2024-2025学年深圳市龙华区新华中学九年级上学期期中数学试卷及答案

这是一份2024-2025学年深圳市龙华区新华中学九年级上学期期中数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）方程x（1﹣x）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x+3）2＝4C．（x﹣3）2＝13D．（x+3）2＝13
3．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2B．7C．4D．5
4．（3分）如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，AC＝2BC，点E、F分别是AB、CD中点，若BC＝2，则四边形AECF的周长是（ ）
A．2B．C．4D．
5．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．5m2C．4m2D．3m2
6．（3分）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利、该店采取了降价措施．在每件盈利不少于30元的前提下．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润．每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（ ）
A．（40﹣x）（20+4x）＝1400
B．（60﹣x）（20+4x）＝1400
C．（40﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
7．（3分）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔・花拉子米在解方程x2+2x＝35时采用的方法是：构造如图所示图形．一方面，正方形的面积为（x+1）2；一方面，它又等于35+1，据此可得方程的一个正数解x＝5．按照这种构造方法，我们在求方程x2+4x＝5的一个正数解时，可以构造如图形（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，将矩形ABCD（AB＞BC）绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，连接CC′，若△ACC′的面积S1与矩形ABCD的面积S2的满足关系S1﹣S2＝2，则BD′的值是（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）已知，已知b+d＜0，则的值是 ．
10．（3分）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为 ．
11．（3分）2024年某品牌无人机第一季度产量为20万架，厂家引进新技术，经过两个季度连续增速后，第三季度产量为28.8万架；则这两个季度的平均增长率为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（1.5，﹣2），则点D的坐标是 ．
13．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝13，CE⊥BC，且CE＝BC，BF平分∠ABC，若EF＝4，则BC＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝3；
（2）4x（2x﹣3）＝3（2x﹣3）．
15．（7分）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）．
（1）小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是 ；
（2）小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产．求两人恰好选中同一幅图的概率？
16．（8分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣6x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
17．（8分）如图，在矩形ABCD中，连接AC．
（1）请用尺规作出AC的垂直平分线，分别交AD与BC于点M，N；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形AMCN是菱形．
18．（8分）解方程x2﹣3|x|+2＝0时，我们可以运用分类的思想来解：当x≥0时，则原方程可化为x2﹣3x+2＝0，解得x＝2或x＝1；当x＜0时，则原方程可化为x2+3x+2＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣1；
综上，原方程的解为：x1＝2，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝﹣1；
（1）请利用这种方法解方程x2﹣4|x|﹣5＝0，可得这个方程的解是 ；
（2）解方程|x﹣2|2﹣4|x﹣2|+3＝0．
19．（10分）根据以下信息，探索完成任务：
20．（12分）四边形ABCD是边长为6的正方形，E是对角线AC上一动点，连接BE，DE，过点E作EF⊥BE，交AD于点F．
（1）①求证：△CBE≌△CDE；
②BE与EF的数量关系是 ，CE与DF的数量关系是 ；
（2）如图2，若EF平分∠AED，求DF的长；
（3）作△BCE的中线CG，延长DE交CG于点H，若H是CG的三等分点时，请直接写出DF的长．
2024-2025学年广东省深圳市龙华区新华中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（3分）方程x（1﹣x）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1
【分析】利用因式分解法解答即可．
【解答】解：x（1﹣x）＝0，
x＝0或1﹣x＝0，
x1＝0，x2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．（x+3）2＝4C．（x﹣3）2＝13D．（x+3）2＝13
【分析】根据完全平方公式配方，再得出选项即可．
【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，CE的长为（ ）
A．2B．7C．4D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AD：DF＝3：2，BC＝6，
∴，
解得：CE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，AC＝2BC，点E、F分别是AB、CD中点，若BC＝2，则四边形AECF的周长是（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】先证明四边形AECF平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CEAB＝AE，则平行四边形AECF是菱形，得AE＝CE＝CF＝AF，然后由勾股定理求出AB的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴CEAB＝AE，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∵BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB2，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF的周长＝4AE＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
5．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．5m2C．4m2D．3m2
【分析】首先假设不规则图案面积为x m2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：m2，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有：0.4，
解得x＝6．
故选：A．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
6．（3分）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利、该店采取了降价措施．在每件盈利不少于30元的前提下．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润．每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（ ）
A．（40﹣x）（20+4x）＝1400
B．（60﹣x）（20+4x）＝1400
C．（40﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
【分析】每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（ ）
【解答】解：设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔・花拉子米在解方程x2+2x＝35时采用的方法是：构造如图所示图形．一方面，正方形的面积为（x+1）2；一方面，它又等于35+1，据此可得方程的一个正数解x＝5．按照这种构造方法，我们在求方程x2+4x＝5的一个正数解时，可以构造如图形（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答．
【解答】解：x2+4x＝5，
x2+4x+4＝5+4，
（x+2）2＝9，
正方形面积（阴影部分）S＝5+4＝9，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握配方法解方程的一般步骤是解题的关键．
8．（3分）如图，将矩形ABCD（AB＞BC）绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，连接CC′，若△ACC′的面积S1与矩形ABCD的面积S2的满足关系S1﹣S2＝2，则BD′的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】由旋转得AC′＝AC，AD′＝AD，∠CAC′＝90°，由S1AC2，S2＝AB•AD，且S1﹣S2＝2，得AC2﹣AB•AD＝2，则AC2﹣2AB•AD＝4，而AB2+AD2＝CD2+AD2＝AC2，所以AB2+AD2﹣2AB•AD＝4，则（AB﹣AD）2＝4，由AB＞BC，得AB＞AD，BD′＝AB﹣AD′＝AB﹣AD＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，
∴AC′＝AC，AD′＝AD，∠CAC′＝90°，
∵S1＝S△ACC′AC2，S2＝S矩形ABCD＝AB•AD，且S1﹣S2＝2，
∴AC2﹣AB•AD＝2，
∴AC2﹣2AB•AD＝4，
∵∠D＝90°，AB＝CD，
∴AB2+AD2＝CD2+AD2＝AC2，
∴AB2+AD2﹣2AB•AD＝4，
∴（AB﹣AD）2＝4，
∴AB﹣AD＝2或AB﹣AD＝﹣2，
∴AB＞BC，且BC＝AD，
∴AB＞AD，
∴AB﹣AD＝﹣2不符合题意，舍去，
∴BD′＝AB﹣AD′＝AB﹣AD＝2，
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、三角形的面积公式及矩形的面积公式等知识，推导出关系式AB2+AD2﹣2AB•AD＝4是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）已知，已知b+d＜0，则的值是 ．
【分析】分别设a＝2m，c＝2n，进而得到用m，n表示的b，d的值，把它们代入所给代数式求解即可．
【解答】解：设a＝2m，c＝2n，则b＝5m，d＝5n．
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查比例的性质：若k，则k．
10．（3分）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为 4 ．
【分析】根据题目中的数据，可知总球的个数为（6+2）÷（1），然后再乘，即可得到白球的个数．
【解答】解：由题意可得，
（6+2）÷（1）
＝8
＝8
＝4（个），
即白球的个数为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出白球的个数．
11．（3分）2024年某品牌无人机第一季度产量为20万架，厂家引进新技术，经过两个季度连续增速后，第三季度产量为28.8万架；则这两个季度的平均增长率为 20% ．
【分析】利用经过连续两次增速后每天的产量＝原产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设两次的平均增长率都为x，
依题意得：20（1+x）2＝28.8．
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：这两个季度的平均增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（1.5，﹣2），则点D的坐标是 （0，3.5） ．
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，即可推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣2，0），B（1.5，﹣2），推出OA＝2，OM＝1.5，进而得出OD＝AM＝3.5，即可得到点D的坐标．
【解答】解：如图，作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣2，0），B（1.5，﹣2），
∴OA＝2，OM＝1.5，
∴OD＝AM＝3.5，
∴点D的坐标为（0，3.5），
故答案为：（0，3.5）．
【点评】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝13，CE⊥BC，且CE＝BC，BF平分∠ABC，若EF＝4，则BC＝ 5或12 ．
【分析】；过点F作FM∥AB交BC于点M可得MF＝BM，设BM＝a，MC＝b，则EC＝BC＝a+b，MF＝a，先证明△DEC∽△MCF，进而可以得出①，然后由勾股定理可得a2＝b2+（a+b﹣4）2②，联立解方程即可求解．
【解答】解：如图所示，过点F作FM∥AB交BC于点M，
∴∠ABF＝∠BFM．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
∴∠FBM＝∠BFM．
∴MF＝BM．
又设BM＝MF＝a，MC＝b，
∴EC＝BC＝a+b．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴FM∥CD．
∴∠ECD＝∠CFM．
又∵CE⊥BC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠MCF＝90°．
∴△DEC∽△MCF．
∴．
∵EF ＝4，
∴CF＝a+b﹣4．
∴．①
又∵在Rt△FMC中，FM2＝MC2+FC2，
∴a2＝b2+（a+b﹣4）2.②
又联立①②并解得，或．
∴BC＝a+b＝5或BC＝a+b＝12．
故答案为：5或12．
【点评】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的判定是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝3；
（2）4x（2x﹣3）＝3（2x﹣3）．
【分析】（1）先移项，然后根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先移项，然后提公因式，即可解答此方程．
【解答】解：（1）∵x2+2x＝3，
∴x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
（2）4x（2x﹣3）＝3（2x﹣3），
4x（2x﹣3）﹣3（2x﹣3）＝0，
（4x﹣3）（2x﹣3）＝0，
∴4x﹣3＝0或2x﹣3＝0，
解得x1，x2＝1.5．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
15．（7分）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）．
（1）小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是 ；
（2）小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产．求两人恰好选中同一幅图的概率？
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中潮俗皮影戏的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中潮俗皮影戏的结果有1种，
∴小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有4种，
∴两人恰好选中同一幅图的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣6x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【分析】（1）将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣1）x2﹣6x+3＝0即可求a；
（2）由于根的存在性可得Δ＝36﹣12（a﹣1）≥0，再结合二次项系数a≠1，可求a的范围为a≤4且a≠1，即可求解．
【解答】解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣1）x2﹣6x+3＝0，
可得a﹣1+6+3＝0，
∴a＝﹣8；
（2）∵（a﹣1）x2﹣6x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠1，
∵方程有实数根，
∴Δ＝36﹣12（a﹣1）≥0，
∴a≤4，
∴a≤4且a≠1，
∵a是正整数，
∴a＝4，3，2．
【点评】本题考查一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解题的关键．
17．（8分）如图，在矩形ABCD中，连接AC．
（1）请用尺规作出AC的垂直平分线，分别交AD与BC于点M，N；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形AMCN是菱形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）由线段垂直平分线的性质可得AN＝CN，AM＝CM，OA＝OC，结合矩形的性质、全等三角形的判定证明△AMO≌△CNO，可得AM＝CN，即AN＝CN＝AM＝CM，从而可得四边形AMCN是菱形．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求．
（2）证明：∵直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AN＝CN，AM＝CM，OA＝OC．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMO＝∠CNO，∠MAO＝∠NCO，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴AM＝CN，
∴AN＝CN＝AM＝CM，
∴四边形AMCN是菱形．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（8分）解方程x2﹣3|x|+2＝0时，我们可以运用分类的思想来解：当x≥0时，则原方程可化为x2﹣3x+2＝0，解得x＝2或x＝1；当x＜0时，则原方程可化为x2+3x+2＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣1；
综上，原方程的解为：x1＝2，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝﹣1；
（1）请利用这种方法解方程x2﹣4|x|﹣5＝0，可得这个方程的解是 x1＝5，x2＝﹣5 ；
（2）解方程|x﹣2|2﹣4|x﹣2|+3＝0．
【分析】（1）分x≥0和x＜0两种情况分别求解即可；
（2）分x≥2和x＜2两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，则原方程可化为x2﹣4x﹣5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1（舍去），
当x＜0时，则原方程可化为x2+4x﹣5＝0，
解得x＝﹣5或x＝1（舍去），
综上，原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣5；
故答案为：x1＝5，x2＝﹣5；
（2）当x≥2时，则原方程可化为x2﹣8x+15＝0，
解得：x＝3或5，
当x＜2时，则原方程可化为x2﹣1＝0，
解得：x＝﹣1或＝1，
综上，原方程的解为：x1＝3，x2＝5，x3＝﹣1，x4＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程，弄清题意阅读材料中的例题的解法是解本题的关键．
19．（10分）根据以下信息，探索完成任务：
【分析】任务一：根据材料列式计算即可；
任务二：结合材料与任务一中即可得出规律，从而列出关系式；
任务三：设服务驿站C站处在从i站到B站中的第n站，由任务二中规律，根据快递车在某服务驿站C站启程时快递货车装载的货包总数为125个．列出方程求解即可．
【解答】解：任务一：
该快递车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为：（30﹣1）﹣1+（30﹣2）﹣2+（30﹣3）＝3×（30﹣3）＝81（个）；
该快递车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为：（30﹣1）﹣1+（30﹣2）﹣2+（30﹣3）﹣3+（30﹣4）＝4×（30﹣4）＝104（个）；
任务二：
第1个服务驿站启程时装载的货包总数为：1×（30﹣1）；
第2个服务驿站启程时装载的货包总数为：2×（30﹣2）；
第3个服务驿站启程时装载的货包总数为：3×（30﹣3）；
第4个服务驿站启程时装载的货包总数为：4×（30﹣4）；
…；
则快递车在第x个服务驿站启程时装载的货包总数为：x（30﹣x）＝（﹣x2+30x）个；
任务三：
设服务驿站C站处在从A站到B站中的第n站，
由任务二得：﹣n2+30n＝125即n2﹣30n+125＝0，
解得：n＝5或n＝25，
答：服务驿站C站处在从A站到B站中的第5站或第25站．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，一元二次方程的应用，找到规律即可解决问题．
20．（12分）四边形ABCD是边长为6的正方形，E是对角线AC上一动点，连接BE，DE，过点E作EF⊥BE，交AD于点F．
（1）①求证：△CBE≌△CDE；
②BE与EF的数量关系是 BE＝EF ，CE与DF的数量关系是 DFCE ；
（2）如图2，若EF平分∠AED，求DF的长；
（3）作△BCE的中线CG，延长DE交CG于点H，若H是CG的三等分点时，请直接写出DF的长．
【分析】（1）①利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可；
②过点E作EH⊥DF于点H，延长HE交BC于点G，利用直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
③过点E作EH⊥DF于点H，延长HE交BC于点G，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）过点D作DK⊥AC于点K，设∠DEF＝∠AEF＝α，利用正方形的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得α值，再利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系定理求得CE，最后利用DFCE的结论解答即可；
（3）延长EH，交BC于点M，过点G作GN∥DM，交BC于点N，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当2时，利用三角形的中位线定理得到BN＝MN，利用平行线分线段成比例定理得到CM＝2MN，设MN＝BN＝a，则CM＝2a，利用相似三角形的判定与性质得到CEAE，利用等腰直角三角形的性质求得CE，最后利用DFCE的结论解答即可；②当时，类比①的方法解答即可．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°．
在△CBE和△CDE中，
，
∴△CBE≌△CDE（SAS）；
②解：BE与EF的数量关系是BE＝EF．理由：
过点E作EH⊥DF于点H，延长HE交BC于点G，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∵EH⊥DF，
∴HG⊥BC．
∴∠EHF＝∠EGB＝90°．
∴∠HEF+∠HFE＝90°．
∵EF⊥BE，
∴∠HEF+∠GEB＝90°，
∴∠HFE＝∠GEB．
∵△CBE≌△CDE，
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE．
∵GH∥AB，
∴∠GEB＝∠ABE，
∴∠HFE＝∠ADE，
∴DE＝EF，
∴BE＝EF．
故答案为：BE＝EF；
③解：CE与DF的数量关系是：DFCE．理由：
过点E作EH⊥DF于点H，延长HE交BC于点G，如图，
由②知：DE＝BE＝EF，∠HFE＝∠GEB，
在△HEF和△GBE中，
，
∴△HEF≌△GBE（AAS），
∴HF＝EG，
∵ED＝EF，EH⊥DF，
∴HF＝HDDF．
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠BCA＝45°，
∵EG⊥BC，
∴EGCE，
∴DF＝2HF＝2EGCE．
∴CE与DF的数量关系是：DFCE．
故答案为：DFCE；
（2）解：过点D作DK⊥AC于点K，如图，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝45°，
∴DK＝AK＝CKAD＝3．
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝∠AEF，
设∠DEF＝∠AEF＝α，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD90α，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEF，
∴90°45°+α，
∴α＝30°．
∴∠DEK＝60°．
∴EK，
∴CE＝CK﹣EK＝3．
由（1）③知：DFCE6﹣2．
（3）解：DF的长为2或4．理由：
延长EH，交BC于点M，过点G作GN∥DM，交BC于点N，如图，
∵GN∥DM，点G为BE的中点，
∴点N为BM的中点，
∴BN＝MN．
若H是CG的三等分点时，
①当2时，
∵GN∥DM，
∴2，
∴CM＝2MN，
设MN＝BN＝a，则CM＝2a，
∴BC＝4a，
∴AD＝BC＝4a．
∵AD∥BC，
∴△CEM∽△AED，
∴，
∴CEAE，
∴CEAC，
∵ACAD＝6，
∴CE＝2．
由（1）③知：DFCE4．
②当时，
∵GN∥DM，
∴，
∴CMMN，
设MN＝BN＝b，则CMb，
∴BCb，
∴AD＝BCb．
∵AD∥BC，
∴△CEM∽△AED，
∴，
∴CEAE，
∴CEAC，
∵ACAD＝6，
∴CE．
由（1）③知：DFCE2．
综上，DF的长为2或4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的边角关系定理，分类讨论的思想方法，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/12 15:22:54；用户：初中数学1；邮箱：[email protected]；学号：55349316如何确定服务驿站序号？
未材1
某快递公司在A站与B站之间共设有30个服务驿站（包括A站、B站），一辆快递货车由A站出发，依次途经各站驰往B站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个，E知该快递车在第1个服务驿站（即A站）启程时装载的货包总数为（30﹣1）＝29个，在第2个服务驿站启程时装载的货包总数为（30﹣1）﹣1+（30﹣2）＝2×（30﹣2）＝56个．
余材2
快递车在某服务驿站C站启程时快递货车装载的货包总数为125个，
问题解决
任务一分析特殊情况
该快递车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为 个（直接写结果即可）；
该快递车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为 个（直接写结果即可）；
任务二归纳一般规律
设x代表A地到B地依次经过的服务驿站序号，则该快递车在第x个服务驿站启程时崇载的货包总数为 个；
任务三确定站点序号
求服务驿站C站处在从A站到B站中的第几站？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
D
A
A
B
A
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
如何确定服务驿站序号？
未材1
某快递公司在A站与B站之间共设有30个服务驿站（包括A站、B站），一辆快递货车由A站出发，依次途经各站驰往B站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个，E知该快递车在第1个服务驿站（即A站）启程时装载的货包总数为（30﹣1）＝29个，在第2个服务驿站启程时装载的货包总数为（30﹣1）﹣1+（30﹣2）＝2×（30﹣2）＝56个．
余材2
快递车在某服务驿站C站启程时快递货车装载的货包总数为125个，
问题解决
任务一分析特殊情况
该快递车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为 81 个（直接写结果即可）；
该快递车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为 104 个（直接写结果即可）；
任务二归纳一般规律
设x代表A地到B地依次经过的服务驿站序号，则该快递车在第x个服务驿站启程时崇载的货包总数为 （﹣x2+30x） 个；
任务三确定站点序号
求服务驿站C站处在从A站到B站中的第几站？