中考数学 专题练习14 图形变换（河南专用）（原卷版）

这是一份中考数学 专题练习14 图形变换（河南专用）（原卷版），共27页。试卷主要包含了图形的平移，平移背景下的函数问题，图形的折叠与对称，图形旋转，平面直角坐标系中的对称问题，图形的旋转问题，图形旋转的综合问题，平面直角坐标系中的旋转问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、图形的平移
1．（2020·河南·中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
考点二、平移背景下的函数问题
3．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
考点三、图形的折叠与对称
4．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
5．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ．
6．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ．
考点四、图形旋转
7．（2021·河南·中考真题）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2014·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
9．（2022·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
10．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
专练一、几何图形的平移应用
11．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
12．（2025·河南驻马店·三模）如图1，扇形中，，，正方形的顶点D，C，E分别在，，上将正方形沿直线向右平移，得到正方形，其中点D的对应点N恰好与点C重合，如图2所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·河南焦作·二模）如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是
14．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为 ．
专练二、平面直角坐标中的平移问题
15．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点M是的中点，，，点B的纵坐标是将向左平移，使得点A与点M重合，则平移后点B的横坐标为（）
A．0B．C．D．
17．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·河南南阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、．
(1)直接写出点、的坐标；
(2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值．
19．（2025·河南信阳·三模）如图，等腰直角三角形的三个顶点坐标，反比例函数的图象经过点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象．
(3)若将等腰直角三角形向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好都在反比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值．
20．（2025·河南南阳·一模）如图，菱形的四个顶点都在格点上，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将菱形向右平移4.5个单位时，对角线的中点所在的反比例函数的解析式为______．
21．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，且．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
(3)将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围．

专练三、圆的折叠问题
22．（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
23．（2025·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，为半径上一点，将沿折叠，使得点的对应点恰好落在上，且．若，则阴影部分的周长为 （结果保留）．
24．（2025·河南周口·三模）如图，扇形中，，点为上一点，将扇形沿着折叠，恰好经过点，则阴影部分的面积为 ．
25．（2025·河南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，将沿弦翻折，翻折后经过圆心O．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．
26．（2025·河南洛阳·一模）如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为 ．
27．（2025·河南郑州·模拟预测）如图是一张半圆形纸片，是其直径，C是半圆O上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径于点．若点恰好落在点处．
(1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点(保留作图痕迹)；
(2)分别连接、、，请判断四边形的形状，并说明理由；
(3)连接，与、分别交于点F、G，则 ．
专练四、图形的折叠问题
28．（2025·河南驻马店·模拟预测）豫剧脸谱以色彩鲜明、图案夸张著称，通过不同颜色和图案表现人物性格、身份和命运．下面四张豫剧脸谱图片中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
29．（2025·河南郑州·三模）若一个图形上所有点的横坐标不变，纵坐标乘以，则所得图形与原图形的关系为（ ）
A．关于轴成轴对称图形B．关于轴成轴对称图形
C．关于原点成中心对称图形D．无法确定
30．（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，连接．若为直角三角形，则的长为 ．
31．（2025·河南·一模）在中，，点D，E分别是边，上的点，．连接，将沿折叠，得到．连接，当时，的长为 ．
32．（2025·河南驻马店·三模）如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（ ）
A．1B．C．D．
33．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为 ．
34．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，，当点与点重合时，长为 ，当有最小值时，的长为
35．（2025·河南焦作·模拟预测）在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ．
36．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题．
问题提出
（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．
的度数是 ；
周长的最小值是 ．
问题探究
（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值．
问题解决
（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值．
37．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示．
数学思考：
（1）四边形的形状为______．
深入探究：
（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．
38．（2025·河南周口·三模）综合与实践
学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动．
勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点．
（1）任务1：初步探究．
求证：．
创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ．
（2）任务2：猜想与验证．
猜想，之间的数量关系，并加以证明．
开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ．
（3）任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值．
专练五、平面直角坐标系中的对称问题
39．（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
40．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
41．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为 ．
42．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求k，b，a的值；
(2)直接写出当时x的取值范围；
(3)请仅用无刻度的直尺在x轴上找一点P，使的值最小(不写作法，保留作图痕迹)，并直接写出点P的坐标．
专练六、图形的旋转问题
43．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，．的垂直平分线分别交于点，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
44．（2025·河南周口·三模）如图，矩形的长，宽，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，则图中阴影部分的面积为 ．
45．（2025·河南周口·模拟预测）如图，与完全重合，，，．将绕与边的中点旋转，当时，则的长度为 ．
46．（2025·河南周口·二模）如图，将以为直径的半圆绕点逆时针旋转至图示位置，若，则图中阴影部分的面积是 ．
47．（2025·河南周口·二模）如图，在中，．D是射线上的一个动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段（E，F分别是A，B的对应点）．连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
48．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形ABCD中，为边的中点，M为平面内一点，且之间的距离为1，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，则的最小值为 ，最大值为 ．
49．（2025·河南驻马店·三模）如图，是等边三角形，P是内一动点，将点P绕点B逆时针旋转得到点Q，射线和射线交于点D，则 ；过点A作交于点E，连接，若，，则的最小值为 ．
50．（2025·河南信阳·模拟预测）问题初现
如图1，中，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）试判断：线段与线段的数量关系为 ，线段与线段的数量关系为 ，线段与线段所夹的锐角的度数为 ；
深入探究
（2）如图2，在（1）的条件下，若点为射线上一个动点，上述结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
拓展延伸
（3）在（2）的条件下，若点到的距离为1时，请直接写出线段的长．
专练七、图形旋转的综合问题
51．（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转得到线段、过点E作交直线与点F．同学们进行分组自主探究．
【问题解决】
(1)小郑组连接，研究的是的面积问题．他们发现，当时，的面积为 ；当时，的面积为 (请用含θ的代数式表示)．
(2)小州组研究的是四边形的问题．连接，在旋转过程中，他们有以下猜想，其中正确的是： (填序号)．
①；②；③；④
(3)小迎组研究的是等腰三角形的存在性问题，他们发现，在旋转过程中，可能是等腰三角形，请求出当是等腰三角形时，的值．
52．（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
53．（2025·河南安阳·三模）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，王老师为了让同学们积累数学基本活动经验，以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学变式训练活动．
如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，．
【操作发现】
（1）将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图②所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，则四边形的形状是________．
（2）王老师将图①中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，，三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，得到四边形，请同学们判断四边形的形状，并证明自己的结论．
【实践探究】
（3）王老师在（2）的基础上再次进行操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点处，与相交于点，如图④所示，连接，请同学们计算的值．
54．（2025·河南焦作·模拟预测）综合与实践
在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动．
问题情景：在四边形中，M为边上一动点，N为边的中点，连接，、、且．
解决问题：下面是学习小组提出的三个问题，请你解答：

(1)“兴趣”小组提出的问题是：如图1，若四边形为矩形（），．
①任意写出一个图1中与相等的角：________；
②的值为________；
(2)“实践”小组提出的问题是：如图2，若四边形为菱形，，求的值；
(3)“智慧”小组提出的问题是：在（2）的条件下，将绕点M旋转得到，连接．若，请直接写出的面积．
55．（2025·河南·二模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．如图，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转．
【初步观察】
（1）如图，当经过点时，的长为 ．
【实践探究】
（2）①如图，当点落在对角线上时，连接，的度数为 ；的长为 ．
②如图，当点落在的延长线上时，延长交于点，不计算线段的长度，你能判断与的数量关系吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）矩形绕点逆时针旋转，若直线交于点，请直接写出点到直线的距离的最大值．
56．（2025·河南·一模）综合与实践
在一次数学活动课上，同学们研究菱形的旋转问题．将菱形绕点A顺时针旋转，得到菱形．
【观察思考】
（1）如图1，若与交于点H，则线段与线段的数量关系为__________．
【探究证明】
（2）如图2，当点G在菱形内部时，的平分线与射线交于点P，连接．
①判断线段与的数量关系，并说明理由；
②若，请求出的度数．（用含的式子表示）
【拓展应用】
（3）如图3，若的平分线所在直线与直线交于点P，连接，直接写出旋转过程中的取值范围．
专练八、平面直角坐标系中的旋转问题
57．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，此类推……，则点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
58．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，以点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接交y轴于点P，已知．将向左平移，当点B的对应点落在y轴上时，点P的对应点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
59．（2025·河南安阳·三模）如图，点A，C的坐标分别为，，将绕原点O逆时针旋转得到，则点B的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
60．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，边在x轴上，顶点B的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
61．（2025·河南·模拟预测）如图是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将该图案绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
62．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
63．（2025·河南洛阳·三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第2025秒时；点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
64．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形绕着它的中心O在平面内自由旋转，在x轴上取点 ，将线段绕点P逆时针旋转 得到线段，连接．若，则的最大值为 ，此时的长为 ．
专练九、多种图形变换的综合问题
65．（2025·河南驻马店·三模）综合与实践课上，老师带领同学们开展以“平面直角坐标系下图形的变化”为主题的数学活动．
(1)如图，将进行平移后得到，则线段所在直线与线段所在直线（两条线段不在同一直线上）的位置关系为___________；如图，将以点为旋转中心逆时针旋转，得到，则线段所在直线与线段所在直线的位置关系为__________；
(2)探究迁移
如图，先将平移得到，再将以点为旋转中心逆时针旋转得到，线段所在直线与线段所在直线相交于点，锐角记为，请判断和的数量关系并说明理由；
(3)拓展应用
如图，中，，，，将在轴上水平平移得到，平移后以点为旋转中心将逆时针旋转得到，当直线恰好经过线段的端点时，直接写出的长．
66．（2025·河南信阳·二模）综合与实践课上，小颖和小亮借助某数学软件在平面直角坐标系中对三角形的平移与旋转进行了如下探究，并得出了一些结论，请你补充完整．
【研究背景】
如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点，连接，C为线段的中点，于点D．
【平移探究】
（1）如图2，将平移，使点C平移至点处．
①填空：点D的对应点的坐标为___________，点B的对应点的坐标为___________；
②连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【旋转探究】
（2）如图3，将绕点C顺时针旋转，得到，设直线交x轴于点P，试判断与的大小关系，并结合图3说明理由．
（3）将绕点C顺时针旋转得到，当直线经过线段的中点M时，请直接写出点P的坐标为___________．
67．（2025·河南信阳·三模）综合与实践
如图1，点P是直线m上一点，作 关于直线m的对称图形 然后将 绕点P逆时针旋转 得到，则称 是关于 的刚性变换图形，点P为刚性变换中心，直线m为刚性变换轴，经过刚性变换重合的点称为对应点．
(1)请类比平移、轴对称和旋转三大变换的学习过程，归纳两条刚性变换前后图形的性质；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，是 关于 的刚性变换图形， 连接， ，．
①设与x轴夹角为α，直接用含α的代数式表示 的值___________；
②若点A坐标为 ， 求点坐标；
(3)如图3， 在中， ，点P是边BC上一动点 （可与端点重合），是关于的刚性变换图形，是AP关于的刚性变换图形，连接 ，设 ，请直接写出m的取值范围．