3）若M3N3=1，求出屋脊与檐口竖直高度BC．
图序
角平分线AD的长
∠BAD的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
60°
2
4
4
图②
1
45°
2
22
2
图③
1
30°
______
______
______
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc188270174" ?题型01 理解锐角三角函数的概念
\l "_Tc188270175" ?题型02 求角的三角函数值
\l "_Tc188270176" ?题型03 由三角函数求边长
\l "_Tc188270177" ?题型04 由特殊角的三角函数值求解
\l "_Tc188270178" ?题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
\l "_Tc188270179" ?题型06 特殊角三角函数值的混合运算
\l "_Tc188270180" ?题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数
\l "_Tc188270181" ?题型08 已知角度比较三角函数值的大小
\l "_Tc188270182" ?题型09 利用同角的三角函数求解
\l "_Tc188270183" ?题型10 三角函数综合
\l "_Tc188270184" ?题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值
\l "_Tc188270185" ?题型12 特殊角三角函数值的另类应用
\l "_Tc188270186" ?题型13 在网格中求锐角三角函数值
\l "_Tc188270187" ?题型14 解直角三角形的相关计算
\l "_Tc188270188" ?题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
\l "_Tc188270189" ?题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题
\l "_Tc188270190" ?题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题
\l "_Tc188270191" ?题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题
\l "_Tc188270192" ?题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题
\l "_Tc188270193" ?题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）
?题型01 理解锐角三角函数的概念
1．（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项错误的是（ ）
A．sinA=acB．csB=acC．tanA=abD．tanB=bc
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可．
【详解】解：A．sinA=ac，正确，故该选项不符合题意；
B．csB=ac ，正确，故该选项不符合题意；
C．tanA=ab ，正确，故该选项不符合题意；
D．tanB=ba，原表示方法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（ ）．
A．ADABB．BDADC．BDBCD．DCBC
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A．ADAB=csA，不符合题意；
B．BDAD=tanA，不符合题意；
C．BDBC=cs∠DBC=csA，不符合题意；
D．DCBC=sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中作△ABC，使tan∠A=1．
(2)在图②中作△ABD，使tan∠A=12．
(3)在图③中作△ABE，使tan∠A=2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由于tan∠A=1，因此作一个以B为直角顶点或以C为直角顶点的等腰直角三角形即可；
（2）由于tan∠A=12，因此作一个以D为直角顶点的直角三角形，其中BD=2，AD=22；
（3）由于tan∠A=2，因此作一个以E为直角顶点的直角三角形，其中BE=22，AE=2．
【详解】（1）解：如图，△ABC为所求作的三角形．
或
（2）解：如图，△ABD为所求作的三角形．
（3）解：如图，△ABE为所求作的三角形．
【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，在网格中作直角三角形，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义，网格中作垂线的方法．
?题型02 求角的三角函数值
4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是5:1，且较大的锐角为θ，则sinθ等于（ ）
A．5B．55C．12D．255
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
设斜边与一直角边分别为5k、k，利用勾股定理列式求出另一直角边，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：设斜边与一直角边分别为5k、k，
由勾股定理得，另一直角边5k2−k2=2k，
∵较大的锐角为θ，
∴sinθ=2k5k=255，
故选：D．
5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则csα的值为（ ）
A．34B．43C．35D．45
【答案】D
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，根据正方形面积计算公式可得c2=25，b−a2=1，则b−a=1，c=5，再由勾股定理得到a2+a+12=252，解方程求出a的值，进而求出b的值，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，
∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴c2=25，b−a2=1，
∴b−a=1，c=5，
∴b=a+1，
由勾股定理得a2+b2=c2，
∴a2+a+12=252，
∴a=3或a=−4（舍去），
∴b=4，
∴csα=bc=45，
故选：D．
6．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE 分别是边AC、AB上的中线，且 BD⊥CE，那么tan∠ABC= ．
【答案】3
【分析】设BD与CE交于Q，连接AQ并延长交BC于点H，由题意得，点Q为△ABC的重心，则H为BC中点，AQ=2QH，则△QBH为等腰直角三角形，设QH=m，则BH=m,AQ=2m，即可求解．
【详解】解：设BD与CE交于Q，连接AQ并延长交BC于点H，
由题意得，点Q为△ABC的重心，
∴H为BC中点，AQ=2QH
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∵BD⊥CE，H为BC中点
∴QH=HB=HC=12BC，
∵AH⊥BC，
∴△QBH为等腰直角三角形，
∴设QH=m，则BH=m,AQ=2m，
∴tan∠ABC=AHBH=3mm=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（2024·北京·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知∠BAD=α，用两种方法表示△ABC的面积______
【探究】你能否从这里得出sin2α的计算公式呢？
【答案】题空：S△ABC=12AD⋅BC，S△ABC=12BH
探究：sin2α=2sinαcsα
【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键．
填空：根据等腰三角形性质得到AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC，其面积的两种表示法为S△ABC=12AD⋅BC，S△ABC=12AC⋅BH=12BH，
探究：得到BH=AD⋅BC，结合等腰三角形性质得到BH=2AD⋅BD，根据∠BAD=α，∠BAC=2α，sin2α=BH，sinα=BD，csα=AD，即得sin2α=2sinαcsα．
【详解】题空：
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC，
∴S△ABC=12AD⋅BC，S△ABC=12AC⋅BH=12BH，
故答案为：S△ABC=12AD⋅BC，S△ABC=12BH；
探究：
∴BH=AD⋅BC，
∵BC=2BD，
∴BH=2AD⋅BD，
∵∠BAD=α，
∴∠BAC=2α，
∴sin2α=BHAB=BH，sinα=BDAB=BD，csα=ADAB=AD，
∴sin2α=2sinαcsα．
?题型03 由三角函数求边长
8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,OP=10，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果sinα=35，那么点P坐标为 ．
【答案】8,6
【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答．
本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，
∵sinα=PMOP=35，OP=10，
∴PM=10×35=6，
∴OM=OP2−PM2=102−62=100−36=64=8，
∴点P8,6．
故答案为：8,6．
9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D为直线BC边上一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转45°得到AE，连接BE，若BC=2，则BE的最小值为 ．
【答案】2
【分析】连接CE，先证明△ACE≌△ABDSAS，得到点E在直线CE上运动，过点B作BG⊥CE于点G，解答即可．
【详解】解：连接CE，
∵AB=AC，∠BAC=45°，AD=AE，∠DAE=45°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−45°2=67.5°，∠ADE=∠AED=180°−45°2=67.5°，
∴∠BAD=∠CAD+45°=∠CAE，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ACE≌△ABDSAS，
∴CE=BD，∠ABD=∠ACE=67.5°．
故点E在直线CE上运动，∠BCG=45°，
过点B作BG⊥CE于点G，
根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，BE取得最小值，
∵BC=2，
∴BG=BE=BCsin45°=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键．
10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是（ ）
A． 2+3，−3B． 3，−3C． 1+3，−3D． 3，−6
【答案】C
【分析】如图，连接AC，AC'，作CM⊥x轴于M，作C'N⊥x轴于N，由菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，可得BC=2，∠BAC=30°，∠ABC=120°，则∠CBM=60°，BM=BC⋅cs60°=1，CM=BC⋅sin60°=3，AC=2CM=23，由旋转的性质可知，AC'=AC，∠C'AC=90°，则∠C'AN=60°，AN=AC'⋅cs60°，C'N=AC'⋅sin60°，计算求解，进而可得点C1的坐标．
【详解】解：如图，连接AC，AC'，作CM⊥x轴于M，作C'N⊥x轴于N，
∵菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，
∴BC=2，∠BAC=30°，∠ABC=120°，
∴∠CBM=60°，
∴BM=BC⋅cs60°=1，CM=BC⋅sin60°=3，
∴AC=2CM=23，
由旋转的性质可知，AC'=AC=23，∠C'AC=90°，
∴∠C'AN=60°，
∴AN=AC'⋅cs60°=3，C'N=AC'⋅sin60°=3，
∴点C1的坐标是1+3，−3，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标等知识．熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标是解题的关键．
11．（2024·安徽·三模）如图，△ABC中，AB=30，以AB为直径的⊙O经过点C，交△ABC的角平分线AD于点D，DE是⊙O的切线，交AC延长线于点E．
(1)求证：BC∥DE；
(2)延长AB交ED的延长线于点F，tan∠F=34，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接OD，交BC于点M．由角平分线的定义可得出∠BAD=∠DAC，进而可得出BD=CD，进而可得出∠OMC=90°，由圆的切线性质可得出∠ODE=90°，进而可判定BC∥DE．
（2）先得出OM为△ABC的中位线，由三角形中位线的性质可得出OM=12AC，由直径所对的圆周角等于90°可得出∠ACB=90°，由（1）得结论可得出∠E=∠ACB=90°，∠F=∠ABC，进而证明四边形CEDM是矩形，由矩形的性质可得出CE=MD，由正切的定义得出tan∠F=tan∠ABC=ACBC=34，设AC=3x，则BC=4x，由勾股定理得3x2+4x2=302，进而可求出AC，OM，最后根据CE=MD=OD−OM即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，交BC于点M．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∵DE是⊙O切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠OMC=∠ODE=90°，
∴BC∥DE．
（2）由（1）可知，点M为BC中点，
∴OM为△ABC的中位线，
∴OM=12AC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB=90°，∠F=∠ABC，
又∵∠OMC=∠ODE=90°，
∴四边形CEDM是矩形，
∴CE=MD，
在Rt△ABC中，tan∠F=tan∠ABC=ACBC=34
设AC=3x，则BC=4x，
由勾股定理得3x2+4x2=302，
解得x=6，
∴AC=18，
∴OM=9，
∴CE=MD=OD−OM=15−9=6．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，圆切线的性质，直径所对的圆周角等于90°，正切的定义，矩形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
?题型04 由特殊角的三角函数值求解
12．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tan∠A的值（ ）
A．12B．32C．33D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，以及直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得出∠A，然后根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：如下图：
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2
∴∠A=90°×13=30°，
∴tan∠A=tan30°=33．
故选：C．

13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中两边长如下：AB=π−30+2sin30°；AC=22，求BC边上的高线长．
【答案】263
【分析】先计算AB=π−30+2sin30°=1+1=2，勾股定理求得BC=AC2+AB2=23，利用直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数，勾股定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键．
【详解】解：∵AB=π−30+2sin30°=1+1=2，AC=22，∠A=90°，
∴BC=AC2+AB2=23，
设BC边上的高线长为h，
根据题意，得12AC·AB=12BC·ℎ，
∴ℎ=22×223=263．
14．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cs60°,−3) 关于x轴对称，如果函数y=kx的图象经过点A，那么k= ．
【答案】32/123
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知A点坐标；代入函数关系式求解．主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点．
【详解】解：∵cs60°=12，
∴点B12，−3，
∵点A与点B(cs60°,−3) 关于x轴对称
∴点A为12，3，
∵函数y=kx的图象经过点A，
∴k=3×12=32．
故答案为：32．
15．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+3×122= ．
【答案】12+32
【分析】本题实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值和二次根式化简，再计算即可．
【详解】sin30°+3×122=12+3×122=12+18=12+32，
故答案为：12+32．
?题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若csA−22+1−tanB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 三角形．
【答案】等腰直角
【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
根据绝对值和平方的非负性可得，csA−22=0，1−tanB=0，求得∠A，∠B，即可求解．
【详解】解：由csA−22+1−tanB2=0可得
csA−22=0，1−tanB=0，
即csA=22，tanB=1，
解得：∠A=45°，∠B=45°，则∠C=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断∠A=30°，∠B=60°，从而可求出∠C=90°，即证明△ABC的形状是直角三角形．
【详解】∵∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−30°−60°=90°，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
?题型06 特殊角三角函数值的混合运算
18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：3−22−15+30+2cs30°−1tan45°；
（2）化简求值：m2−2m−1n÷m2+n2n−5n⋅m2n+2nm+2，m、n为方程x2−3x+1=0的两根．
【答案】（1）0；（2）m+1m2−2+12mn，152
【分析】（1）先化简零指数幂，二次根式，代入三角函数值，在进行加减运算即可求解．
（2）先将括号里面的通分，进行因式分解，再将除法转成乘法运算，约分化简，再根据根与系数关系和代入m值后，得到m2−3m+1=0，nm=1，再代入原式求解即可．
【详解】（1）解：原式=2−3−1+2×32−1
=2−3−1+3−1
=0．
（2）解：原式=m2−2n−mmn⋅nm2−4n2⋅m2+4n2+4mn2mn
=m2−2n−mmn⋅nm−2nm+2n⋅m+2n22mn
=m2+m+2n2m2n
=m2+12mn+1m2
=m+1m2−2+12mn．
∵m、n为方程x2−3x+1=0的两根，
∴m2−3m+1=0，nm=1，
∴m+1m=3，
∴原式=32−2+12=152．
【点睛】本题考查分式化简求值，零指数幂，二次根式化简求值和特殊角三角函数，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x−2−x÷x−1x2−4x+4，其中x=−sin30°．
【答案】2x−4；−5
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再根据30度角的正弦值为12求出x=−12，最后代值计算即可．
【详解】解：x2−2x−2−x÷x−1x2−4x+4
=x2−2x−2−xx−2x−2÷x−1x−22
=x2−2−x2+2xx−2⋅x−22x−1
=2x−1x−2⋅x−22x−1
=2x−2
=2x−4
当x=−sin30°=−12时，原式=2×−12−2=−1−4=−5．
20．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：6sin45°−1−2−8×π−20240+12−2．
【答案】5
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零次幂，负指数幂的计算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
先算特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的化简，零次幂的值，负指数幂的值，最后再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：6sin45°−1−2−8×π−20240+12−2
=6×22+1−2−22×1+4
=32+1−2−22+4
=5．
?题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数
21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面AB的坡度 i=1:3，则斜坡AB的坡角的度数为 °．
【答案】30
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡AB的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵tanA=i=13=33 ，
∴∠A=30°，
故答案为：30．
22．（2023·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若tanA−3+2sinB−22=0，则∠C的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．根据绝对值和偶次方的非负性可得：tanA−3=0，2sinB−2=0，从而可得tanA=3，sinB=22，进而可得∠A=60°，∠B=45°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ tanA−3+2sinB−22=0，
∴tanA−3=0，2sinB−2=0，
∴tanA=3，sinB=22，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=75°，
故答案为：75°．
23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m，且l∥m．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为3，虚线长度为2，则虚线与m所夹钝角的度数为（ ）
A．110°B．120°C．135°D．150°
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，求出虚线与m所夹锐角的正弦值即可．
【详解】如图，设虚线与l、m的交点分别为M、N，过M作直线m的垂线交于点Q，
由题意可得MQ=3，MN=2，
设虚线与直线m所夹锐角为θ，
则sinθ=MQMN=32，
∴θ=60°，
即虚线与直线m所夹钝角为120°．
故选：B．
24．（2023·安徽六安·二模）如图，⊙C过原点O，与x轴、y轴分别交于A､D两点，已知C−1,n,OD=23，则弧OD的长为 ．

【答案】4π3
【分析】如图，连接OC，OD，过C作CH⊥OD于H，由C−1,n,OD=23，可得CH=1，OH=DH=3，∠OCH=∠DCH，可得OC=3+1=2，∠OCH=60°，∠OCD=2∠OCH=120°，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OC，OD，过C作CH⊥OD于H，

∵C−1,n,OD=23，
∴CH=1，OH=DH=3，∠OCH=∠DCH，
∴tan∠OCH=OHCH=3，OC=3+1=2，
∴∠OCH=60°，∠OCD=2∠OCH=120°，
∴OD的长为120π×2180=43π；
故答案为：43π
【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的求解∠OCD=120°是解本题的关键．
?题型08 已知角度比较三角函数值的大小
25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若0°5．
【点睛】本题主要考查垂径定理、切线定理、解直角三角形、勾股定理和弧长公式，解题的关键是熟悉圆的知识和解直角三角形．
73．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【答案】（1）建筑高度为11；（2）17（米）；（3）竖直高度是6米
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，构造直角三角形是解题的关键．
（1）过A作AH⊥BC于H,则BH=BC=23,然后利用勾股定理求出AH=2,解题即可；
（2）在⊙O1上找到一点M，使得∠MO1B=∠AO1B=30∘，得到△AO1M是等边三角形，即可得到AM=O1A=17，过A作MB上的高AH，可知∠ABH=30∘，利用勾股定理得到AB2=AM22+3，代入数值计算即可；
（3）根据题意得到△ABC∽△AN1P1，进而得到ABAN1=BCN1P1，求出N1P1=34BC，同理可以得到N2M2和N3M3的值即可求出BC的长．
【详解】（1）过A作AH⊥BC于H,
由AB=AC知，BH=BC=23,
在Rt△ABH中，∠AHB=30∘，∠ABC=30∘,
∴AH=12AB，
由勾股定理得，AB2=AH2+BH2，
∴AH=2,
根据资料信息可得：建筑高度H=DF+AH=10+2×12=11（米）
答：建筑高度为11米；
（2）ℎ2的值为4米；H的高度为17米
在⊙O1上找到一点M，使得∠MO1B=∠AO1B=30∘
所以MB=AB
∵MO1=AO1，∠MO1A=60∘
∴△AO1M是等边三角形，
所以可得AM=O1A=17
在△ABM中，MB=AB，∠AMB=12∠AO1B=15∘
过A作MB上的高AH，可知∠ABH=30∘，
则AB=2AH，BH=3AH
在Rt△AMH中，AM2=AH2+MH2，
∴AB2=AM22+3
由资料可得，檐口B与屋脊A的竖直高度/檐口B与屋脊A的水平宽度=1:2，
所以ℎ22=15AB2，即ℎ2=15AB2≈15⋅1722+1.7≈15.6≈4
所以建筑高度H=15+12BN≈17（米）
（3）由题知N1P1⊥AB，N1P1⊥AB，N1P1⊥AB
则∠AN1P1=∠AN2P2=∠AN3P3=90∘
又因为∠ABC是公共角
那么△ABC∽△AN1P1，
所以ABAN1=BCN1P1，
同理可得△AN1M1∽△AN2P2，△AN2M2∽△AN3P3
∴AN1AN2=N1M1N2P2，AN2AN3=N2M2N3P3，
因为N1是线段AB的四等分点，所以AN1=34AB
可得N1P1=34BC，
则N1M1=N1P1−M1P1=34BC−110BC，
同理可得N2P2=23N1M1=2334BC−110BC，
则N2M2=N2P2−M2P2=2334BC−110BC−120BC，
同理可得N3P3=12N2M2=122334BC−110BC−120BC，
则N2M3=N3P3−M3P3=122334BC−110BC−120BC−140BC=1，
解得：BC=6，
答：竖直高度是6米．
1．（2024·山西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF=∠CAF，线段的延长线交于点G．若AB=5，AD=4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 ．
【答案】20519/20195
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键．
如图：过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，由tan∠ABC=AEBE=2得AE=2BE，进而得BE=1 ，AE=2，则CE=3，AC=13，再由∠ACF=∠CAF得FA=FC，则AH=CH=132，由S△FAC=12AC·FH=12AF·CE，得FH=AF⋅CEAC=3AF13，在Rt△AFH中由勾股定理得AF=134，则EF=AF−AE=54，证明△FCE∽△FKA得AK=395，则DK=AK−AD=195，再证明△KDC∽△KAG得AG=39519，由此可得BG的长．
【详解】解：如图：过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=5,BC=AD=4，AB∥CD，BC∥AD，
又∵AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=2，
∴AE=2BE，
由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，即2BE2+BE2=52，
∴BE=1，
∴AE=2BE=2，
∴CE=BC−BE=3，
在Rt△ACE中，由勾股定理得： AC=AE2+CE2=13，
∵∠ACF=∠CAF，
∴FA=FC，
∵FH⊥AC，
∴AH=CH=12AC=132，
∵S△FAC=12AC⋅FH=12AF⋅CE，
∴FH=AF⋅CEAC=3AF13，
在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF2−FH2=AH2，即AF2−3AF132=1322，
∴AF=134，
∴EF=AF−AE=54，
∵BC∥AD，
∴△FCE∽△FKA，
∴EF：AF=CE：AK，即54:134=3:AK，
∴AK=395，
∴DK=AK−AD=195，
∵AB∥CD，
∴△KDC∽△KAG，
∴DK：AK=CD：AG，即195:395=5:AG，
∴AG=39519，
∴BG=AG−AB=39519−5=20519．
故答案为：20519．
2．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB=2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 cm（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin80°≈0.9848,cs80°≈0.1736,tan80°≈5.6713,3≈1.732）
【答案】34.1
【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点C作CH⊥BE交BE于点H，过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F，根据∠ABE=120°，求出∠ABF=60°，根据sin∠ABF=AFAB，求出AF，根据∠CBE=80°，sin∠CBE=CHBC，求出CH，根据该陶盉管状短流口A距地面的高度为：AF+CH+21.5，即可．
【详解】解：过点C作CH⊥BE交BE于点H，过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F，
∴∠AFB=∠CHB=90°，
∵∠ABE=120°，
∴∠ABF=60°，
∴sin∠ABF=AFAB=sin60°，
∵AB=2cm，
∴AF2=32，
∴AF=3cm=1.732cm，
∵∠CBE=80°，BC=11cm，
∴sin∠CBE=CHBC=CH11=0.9848，
∴CH=10.8328cm，
∴该陶盉管状短流口A距地面的高度为：AF+CH+21.5=1.732+10.8328+21.5≈34.1(cm)．
故答案为：34.1．
3．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)8cs12°cm
(2)8cs12°+20−8sin12°cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出BE=8cm，再在Rt△BEG中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，先解直角三角形可得EG的长，从而可得DP,BQ的长，再判断出Rt△BMQ是等腰直角三角形，从而可得QM,PN的长，最后根据DN=DP+PN求解即可得．
【详解】（1）解：∵AB=24cm,BE=13AB，
∴BE=8cm，
由题意可知，BG⊥DE，
在Rt△BEG中，∠ABG=12°，
∴BG=BE⋅cs∠ABG=8cs12°cm，
答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cs12°cm．
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，
则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形，
∴∠PBG=90°,DP=BG=8cs12°cm,BP=DG,PQ=MN=8cm,PN=QM，
在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8cm，
∴EG=BE⋅sin∠ABG=8sin12°cm，
∵DE=28cm，
∴BP=DG=DE−EG=28−8sin12°cm，
∴BQ=BP−PQ=20−8sin12°cm，
∵∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°，
∴∠MBQ=45°，
∴Rt△BMQ是等腰直角三角形，
∴QM=BQ=20−8sin12°cm，
∴DN=DP+PN=DP+QM=8cs12°+20−8sin12°cm，
答：线段DN的长度为8cs12°+20−8sin12°cm．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
(1)求证：AG∥CD；
(2)求证：PA2=PG⋅PB；
(3)若sin∠APD=13，PG=6．求tan∠AGB的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据折叠可得AB⊥CD，根据切线的定义可得AG⊥AB，即可得证；
（2）根据题意证明∠PAG=∠ABD，进而证明△APG∽△BPA，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据sin∠APD=ADAP=13，设AD=a，则AP=3a，得出tan∠APD=24，根据折叠的性质可得出AC=AD=a，则PC=PA+AC=3a+a=4a，进而求得BD=2a，根据∠AGB=90°−∠GAD=∠DAB，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）解：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD=∠ABC，
∴∠CBD=2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD=180°−∠CAD=∠DBC=2∠ABD，
∴∠PAG=∠PAD−∠GAD=2∠ABD−∠ABD=∠ABD，
又∵∠APG=∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∴APBP=PGPA，即PA2=PG⋅PB；
（3）解：∵sin∠APD=ADAP=13，设AD=a，则AP=3a，
∴PD=AP2−AD2=22a，
∴tan∠APD=ADPD=a22a=24，
∵由折叠可得AC=AD=a，
∴PC=PA+AC=3a+a=4a，
∵在Rt△PCB中，tan∠CPB=CBPC=24，
∴BD=CB=24PC=2a，
∵AD⊥BD，GA⊥AB，
∴∠AGB=90°−∠GAD=∠DAB，
∴tan∠AGB=tan∠DAB=BDAD=2aa=2．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y=kx的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1x1,y1，P2x2,y2，则P1P2中点坐标为x1+x22,y1+y22．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y=kx图象上，求平行四边形OABC的面积；
(3)如图3，将直线l1:y=−34x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y=kxx>0图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和M1NOP的值．
【答案】(1)y=6x
(2)9
(3)2425
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得C2,3，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设Aa,0，根据平行四边形的性质可得B2+a,3，利用中点坐标公式可得D1+a,32，再把点D代入反比例函数解析式求得a=3，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线l2：y=−34x+6，联立方程组得x2−8x+8=0，设M1x1,y1、M2x2,y2，即x1+x2=8，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得P4,3，再利用勾股定理求得OP=5，求得直线与x、y轴的交点F8,0、E0,6，利用勾股定理求得EF=10，可得sin∠EFO=35，过点O作OG⊥l1，由平行线定理可得M1N=OG，利用锐角三角函数求得OG=245，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥AO，
∵点B的纵坐标为3．
∴C2,3，
把C2,3代入y=kx得，k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x；
（2）解：设Aa,0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=CB，
∵C2,3，
∴B2+a,3，
∵点D是AB边的中点，
∴Da+2+a2,0+32，即D1+a,32，
∵点D在反比例函数y=6x图象上，
把D1+a,32代入得，321+a=6，
解得a=3，
∴AO=3，
∴S▱OABC=3×3=9；
（3）解：∵将直线l1:y=−34x向上平移6个单位得到直线l2：y=−34x+6，
∵直线l2与函数y=kxx>0图象交于M1，M2两点，
∴联立方程组得，y=−34x+6y=6x，
即x2−8x+8=0，
设M1x1,y1、M2x2,y2，
∴x1+x2=8，
∵点P为M1M2的中点，
∴点P的横坐标为x1+x22=82=4，
把x=4代入y=−34x+6得，y=−34×4+6=3，
∴P4,3，
∴OP=32+42=5，
把x=0代入y=−34x+6得，y=6，
把y=0代入y=−34x+6得，−34x+6=0，
解得x=8，
∴直线l2:y=−34x+6与x、y轴交于点F8,0、E0,6，
∴OE=6，OF=8，
∴EF=62+82=10，
∴sin∠EFO=610=35，
过点O作OG⊥l1，
∵l1∥l2，
∴M1N=OG，
∵sin∠EFO=OGOF=35=OG8，
∴OG=245，
∴M1N=245，
∴M1NOP=2455=2425．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM+1BN的值是否变化？
【答案】（1）见解析； AB+ACAB⋅AC=2csα，（2）AB+AC=3AB⋅AC，证明见解析；（3）1BM+1BN是定值
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由AB=AC=ADcsα=1csα可得结论；
（2）如图，延长AB至E使AE=AC，连接CE，过B作BH⊥CE于H，延长AD交CE于F，证明△ACE为等边三角形，AF⊥CE，∠EAF=∠CAF=30°，设AC=AE=CE=2x，EH=a，利用相似三角形的性质求解a=23x2−2x23x−1，再进一步可得AB+AC=3AB⋅AC；
（3）根据题目要求画图，设∠A=α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α=36°，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN=S△BEM+S△BEN，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵∠BAD=∠CAD=30°，AD是△ABC的角平分线，AD=1，
∴AD⊥BC，
∴AB=AC=ADcs30°=132=233；
∴AB+AC=433，AB⋅AC=43；
如图，由（1）可得：AD⊥BC，
∴AB=AC=ADcsα=1csα，
∴AB+AC=2csα，AB⋅AC=1cs2α，
∴AB+ACAB⋅AC=2csα；
（2）猜想：AB+AC=3AB⋅AC，理由如下：
如图，延长AB至E使AE=AC，连接CE，过B作BH⊥CE于H，延长AD交CE于F，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴△ACE为等边三角形，AF⊥CE，∠EAF=∠CAF=30°，
设AC=AE=CE=2x，EH=a，
∴CF=EF=x，AF=3x，而AD=1，
∴DF=3x−1，
∵BH⊥CE，AF⊥CE，
∴BH∥AF，
∴∠EBH=∠EAF=30°，△CDF∽△CBH，
∴BE=2a，EH=3a，
∵△CDF∽△CBH，
∴DFBH=CFCH，即3x−13a=x2x−a，
解得：a=23x2−2x23x−1，
∴AB+AC=4x−2a=4x−23x2−2x23x−1=43x223x−1；
AB⋅AC=2x2x−2a=4x2−4ax=4x223−1，
∴AB+AC=3AB⋅AC；
（3）补全图形如图所示：
设∠A=α，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠A=α，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=2α，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴α+2α+2α=180°，
解得：α=36°，
∴∠A=∠ABD=∠CBD=36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN=S△BEM+S△BEN，
∴ 12BM⋅NG=12BM⋅EF+12BN⋅EH，
∵∠ABD=∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF=EH，
在Rt△BNG中，NG=BN⋅sin∠ABC=BN⋅sin72°，
∴BM⋅BN⋅sin72°=(BM+BN)⋅EH，
∴ sin72°EH=BM+BNBM⋅BN=1BM+1BN，
∵ EHBE=sin∠CBD=sin36°，
∴EH=BE⋅sin36°，
∴ 1BM+1BN=sin72°BEsin36°，
由△ABC是确定的，由作图可得BE为定长，而sin36°和sin72°为定值，
∴ sin72°BE⋅sin36°为定值，
即1BM+1BN为定值．
【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−34B．π−34C．π2−14D．无法确定
【答案】A
【分析】连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．证明△MDO≌△ND'OASA，推出S四边形MDNO=S△DD'O，利用S阴影=S扇形EOF−S△DOD'即可求解．
【详解】解：如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．
∵∠MOD+∠DON=∠NOD'+∠DON=60°，
∴ ∠MOD=∠NOD'，
∵在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，∠B=120°，
∴∠ADC=∠B=120°，OD⊥AC，
∴∠MDO=∠COD=12∠ADC=60°，
∵∠DOD'=60°，
∴∠DD'O=60°，
∴∠DD'O=∠MDO=60°，
∵OD=OD，
∴ △MDO≌△ND'OASA，
∴S四边形MDNO=S△DD'O．
∵∠CDO=60°，
∴DO=CD⋅cs∠CDO=12CD=12AB=1,AO=CO=CD⋅sin∠CDO=32CD=32AB=3，
∴S阴影=S扇形EOF−S四边形MDNO=S扇形EOF−S△DOD'=60π×(3)2360−=34×12=π2−34．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用S阴影=S扇形EOF−S△DOD'是解题的关键．
2．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37,cs22°≈0.93,tan22°=0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长BA交MN于点C，根据题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m，然后在Rt△CNB中，利用锐角三角函数的定义求出CN的长，从而求出MC的长，再在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长BA交MN于点C．
由题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m．
在Rt△CNB中，∠CNB=45°，
∴CN=BCtan45°=119m，
∴MC=MN+NC=193m．
在Rt△AMC中，∠AMC=22°，
∴AC=MC⋅tan22°≈193×0.4=77.2(m)，
∴AB=BC−AC=119−77.2≈42(m)．
故选B．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2B．2C．3D．5
【答案】A
【分析】连接AC交MN于点F，设AB=2m，则BC=2AB=4m，利用勾股定理求得AC=AB2+BC2=25m，由折叠得到AM=CM，MN垂直平分AC，则AF=CF=12AC=5m，由AB2+BM2=AM2代入求得AM=52m，则MF=AM2−AF2=52m，所以tan∠AMN=AFMF=2，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接AC交MN于点F，
设AB=2m，则BC=2AB=4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC=AB2+BC2=25m
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM=CM，MN垂直平分AC，
∴BM=BC−CM=4m−AM，∠AFM=90°，AF=CF=12AC=5m，
∵AB2+BM2=AM2，
∴2m2+4m−AM2=AM2
∴AM=52m，
∴MF=AM2−AF2=52m
∴tan∠AMN=AFMF=5m52m=2．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A．35B．75C．2114D．5714
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，则CE=12CD=12x，进而得出EH=CE⋅sin60°=34x,CH=CE⋅cs60°=14x，再得出BH=BC+CH=54x，最后根据sin∠EBC=EHBE，即可解答．
【详解】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCH=60°，
设BC=CD=x，
∵E是CD的中点，
∴CE=12CD=12x，
∵EH⊥BH，
∴EH=CE⋅sin60°=34x,CH=CE⋅cs60°=14x，
∴BH=BC+CH=54x，
BE=BH2+EH2=72x
∴sin∠EBC=EHBE=34x72x=2114，
故选：C．
5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（ ）
A．125564B．12564C．6427D．32327
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°，可得OAOB=OBOC=OCOD=⋯=cs30°=32，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴∠BOA=∠BOC=⋯=360°12=30°，
OAOB=OBOC=OCOD=⋯=cs30°=32，
∵OA=1，
∴OB=233=1×233，
OC=43=1×2332，
OD=1×2333=893，⋯
∴OG=1×2336=6427，
故选C
6．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．253米B．25米C．252米D．50米
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
设DC=x米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义表示出BC，再由AC−BC=AB=50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．
【详解】解：设DC=x米，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
tanA=DCAC，即tan30°=xAC=33，
整理得：AC=3x米，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，
tan∠DBC=DCBC，即tan60°=xBC=3，
整理得：BC=33x米，
∵AB=50米，
∴AC−BC=50，即3x−33x=50，
解得：x=253，
侧这栋楼的高度为253米．
故选：A．
7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（ ）

A．4B．43C．6D．63
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．
根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．
【详解】解：设半径为r，由题意得，2πr=8π，
解得r=4，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB=360°6=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OAB=60°，
∴弦AB所对应的弦心距为OA·sin60°=32OA=23，
∴S△AOB=12×4×23=43．
故选：B．
8．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则sin∠ABE=（ ）
A．55B．35C．45D．255
【答案】C
【分析】设EF=x，则AH=3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE=4x，再根据勾股定理可得AB=5x，即可求出sin∠ABE的值．
【详解】解：根据题意，设EF=x，则AH=3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH=BE=3x，EF=HE=x，
∴AE=4x，
∵∠AEB=90°，
∴AB=AE2+BE2=5x，
∴sin∠ABE=AEAB=4x5x=45，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A4,2在函数y=kxk>0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=kxk>0,x>0的图象交于点C．若BC=5，则点B的坐标是（ ）
A．0,5B．0,3C．0,4D．0,25
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出sin∠OAE、k值，再根据平移、平行线的性质证明∠DBC=∠OAE，进而根据sin∠DBC=CDBC=sin∠OAE求出CD，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定CD=2,OD=4，再运用勾股定理求得BD，进而求得OB即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则AE∥y轴，
∵A4,2，
∴OE=4，OA=22+42=25，
∴sin∠OAE=OEOA=425=255．
∵A4,2在反比例函数的图象上，
∴k=4×2=8．
∴将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC，
∴OA∥BC，
∴∠OAE=∠BOA，
∵AE∥y轴，
∴∠DBC=∠BOA，
∴∠DBC=∠OAE，
∴sin∠DBC=CDBC=sin∠OAE=255，
∴CD5=255，解得：CD=2，即点C的横坐标为2，
将x=2代入y=8x，得y=4，
∴C点的坐标为2,4，
∴CD=2,OD=4，
∴BD=BC2−CD2=1，
∴OB=OD−BD=4−1=3,
∴B0,3
故选：B．
10．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）

A．asinθ千米B．asinθ千米C．acsθ千米D．acsθ千米
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得：sinθ=ALAR=ALa
∴AL=asinθ千米
故选：A
11．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD=23，由圆周角定理可得∠AOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，
∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，
∴AD=12AB=23，
∵∠ABC=30°
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23，
∵sin∠AOD=ADOA，
∴OA=ADsin60°=2332=4，即⊙O的半径为4，
∵OP=5>4，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
12．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点G作GH⊥BC，证明△AGD∽△FGE，得到FGAG=EFAD=13，再证明△GHF∽△ABF，分别求出HG,FH的长，进而求出BH的长，勾股定理求出BG的长，再利用正弦的定义，求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，BE=EF=FC，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6,AD∥BC，BE=EF=FC=2，
∴△AGD∽△FGE，BF=4，
∴FGAG=EFAD=13，
∴FGAF=14
过点G作GH⊥BC，则：GH∥AB，
∴△GHF∽△ABF，
∴FHBF=GHAB=FGAF=14，
∴FH=14BF=1，GH=14AB=1，
∴BH=BF−FH=3，
∴BG=12+32=10，
∴sin∠GBF=HGBG=110=1010；
故选A．
13．（2024·山东青岛·中考真题）计算：18+13−1−2sin45°= ．
【答案】22+3/3+22
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：18+13−1−2sin45°
=32+3−2×22
=32+3−2
=22+3，
故答案为：22+3．
14．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cs∠ABC=35，则半径OC的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明∠EON=∠ABC，根据等边对等角推出∠A=∠OEC，则可证明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切线的性质得到∠OEN=90°，则解Rt△EON求出OE的长即可．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵OE=OC，BA=BC，
∴∠A=∠BCA，∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠EON=∠ABC，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OEN=90°，
∴在Rt△EON中，cs∠EON=cs∠ABC=OEON=35，
∴OE=35ON=6，
∴半径OC的长为6，
故答案为：6．
15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 ．
【答案】154
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出OA，当点C在x轴上移动时，作AB与AB'关于AC对称，且AB'交x轴于点D，由对称性质可知，AB'=AB，∠BAC'=∠DAC'，当AB'⊥x 轴于点D时，AB=AB'=AD+B'D最短，记此时点C所在位置为C'，作C'E⊥AB于点E，有DC'=EC'，设DC'=EC'=m，则OC'=OD−DC'=4−m，利用锐角三角函数sin∠AOD=EC'OC'=ADOA=35建立等式求出m，证明△C'DB'∽△ADC'，再利用相似三角形性质求出B'D，最后根据AB=AB'=AD+B'D求解，即可解题．
【详解】解：∵点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，
∴点A的坐标为4,3，
∴OA=5，
当点C在x轴上移动时，作AB与AB'关于AC对称，且AB'交x轴于点D，
由对称性质可知，AB'=AB，
当AB'⊥x 轴于点D时，AB=AB'=AD+B'D最短，记此时点C所在位置为C'，
由对称性质可知，∠BAC'=∠DAC'，
作C'E⊥AB于点E，有DC'=EC'，
设DC'=EC'=m，则OC'=OD−DC'=4−m，
∴sin∠AOD=EC'OC'=ADOA=35，
∴ m4−m=35，
解得m=32，
经检验m=32是方程的解，
∵∠AC'D+∠DC'B'=90°，∠DAC'+∠AC'D=90°，
∴∠DC'B'=∠DAC'，
∵∠C'DB'=∠ADC'=90°，
∴ △C'DB'∽△ADC'，
∴B'DDC'=DC'AD，
∴B'D32=323，
解得B'D=34，
∴ AB=AB'=3+34=154．
故答案为：154．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
16．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
【答案】(4,4−433)
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作C'F⊥AO，求出OF，C'F的值即可得到答案．
【详解】解：作C'F⊥AO，交y轴于点F，
由题可得：OA=4，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠OAC=30°，
∴OC=12AC，
在Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，
即16+(12AC)2=AC2，
解得AC=833，
∴AC'=AC=833，
OF=AO−AF=4−AC'⋅cs60°=4−433，
FC'=AC'⋅sin60°=833×32=4，
∴C'(4,4−433)，
故答案为：(4,4−433)．
17．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行．小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】11.8 m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过M点作ME⊥MN交CD于E点，由平行线的性质及入射角等于反射角得∠CMD=56°，由正切函数得tan∠CMD=CDCM，即可求解；理解实际意义，掌握直角三角形的解法是解题的关键．
【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：
∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90∘，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形．
∴MC=AB=8，
AB∥CM，
∴∠NMC=180°−∠BNM
=180°−118°
=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90∘，
∴∠EMD=∠EMC
=90°−∠NMC
=90°−62°
=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，
tan∠CMD=CDCM，
∴ 1.48=CD8，
∴CD=11.84
≈11.8 m，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是11.8 m．
18．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinD=35，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=145
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ACO=∠DCO=12∠ACD，根据圆周角定理得出∠ABD=∠ACD=2∠ACO，证明CO∥DE，根据平行线的性质得出∠OCE=180°−∠CED=90°，得出OC⊥CE，即可证明结论；
（2）根据BC=BC，得出∠A=∠D，解直角三角形得出BC=AB×sinA=10×35=6，证明∠ECB=∠A，解直角三角形得出BE=35×6=185，根据勾股定理得出CE=BC2−BE2=62−1852=245，解直角三角形得出CD=53CE=53×245=8，根据勾股定理得出DE=CD2−CE2=82−2452=325，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠DCO=12∠ACD，
∵AD=AD，
∴∠ABD=∠ACD=2∠ACO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠COB=∠ACO+∠CAO=2∠ACO，
∴∠ABD=∠COB，
∴CO∥DE，
∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∵CO∥DE，
∴∠OCE=180°−∠CED=90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为5，
∴AB=2×5=10，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D，
∴sinA=sinD=35，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=AB×sinA=10×35=6，
∵∠ECB+∠BCO=∠BCO+∠ACO=90°，
∴∠ECB=∠ACO，
∵∠ACO=∠A，
∴∠ECB=∠A，
∴sin∠ECB=sinA=35，
即BEBC=35，
∴BE=35×6=185，
∴CE=BC2−BE2=62−1852=245，
∵sinD=CECD=35，
∴CD=53CE=53×245=8，
∴DE=CD2−CE2=82−2452=325，
∴BD=DE−BE=325−185=145．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
19．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形．
（1）根据平行四边形性质得出∠BAC=∠ACD，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出∠DAC=∠ACD，AD=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论；
（2）连接BD，由菱形性质可知∠COB=90°，OA=OC=12AC=4，∠ACB=12∠DCB=37°，在利用余弦求出BC长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠BAC=∠ACD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC．
∴∠DAC=∠ACD．
∴AD=CD．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形．AC=8，∠DCB=74°，
∴∠COB=90°，OA=OC=12AC=4，∠ACB=12∠DCB=37°，
∴BC=OCcs∠ACB=4cs37°≈40.8=5，
即菱形ABCD的边长为5．
20．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB= ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设PD=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x，再解Rt△APD得到AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA=2x海里，据此可得x+5=3x，解得AP=2x=53+5海里；证明∠C=∠APC，则AC=AP=53+5海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作PD⊥AC于D，
由题意得，∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15° ，
∴∠PAB=90°−∠APD=30°，∠APC=∠APD+∠CPD=75°；
∵一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴AB=10×0.5=5海里．
（2）解：设PD=x海里，
在Rt△PDB中，BD=PD⋅tan∠DPB=x海里，
在Rt△APD中，AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA=2x海里，
∵AD=AB+BD，
∴x+5=3x，
解得x=53−1=53+52，
∴AP=2x=53+5海里，
∵∠C=180°−∠A−∠APC=75°，
∴∠C=∠APC，
∴AC=AP=53+5海里；
上午9时时，船距离A的距离为10×1=10海里，
∵53+5−10=53−5≈5×1.73−5=3.65