中考数学 专题练习07 二次函数纯数学问题（河南专用）（原卷版）

这是一份中考数学 专题练习07 二次函数纯数学问题（河南专用）（原卷版），共19页。试卷主要包含了二次函数背景下的一次函数问题，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合，二次函数的图象平移问题，二次函数的临界点问题，二次函数背景下的字母参数问题，二次函数与几何的综合问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、二次函数背景下的一次函数问题
1．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点二、二次函数的图象和性质
2．（2021·河南·中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ．
3．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
4．（2021·河南·中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
专练一、二次函数的图象和性质
5．（2025·河南周口·模拟预测）若二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ）
A．B．1C．D．5
6．（2025·河南漯河·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·河南郑州·模拟预测）若点，，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知，是函数图象上的两点，当时，与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
10．（2025·河南新乡·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则点的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．（2025·河南驻马店·三模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表：
根据以上信息，某同学得到以下结论：①抛物线的开口向上；②；③抛物线的对称轴是直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤二次函数的最小值是．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2025·河南驻马店·一模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①③④⑤
13．（2025·河南平顶山·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．④⑤
14．（2025·河南·模拟预测）写出一个图象经过第二象限的函数表达式： ．
15．（2025·河南许昌·一模）已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
16．（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ．
17．（2025·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中有一抛物线： ，
(1)求抛物线的对称轴和与轴的交点坐标；
(2)若 时，的最大值与最小值的差为，求的值；
(3)若 ，抛物线上有两点 ，当 时，均满足，直接写出的取值范围．
专练二、二次函数与方程、不等式
18．（2025·河南商丘·三模）如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的方程 没有实数根
D．若点 在该抛物线上，则
19．（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）

A．0，4B．2，9C．0D．4
20．（2025·河南周口·三模）如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（ ）．

A．
B．
C．函数的最大值为
D．关于x的方程没有实数根
21．（2025·河南信阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的大致图象如图所示，则关于x的方程有 个实数根．
22．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式及对称轴．
(2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象；
②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
(3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围．
专练三、二次函数与一次函数的综合
23．（2025·河南濮阳·一模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
专练四、二次函数的图象平移问题
25．（2025·河南安阳·二模）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·河南·一模）将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
27．（2025·河南漯河·三模）关于二次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而减小
C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点
28．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值．
29．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值；
(3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围．
30．（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．

(1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？
31．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点，是抛物线上的两点，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，若满足，请比较与的大小．
(3)将抛物线平移，使得其顶点落在直线上，设平移后的抛物线与轴的交点为，求点的纵坐标的取值范围．
32．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标．
(3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围．
专练五、二次函数的临界点问题
33．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，且．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
(3)将线段向左平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围．

34．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)抛物线上有一点P，其横坐标为5．
①点Q为第四象限内抛物线上一点，连接．若射线平分，求点Q的坐标；
②连接，将线段沿着射线平移得到线段，点A的对应点为M，点C的对应点为N，若线段与抛物线无交点，请直接写出点N的横坐标的取值范围．
35．（2025·河南平顶山·一模）二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点．
(1)若点坐标为．
①求该二次函数的解析式及，的坐标；
②若点为直线上方二次函数图象上一个动点，求的最大值；
(2)当时，已知点，，且二次函数图象与线段只有一个公共点，请求出的取值范围．
36．（2025·河南·模拟预测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表：
请观察表格，解决下列问题．
(1)填空：_______，_______；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为6，求m的值；
(3)已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围．
37．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于，两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点的坐标．
(3)如图2，连接，将线段向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围．
38．（2025·河南洛阳·一模）如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围．
专练六、二次函数背景下的字母参数问题
39．（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
40．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线的顶点，已知该抛物线与轴交于两点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)点是抛物线上一点，作直线，若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
41．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若，是二次函数图象上的两点，求证：；
(3)当时，二次函数的最大值为，直接写出的取值范围．
42．（2025·河南平顶山·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)该抛物线经过一个定点：_______（写出坐标）．
(2)若抛物线的对称轴为直线，求抛物线解析式．
(3)在（2）的基础上，若点为抛物线上一点，且，求的取值范围．
43．（2025·河南漯河·三模）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围．
(3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值．
44．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
45．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标：
①的顶点坐标为________；
②的顶点坐标为________；
③的顶点坐标为________．
（2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由．
（3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围．
46．（2025·河南许昌·二模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
专练七、二次函数与几何的综合问题
47．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
48．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点．
(1)若其中一个交点为．
①求a的值；
②求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围．
49．（2025·河南·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，那么称这个点为“商二点”．已知二次函数的图象上的“商二点”有且只有一个．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若二次函数的顶点为，连接，在坐标轴上找一点，使得为以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
50．（2025·河南信阳·三模）某数学兴趣小组利用信息技术工具对一个动态图形中特定线段之间的数量关系进行探究．如图，任意矩形的边上有一动点，过做线段的垂线．同学们经探索发现，垂线与矩形的边所在直线相交，交点到点的距离与点，之间的距离有某种对应关系．于是他们想利用所学知识对两者之间的关系进行更加深入的探究．同学们发现图中，利用三角形相似的知识，可得；若矩形的边，，设，，则，可得；化简得．
请你利用函数的知识继续探究与之间的关系．
(1)当点B，E的距离是_______时，点，的距离最大（用含，的式子表示）．
(2)若点，的距离最大值与矩形的边长度相同，求，的数量关系．
(3)小组成员小明说“在（）的情况下，点在的某个位置时，点，的距离是点，的距离的一半，且这样的位置有两个”．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
51．（2025·河南周口·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C．连接，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)设点D在直线下方的抛物线上．
①连接，，，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，直接写出点F的横坐标．
52．（2025·河南郑州·三模）【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，．
【特例感知】
（1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
53．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若，请直接写出的解集；
(3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
54．（2025·河南安阳·二模）如图1，在等边三角形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为的面积为．
(1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系（图2）中，画出函数的图象；
(3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，当时，求的取值范围．…
0
1
…
…
1
…
x
…
0
…
y
…
4
0
0
4
…
x
…
0
3
4
…
y
…
b
c
…